專題11-2 概率與分布列大題歸類-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點題型歸納與變式演練（解析版）

專題11-2概率與分布列大題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】兩人比賽型 1【題型二】三人比賽型 3【題型三】圖表型 5【題型四】摸球型 7【題型五】放球型 9【題型六】藥物分組型 10【題型七】設(shè)備購銷型 12【題型八】“數(shù)列”型 15【題型九】傳球與游走型 18【題型十】“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”型 21真題再現(xiàn) 24模擬檢測 28【題型一】兩人比賽型【典例分析】11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.【答案】（1）；（2）0.1【分析】(1)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；(2)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果．【詳解】(1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”所以(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”所以【點睛】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題．【提分秘籍】基本規(guī)律兩人比賽型多涉及到獨立事件互斥事件的識別與概率運(yùn)算、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，要注意對不同事件的合理表述，便于書寫過程．服從于二項分布，可用概率公式進(jìn)行運(yùn)算，也可以采用羅列方式進(jìn)行，是對運(yùn)算能力的常規(guī)考查.【變式演練】甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽，約定先勝局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是．假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立．（Ⅰ）分別求甲隊以勝利的概率；（Ⅱ）若比賽結(jié)果為求或，則勝利方得分，對方得分；若比賽結(jié)果為，則勝利方得分、對方得分．求乙隊得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】解法一（Ⅰ）設(shè)甲勝局次分別為負(fù)局次分別為（Ⅱ）根據(jù)題意乙隊得分分別為所以乙隊得分的分布列為解法二（Ⅰ）記“甲隊以3：0勝利”為事件，“甲隊以3：1勝利”為事件，“甲隊以3：2勝利”為事件，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，故，，所以，甲隊以3：0,3:1,3:2勝利的概率分別是，，；（Ⅱ）設(shè)“乙隊以3:2勝利”為事件，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，所以由題意，隨機(jī)變量的所有可能的取值為0,1,2,3，，根據(jù)事件的互斥性得,,,故的分布列為0123所以．【題型二】三人比賽型【典例分析】2021年7月24日，在奧運(yùn)會女子個人重劍決賽中，中國選手孫一文在最后關(guān)頭一劍封喉，斬獲金牌，掀起了新一輪“擊劍熱潮”．甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進(jìn)行一場比賽，每局兩人對戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為．因為甲是最弱的，所以讓他決定第一局的兩個比賽者（甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個人比賽），每局獲勝者與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個比賽的冠軍，比賽結(jié)束．(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率；(2)請幫助甲進(jìn)行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙比賽），使得甲最終獲得冠軍的概率最大．【答案】(1)(2)甲第一局選擇和丙比賽【分析】（1）分①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝和②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝兩種情況求解即可（2）根據(jù)題意，分析首局三種情況所有甲能首先勝兩局的情況，再比較概率的大小判斷即可(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，其概率為；②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，其概率為．所以“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率為．(2)若第一局甲乙比，甲獲得冠軍的情況有三種：甲乙比甲勝，甲丙比甲勝；甲乙比甲勝，甲丙比丙勝，乙丙比乙勝，甲乙比甲勝；甲乙比乙勝，乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，所以甲能獲得冠軍的概率為．若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率為．若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率即第（1）問的結(jié)果．因為，所以甲第一局選擇和丙比賽，最終獲得冠軍的概率最大．【變式演練】2021年7月24日，在奧運(yùn)會女子個人重劍決賽中，中國選手孫一文在最后關(guān)頭一劍封喉，斬獲金牌，掀起了新一輪“擊劍熱潮”.甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進(jìn)行一場比賽，每局兩人對戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為.因為甲是最弱的，所以讓他決定第一局的兩個比賽者（甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個人比賽），每局獲勝者與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個比賽的冠軍，比賽結(jié)束.(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率；(2)為使甲最終獲得冠軍的概率最大，請幫助甲進(jìn)行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙比賽），并說明理由.【答案】(1)(2)第一局甲丙比賽甲獲得冠軍的概率最大.【分析】（1）分①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝和②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝兩種情況求解即可；（2）根據(jù)題意，分析首局三種情況所有甲能首先勝兩局的情況，再比較概率的大小判斷即可.(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，其概率為；②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，其概率為．所以“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率為．(2)若第一局甲乙比，甲獲得冠軍的情況有三種：甲乙比甲勝，甲丙比甲勝；甲乙比甲勝，甲丙比丙勝，乙丙比乙勝，甲乙比甲勝；甲乙比乙勝，乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，所以甲能獲得冠軍的概率為．若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率為．若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率即第（1）問的結(jié)果．因為，所以甲第一局選擇和丙比賽，最終甲獲得冠軍的概率最大．【題型三】圖表型【典例分析】本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租時間不超過兩小時免費，超過兩個小時的部分每小時收費2元（不足1小時的部分按1小時計算）．有甲、乙兩人獨立來該租車點車租騎游（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時．（1）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機(jī)變量，求的分布列．【答案】（1）；（2）．試題解析：（1）由題意得，甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付得租車費用相同為事件，則．所以，甲、乙兩人所付得租車費用相同的概率為．（2）設(shè)甲、乙兩個所付的費用之和為，可能取得值為0，2，4，6，8，，，分布列【提分秘籍】基本規(guī)律圖表型有兩類：1.“時間軸”型。如【典例分析】2、“區(qū)域鏈”型，如【變式演練】【變式演練】乒乓球臺面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域SKIPIF1<0，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域SKIPIF1<0.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點在SKIPIF1<0上記3分，在SKIPIF1<0上記1分，其它情況記0分.對落點在SKIPIF1<0上的來球，隊員小明回球的落點在SKIPIF1<0上的概率為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上的概率為SKIPIF1<0；對落點在SKIPIF1<0上的來球，小明回球的落點在SKIPIF1<0上的概率為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上的概率為SKIPIF1<0.假設(shè)共有兩次來球且落在SKIPIF1<0上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：（Ⅰ）小明的兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；（Ⅱ）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（I）小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為SKIPIF1<0.（II）數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0試題解析：（I）記SKIPIF1<0為事件“小明對落點在A上的來球的得分為SKIPIF1<0分”（SKIPIF1<0）則SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0為事件“小明對落點在B上的來球的得分為SKIPIF1<0分”（SKIPIF1<0）則SKIPIF1<0，記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”，由題意，SKIPIF1<0，由事件的獨立性和互斥性，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為SKIPIF1<0.（II）由題意，隨機(jī)變量SKIPIF1<0可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨立性和互斥性，得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,可得隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【題型四】摸球型【典例分析】試卷從一批有10個合格品與3個次品的產(chǎn)品中，一件一件地抽取產(chǎn)品，設(shè)各個產(chǎn)品被抽取到的可能性相同。在下列三種情況下，分別求出直到取出合格品為止時所需抽取次數(shù)x的分布列。（1）每次取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品中；（2）每次取出的產(chǎn)品都立即放回此批產(chǎn)品中，然后再取出一件產(chǎn)品；（3）每次取出一件產(chǎn)品后總以一件合格品放回此批產(chǎn)品中?！敬鸢浮浚?）答案見解析；（2）答案見解析（3）答案見解析．試題解析：（1）ξ的取值為1，2，3，4。當(dāng)ξ=1時，只取一次就取到合格品，∴P（ξ=1）=；當(dāng)ξ=2時，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，∴P（ξ=2）=；類似地有P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，∴ξ的分布列為（略）（2）ξ的取值為1,2,3,…，n,…。當(dāng)ξ=1時，只取一次就取到合格品，∴P（ξ=1）=；當(dāng)ξ=2時，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，∴P（ξ=2）=；當(dāng)ξ=3時，即第一、二次均取到次品，而第三次取取到合格品，∴P（ξ=2）=；類似地當(dāng)ξ=n時,即前n-1次均取到次品，而第n次取到合格品,∴P（ξ=n）=（）n-1，n=1,2,3,…∴ξ的分布列為（略）（3）ξ的取值為1，2，3，4。當(dāng)ξ=1時，只取一次就取到合格品，∴P（ξ=1）=；當(dāng)ξ=2時，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，注意第二次取時，這批產(chǎn)品有11個合格品，2個次品，∴P（ξ=2）=；類似地，P（ξ=3）=；P（ξ=4）=，∴ξ的分布列為（略）【變式演練】一個袋子裝有大小形狀完全相同的9個球，其中5個紅球編號分別為1,2,3,4,5,4個白球編號分別為1,2,3,4，從袋中任意取出3個球．（Ⅰ）求取出的3個球編號都不相同的概率；（Ⅱ）記為取出的3個球中編號的最小值，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）期望為．試題解析：（Ⅰ）設(shè)“取出的3個球編號都不相同”為事件，“取出的3個球中恰有兩個球編號相同”這事件，則，∴．（Ⅱ）的取值為1,2，3,4，，，．所以的分布列為：的數(shù)學(xué)期望．【題型五】放球型【典例分析】某市公租房的房源位于A，B，C三個片區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4位申請人中：（Ⅰ）恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；（Ⅱ）申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）解：（I）解法一：所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為解法二：設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復(fù)試驗.記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則從而，由獨立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為（II）ξ的所有可能值為1，2，3.又綜上知，ξ有分布列ξ123P【變式演練】為喜迎馬年新春佳節(jié)，懷化某商場在正月初六進(jìn)行抽獎促銷活動，當(dāng)日在該店消費滿500元的顧客可參加抽獎．抽獎箱中有大小完全相同的4個小球，分別標(biāo)有字“馬”“上”“有”“錢”．顧客從中任意取出1個球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“錢”字球，則停止取球．獲獎規(guī)則如下：依次取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球為一等獎；不分順序取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球，為二等獎；取到的4個球中有標(biāo)有“馬”“上”“有”三個字的球為三等獎．（Ⅰ）求分別獲得一、二、三等獎的概率；（Ⅱ）設(shè)摸球次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望解：（Ⅰ）設(shè)“摸到一等獎、二等獎、三等獎”分別為事件A，B，C．則（列式正確，計算錯誤，扣1分）…2分（列式正確，計算錯誤，扣1分）…4分三等獎的情況有：“馬，馬，上，有”；“馬，上，上，有”；“馬，上，有，有”三種情況．……6分（Ⅱ）設(shè)摸球的次數(shù)為，則1、2、3、4.，，，…10分故取球次數(shù)的分布列為1234…………12分【題型六】藥物分組型【典例分析】春季氣溫逐漸攀升，病菌滋生傳播快，為了確保安全開學(xué)，學(xué)校按30名學(xué)生一批，組織學(xué)生進(jìn)行某種傳染病毒的篩查，學(xué)生先到醫(yī)務(wù)室進(jìn)行血檢，檢呈陽性者需到防疫部門]做進(jìn)一步檢測．學(xué)校綜合考慮了組織管理、醫(yī)學(xué)檢驗?zāi)芰Φ榷嗳f面的因素，根據(jù)經(jīng)驗，采用分組檢測法可有效減少工作量，具體操作如下：將待檢學(xué)生隨機(jī)等分成若干組，先將每組的血樣混在一起化驗，若結(jié)果呈陰性，則可斷定本組血樣合格，不必再做進(jìn)一步的檢測；若結(jié)果呈陽性，則本組中的每名學(xué)生再逐個進(jìn)行檢測．現(xiàn)有兩個分組方案：方案一：將30人分成5組，每組6人；方案二：將30人分成6組，每組5人．已知隨機(jī)抽一人血檢呈陽性的概率為0．5%，且每個人血檢是否呈陽性相互獨立．（Ⅰ）請幫學(xué)校計算一下哪一個分組方案的工作量較少？（Ⅱ）已知該傳染疾病的患病率為0．45%，且患該傳染疾病者血檢呈陽性的概率為99．9%，若檢測中有一人血檢呈陽性，求其確實患該傳染疾病的概率．（參考數(shù)據(jù)：（，）【答案】（Ⅰ）方案一工作量更少．（Ⅱ）0.8991解：（1）設(shè)方案一中每組的化驗次數(shù)為X，則X的取值為1，7，，∴X的分布列為：X17P0．9700．030．故方案一的化驗總次數(shù)的期望值為：次．設(shè)方案二中每組的化驗次數(shù)為Y，則Y的取值為1，6，，，∴Y的分布列為：Y16P0．9750．025．∴方案二的化驗總次數(shù)的期望為次．∵，∴方案一工作量更少．（2）設(shè)事件A：血檢呈陽性，事件B：患疾病，則由題意得，，，由條件概率公式可得，∴該職工確實患該疾病的概率．【變式演練】冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗次.方式二：混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.（1）現(xiàn)有份血液樣本，其中只有份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次為.（i）若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（ii）若，且采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【詳解】（1）設(shè)恰好經(jīng)過次檢驗?zāi)馨殃栃詷颖救繖z驗出來為事件，則，所以，恰好經(jīng)過次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為；（2）（i）由已知得，的所有可能取值為、，，，，由，得，化簡得；（ii）由題意知，則，，即，，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.，，所以的最大值為.【題型七】設(shè)備購銷型【典例分析】 某商場以分期付款方式銷售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為：2340.4其中，（Ⅰ）求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（Ⅱ）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得利潤l00元，若顧客選擇分3期付款，則商場獲得利潤150元，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得利潤200元.商場銷售兩件該商品所獲的利潤記為（單位：元）（?。┣蟮姆植剂?；（ⅱ）若，求的數(shù)學(xué)期望的最大值.【答案】（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（?。┮娊馕觯áⅲ?shù)學(xué)期望的最大值為280【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，由獨立重復(fù)事件的特點得出，利用二項分布的概率公式，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）（?。┮李}意，的取值為200，250，300，350，400，根據(jù)離散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由題意知，，解得，根據(jù)的分布列，得出的數(shù)學(xué)期望，結(jié)合，即可算出的最大值.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，則，則，故購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.（Ⅱ）（ⅰ）依題意，的取值為200，250，300，350，400，，，，，的分布列為：2002503003504000.16（ⅱ），由題意知，，，，，又，即，解得，，，當(dāng)時，的最大值為280， 所以的數(shù)學(xué)期望的最大值為280.【變式演練】某公司打算引進(jìn)一臺設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元，乙設(shè)備每臺9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對于每臺設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種設(shè)備？請說明理由.【答案】（1）分布列見解析，分布列見解析；（2）甲設(shè)備，理由見解析【詳解】（1）的可能取值為10000，11000，12000，，因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000，10000，11000，12000，，，因此的分布列為如下9000100001100012000（2）設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，的可能取值為2，3，4，5，，，則的分布列為2345的可能取值為3，4，5，6，，，則的分布列為3456由于，，因此需購買甲設(shè)備【題型八】“數(shù)列”型【典例分析】為了釋放學(xué)生壓力，某校高三年級一班進(jìn)行了一個投籃游戲，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪）.在相同的條件下，每輪甲乙兩人站在同一位置，甲先投，每人投一次籃，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得﹣1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分.設(shè)甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且各次投籃互不影響.（1）經(jīng)過1輪投籃，記甲的得分為X，求X的分布列及期望；（2）若經(jīng)過n輪投籃，用pi表示經(jīng)過第i輪投籃后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.①求p1，p2，p3②規(guī)定p0＝0，經(jīng)過計算機(jī)計算可估計得pi＝api+1+bpi+cpi﹣1（b≠1），請根據(jù)①中p1，p2，p3值分別寫出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列{pn}的通項公式.【答案】（1）分布列見解析，；（2）①；②.【分析】（1）先確定隨機(jī)變量的所有的可能取值，然后分別算出概率，可求出分布列，求得期望；（2）①采用列舉法，將甲得分比乙得分的情況按分析出來，然后計算概率即可；②將①中的結(jié)果代入遞推式，解出，得到三項的關(guān)系式，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，得到數(shù)列是一個等比數(shù)列，即可求解.【詳解】（1）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為，則,，所以隨機(jī)變量的分布列為：01則期望為。（2）①由（1）知，經(jīng)過兩輪投籃，甲的累計得分高的有兩種情況：一是甲兩輪都得分；二是兩輪甲一輪得0分，另一輪得1分，所以概率為，經(jīng)過三輪投籃，甲累計得分高有四種情況：即：，所以概率為.②因為，所以，將代入，解得，所以，所以，則，所以，因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.【變式演練】新冠抗疫期間，我們經(jīng)歷了太多悲慟，也收獲了不少感動．某數(shù)學(xué)小組希望通過將所學(xué)的知識應(yīng)用于我們的抗疫，決定以數(shù)學(xué)實驗的方式探索新冠的傳染和防控．過程如下：假設(shè)小盒中有個黑球，個紅球．模型①：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球后，則放回小盒并往小盒里加入倍的紅球．此模型可以解釋為“傳染模型”，即若發(fā)現(xiàn)一個新冠感染者，若不作任何處理，則會產(chǎn)生倍的新的感染者；模型②：若取出黑球，則放回小盒中，不作任何改變；若取出紅球，則用黑球替換該紅球重新放回小盒中，此模型可以解釋為“安全模型”，即若發(fā)現(xiàn)一個新冠患者，則移出將其隔離進(jìn)行診治．（注：考慮樣本容量足夠大和治愈率的可能性，故用黑球代替紅球）（1）分別計算在兩種模型下，取出一次球后，第二次取到紅球的概率；（2）在模型②的前提下：（i）記在第次時，剛好抽到第二個紅球，試用表示剛好第次抽到第二個紅球?qū)?yīng)的概率；（ii）若規(guī)定無論第次是否能夠抽到紅球或第二個紅球，當(dāng)進(jìn)行到第次時，即停止抽球；記抽到第二個紅球時所需要的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．（精確到個位）參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】（1）在模型①下，所求概率為，在模型②下，所求概率為；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得在兩種模型下，取出一次球后，第二次取到紅球的概率；（2）（i）若第次是第一次取到紅球，第次是第二次取到紅球，求得對應(yīng)的概率為，然后利用等比數(shù)列的求和公式化簡可得結(jié)果；（ii）由題意可知，隨機(jī)變量的取值依次是、、、、，求得的值，然后利用數(shù)學(xué)期望公式可求得的近似值.【詳解】（1）記在模型①下，取到紅球的概率為，則；記在模型②下，取到紅球的概率為，則；（2）（i）若第次是第一次取到紅球，第次是第二次取到紅球．則對應(yīng)地有：．則兩次紅球都被取出的所有可能情況的概率和為：利用等比數(shù)列求和公式即可得：；（ii）由題意可知，的取值依次是、、、、，特別地，當(dāng)時，對應(yīng)的，由參考數(shù)據(jù)可得：．對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為：．由參考數(shù)據(jù)可得：．【題型九】傳球與游走型【典例分析】棋盤上標(biāo)有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第站或第站時，游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第站的概率為.（1）當(dāng)游戲開始時，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）證明：；（3）求、的值.【答案】（1）分布列見解析，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為；（2）（3），.【分析】（1）根據(jù)題意得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算出隨機(jī)變量在相應(yīng)取值時的概率，可列出隨機(jī)變量的分布列，由此計算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)題意，棋子要到第站，由兩種情況，由第站跳站得到，也可以由第站跳站得到，由此得出，并在該等式兩邊同時減去，可得出所證等式成立；（3）結(jié)合（1）、（2）可得，利用累加法求出數(shù)列的通項公式，從而可求出和的值.【詳解】（1）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、.，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為；（2）根據(jù)題意，棋子要到第站，由兩種情況，由第站跳站得到，其概率為，也可以由第站跳站得到，其概率為，所以，.等式兩邊同時減去得；（3）由（2）可得，，.由（2）可知，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，，又，則，由于若跳到第站時，自動停止游戲，故有.【變式演練】為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080(1)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；(2)從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；(3)為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動，在該活動的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求第次傳球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，理由見解析(2)(3)【分析】（1）計算卡方，與6.635比較后得到結(jié)論；（2）利用事件，利用條件概率求出答案；（3）設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為，，得到，利用構(gòu)造法得到，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而求出通項公式，得到答案.【詳解】（1），故依據(jù)的獨立性檢驗，可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；（2）設(shè)從這200人中隨機(jī)選擇1人，設(shè)選到經(jīng)常鍛煉的學(xué)生為事件A，選到的學(xué)生為男生為事件B，則，則已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，他是男生的概率；（3）設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，設(shè)，則，所以，解得：，所以，其中，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故，故第次傳球后球在甲手中的概率為.【題型十】“導(dǎo)數(shù)應(yīng)用”型【典例分析】新型冠狀病毒是一種人傳人，而且隱藏至深、不易被人們直覺發(fā)現(xiàn)危及人們生命的嚴(yán)重病毒．我們把與這種身帶新型冠狀病毒（稱之為患者）有過密切接觸的人群稱為密切關(guān)聯(lián)者．已知每位密切關(guān)聯(lián)者通過核酸檢測被確診為陽性后的概率為．一旦被確診為陽性后即將其隔離．某位患者在隔離之前，每天有位密切關(guān)聯(lián)者與之接觸（而這個人不與其他患者接觸），其中被感染的人數(shù)為．（1）求一天內(nèi)被感染人數(shù)的概率的表達(dá)式和的數(shù)學(xué)期望；（2）該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天內(nèi)患者無任何癥狀，則為病毒傳播的最佳時間．設(shè)每位患者在不知自己患病的情況下的第二天又與位密切關(guān)聯(lián)者接觸．從某一從名患者被帶新型冠狀病毒的第1天開始算起，第天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為．①當(dāng)，，求的值；②試分析每位密切關(guān)聯(lián)者佩戴口罩后與患者接觸能否降低患病的概率，經(jīng)大量臨床數(shù)據(jù)驗證佩戴口罩后被感染患病的概率滿足關(guān)系式．當(dāng)取得最大值時，計算所對應(yīng)的和所對應(yīng)的值，然后根據(jù)計算結(jié)果說明佩戴口罩的必要性（?。▍⒖紨?shù)據(jù)：，，，，，計算結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1），；（2）①233280；②（人）；（人）；必要性見解析．【分析】（1）設(shè)事件：被病毒感染的人群，隨機(jī)變量的取值為：0，1，2，…，．得到事件服從二項分布，即可求解．（2）①根據(jù)題意，第天新增加人數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即可求解的值．②求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而得到，，分別求得和的人數(shù)，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）根據(jù)題意，因為任何一個與患者密切接觸的關(guān)聯(lián)者，被感染（患病）的概率均為，又每天有位密切關(guān)聯(lián)者與一患者接觸，設(shè)事件：被病毒感染的人群，隨機(jī)變量的取值為：0，1，2，…，．顯然事件服從二項分布，即，顯然．（2）①根據(jù)題意，最初患者自己被感染，即第1天人數(shù)為1，第2天被感染人數(shù)增至為：；第3天被感染人數(shù)增至為：，…，顯然第天被感染人數(shù)增至為：，第天被感染人數(shù)增至為：，于是根據(jù)題意中均值定義，第天新增加人數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即，于是．②根據(jù)題意函數(shù)，求導(dǎo)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，于是．此時，，于是（人），（人）．經(jīng)過計算得知，戴口罩情況下患者與密切接觸的關(guān)聯(lián)者接觸被感染的人數(shù)為16人，而不戴口罩的情況下患者與密切接觸的關(guān)聯(lián)者接觸被感染的人數(shù)為6480人，即遠(yuǎn)大于，于是戴口罩是非常必要的．【變式演練】某單位為患病員工集體篩查新型流感病毒，需要去某醫(yī)院檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方案，方案一：逐份檢驗，則需要檢驗k次；方案二：混合檢驗，將k份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗一次，若檢驗結(jié)果為陰性，則k份血液樣本均為陰性，若檢驗結(jié)果為陽性，為了確定k份血液中的陽性血液樣本，則對k份血液樣本再逐一檢驗.逐份檢驗和混合檢驗中的每一次檢驗費用都是元，且k份血液樣本混合檢驗一次需要額外收元的材料費和服務(wù)費.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本是否為陽性是相互獨立的，且據(jù)統(tǒng)計每份血液樣本是陽性的概率為.（1）若份血液樣本采用混合檢驗方案，需要檢驗的總次數(shù)為X，求X分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）①若，以檢驗總費用為決策依據(jù)，試說明該單位選擇方案二的合理性；②若，采用方案二總費用的數(shù)學(xué)期望低于方案一，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，【答案】（1）分布列見解析，；（2）①答案見解析；②11.【分析】（1）依據(jù)題意寫出X的所有可能取值并計算相應(yīng)的概率，列出分布列，然后計算期望即可.（2）①設(shè)方案總費用為Y，，計算數(shù)學(xué)期望，然后與方案一的總費用為，作差比較即可.②根據(jù)，可得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）X的可能值為1和，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X1P所以.（2）①設(shè)方案總費用為Y，方案一總費用為Z，則，所以方案二總費用的數(shù)學(xué)期望為：，又，所以，又方案一的總費用為，所以，當(dāng)時，，，又，所以，所以該單位選擇方案二合理.②由①知方案二總費用的數(shù)學(xué)期望，當(dāng)時，，又方案一的總費用為，令得：，所以，即，即，所以，設(shè)，所以，令得，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，，，，，所以k的最大值為11.【點睛】本題考查概率與導(dǎo)數(shù)的綜合，本題考查閱讀理解能力以及計算能力，同時概率與數(shù)列，概率與導(dǎo)數(shù)算是近幾年熱點內(nèi)容，屬難題.1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；（2）計算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為；（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏的概率為.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為.【點睛】本題考查獨立事件概率的計算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力，屬于中等題.2．（2019·全國·高考真題）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.【分析】（1）首先確定所有可能的取值，再來計算出每個取值對應(yīng)的概率，從而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，從而整理出符合等比數(shù)列定義的形式，問題得證；（ii）列出證得的等比數(shù)列的通項公式，采用累加的方式，結(jié)合和的值可求得；再次利用累加法可求出.【詳解】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：

是以為首項，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.【點睛】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解、利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項公式和數(shù)列中的項的問題.本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)列通項求解、概率求解的相關(guān)知識，對學(xué)生分析和解決問題能力要求較高.3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）利用公式計算可得.（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點的范圍可得的最小正零點.（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.【詳解】（1）.（2）設(shè)，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當(dāng)時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當(dāng)時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.4．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）（2）【分析】（1）直接根據(jù)操作，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)操作，依次求，即得遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列求得，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.【詳解】（1），，.（2），，因此，從而，即.又的分布列為012故.【點睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關(guān)系、構(gòu)造法求數(shù)列通項、數(shù)學(xué)期望公式，考查綜合分析求解能力，屬難題.5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．【分析】（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出，即可得解.【詳解】（1）①對每組進(jìn)行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進(jìn)行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.1．現(xiàn)有一種射擊訓(xùn)練，每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨立．已知射擊訓(xùn)練有A，B兩種型號的炮彈，對于A型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為p（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.6，擊中兩彈目標(biāo)飛行物必墜段；對子B型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為q（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.4，擊中兩彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.8，擊中三彈目標(biāo)飛行物必墜毀．(1)在一次訓(xùn)練中，使用B型號炮彈，求q滿足什么條件時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于；(2)若，試判斷在一次訓(xùn)練中選用A型號炮彈還是B型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大？并說明理由．【答案】(1)(2)使用B型號炮彈，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用間接法與二項分布的概率公式得到關(guān)于的不等式，解之即可；（2）先利用二項分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標(biāo)飛行物的概率，再利用作差法與構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)比較得兩概率的大小，從而得到結(jié)論.【詳解】（1）因為每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨立，所以在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)B型號炮彈，用表示命中目標(biāo)飛行物的炮彈數(shù)，則（服從二項分布），則，即，則，即，則，又，故，所以當(dāng)時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于.（2）在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)A型號炮彈，用表示命中目標(biāo)飛行物的炮彈數(shù)，則（服從二項分布），，記事件為“使用A型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀”，事件為“使用B型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀”，則，，因為，所以，則，令，則，令，即，則，得，又，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，則，故，即，所以使用B型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵點有兩次，一次是理解A、B型炮彈擊中飛行物的次數(shù)服從二項分布，進(jìn)而利用二項分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標(biāo)飛行物的概率；二次是利用導(dǎo)數(shù)比較兩者概率的大小.2．袋中有個白球和個黑球，從中任取一球，若取出白球，則把它放回袋中；若取出黑球，則該黑球不再放回，另補(bǔ)一個白球放到袋中.在重復(fù)次這樣的操作后，記袋中白球的個數(shù)為.(1)求的數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)，求，.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時，袋中白球的個數(shù)可能為或，得概率為或，求期望即可；（2）當(dāng)時，求出，再分別計算第次操作后袋中有個白球和第次操作后袋中有個白球，求解計算即可.(1)當(dāng)時，袋中白球的個數(shù)可能為（即取出的是白球），概率為；也可能為（即取出的是黑球），概率為.故(2)當(dāng)時，當(dāng)時，第次操作后袋中有個白球的可能性有兩種：①第次操作后袋中有個白球，顯然每次取球后，球的總數(shù)保持不變，即個（此時黑球有個），第次取出來的也是白球，這種情況發(fā)生的概率為；②第次操作后袋中有個白球，第次取出來的是黑球，由于球的總數(shù)保持不變，為個，故此時黑球的個數(shù)為，這種情況發(fā)生的概率為，故，綜上所述，3．投擲一枚硬幣（正反等可能），設(shè)投擲n次不連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的概率為.(1)求，，和；(2)寫出的遞推公式，并指出增減性.【答案】(1)，，(2)當(dāng)時遞減【詳解】（1）顯然，；又投擲四次，連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的情況只有：正正正正或正正正反或反正正正，故.（2）共分三種情況：如果第n次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是；如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是；如果第n次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前n次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，所以這時候不出現(xiàn)三次連續(xù)正面的概率是.由此可得，，，，.故，①，②①②，有.所以當(dāng)時，遞減，且易知.綜上，且當(dāng)時遞減.4．一只螞蟻從正方形的頂點出發(fā)，每一次行動順時針或逆時針經(jīng)過一條邊到達(dá)另一頂點，其中順時針的概率為，逆時針的概率為，設(shè)螞蟻經(jīng)過步回到點的概率為.（1）求，；（2）設(shè)經(jīng)過步到達(dá)點的概率為，求的值；（3）求.【答案】（1），，（2）當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，（3）當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，【分析】（1）即經(jīng)過一步從點到達(dá)點的概率，即經(jīng)過兩步從點到在點的概率，即可求出，的值；（2）當(dāng)為偶數(shù)時，由頂點出發(fā)只能到點或點，可得，當(dāng)為奇數(shù)時，由頂點出發(fā)只能到點或點，可得；（3）當(dāng)為偶數(shù)時，得到，進(jìn)而得到，再構(gòu)造等比數(shù)列即可求解【詳解】解：（1）因為即經(jīng)過一步從點到達(dá)點的概率，所以，因為即經(jīng)過兩步從點到在點的概率，包括先順時針再逆時針和先逆時針再順時針，所以，（2）當(dāng)為偶數(shù)時，由頂點出發(fā)只能到點或點，到達(dá)的概率為，到達(dá)點的概率為，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，由頂點出發(fā)只能到點或點，，所以，綜上，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，（3）當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，從點或點出發(fā)經(jīng)過兩步到點有概率分別為，，從點出發(fā)經(jīng)過步到點分為兩步，①從點出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)點，再經(jīng)過兩步到點，概率為，②從點出發(fā)經(jīng)過步到達(dá)點，再經(jīng)過兩步到點，概率為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以，綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查概率的求法，考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是當(dāng)為偶數(shù)時，分兩種情況求出概率，即從點或點出發(fā)經(jīng)過兩步到點有概率，從而可得到遞推式，結(jié)合可得，構(gòu)造等比數(shù)列可得通項公式，考查計算能力，屬于難題5．現(xiàn)有一批疫苗試劑，擬進(jìn)入動物試驗階段，將1000只動物平均分成100組，任選一組進(jìn)行試驗．第一輪注射，對該組的每只動物都注射一次，若檢驗出該組中有9只或10只動物產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，試驗終止；否則對沒有產(chǎn)生抗體的動物進(jìn)行第二輪注射，再次檢驗．如果被二次注射的動物都產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，否則需要改進(jìn)疫苗．設(shè)每只動物是否產(chǎn)生抗體相互獨立，兩次注射疫苗互不影響，且產(chǎn)生抗體的概率均為．（1）求該組試驗只需第一輪注射的概率（用含的多項式表示）；（2）記該組動物需要注射次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)第一輪注射有Y只動物產(chǎn)生抗體，則，則所求概率即；（2）先求得，由顯然可得，再變形，可證得.【詳解】（1）平均每組人，設(shè)第一輪注射有Y只動物產(chǎn)生抗體，則，所以，所以該組試驗只需第一輪注射的概率為．（2）由（1）得，，所以，設(shè)，則，又，所以，因為，所以，又，因為，所以，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（2）問