學(xué)習(xí)電腦信息五大常用算法之二：動態(tài)規(guī)劃算法

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一、基本概念

動態(tài)規(guī)劃過程是：每次決策依靠于當前狀態(tài)，又隨即引起狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。一個決策序列就是在改變的狀態(tài)中產(chǎn)生出來的，所以，這種多階段最優(yōu)化決策解決問題的過程就稱為動態(tài)規(guī)劃。二、基本思想與策略

基本思想與分治法類似，也是將待求解的問題分解為若干個子問題（階段），按依次求解子階段，前一子問題的解，為后一子問題的求解供應(yīng)了有用的信息。在求解任一子問題時，列出各種可能的局部解，通過決策保留那些有可能達到最優(yōu)的局部解，丟棄其他局部解。依次解決各子問題，最終一個子問題就是初始問題的解。

由于動態(tài)規(guī)劃解決的問題多數(shù)有重疊子問題這個特點，為削減重復(fù)計算，對每一個子問題只解一次，將其不同階段的不同狀態(tài)保存在一個二維數(shù)組中。

與分治法最大的差別是：適合于用動態(tài)規(guī)劃法求解的問題，經(jīng)分解后得到的子問題往往不是相互獨立的（即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的解的基礎(chǔ)上，進行進一步的求解）。

三、適用的狀況能采納動態(tài)規(guī)劃求解的問題的一般要具有3特性質(zhì)：

(1)最優(yōu)化原理：假如問題的最優(yōu)解所包含的子問題的解也是最優(yōu)的，就稱該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，即滿意最優(yōu)化原理。

(2)無后效性：即某階段狀態(tài)一旦確定，就不受這個狀態(tài)以后決策的影響。也就是說，某狀態(tài)以后的過程不會影響以前的狀態(tài)，只與當前狀態(tài)有關(guān)。

（3）有重疊子問題：即子問題之間是不獨立的，一個子問題在下一階段決策中可能被多次運用到。（該性質(zhì)并不是動態(tài)規(guī)劃適用的必要條件，但是假如沒有這條性質(zhì)，動態(tài)規(guī)劃算法同其他算法相比就不具備優(yōu)勢）

四、求解的基本步驟

動態(tài)規(guī)劃所處理的問題是一個多階段決策問題，一般由初始狀態(tài)起先，通過對中間階段決策的選擇，達到結(jié)束狀態(tài)。這些決策形成了一個決策序列，同時確定了完成整個過程的一條活動路途(通常是求最優(yōu)的活動路途)。如圖所示。動態(tài)規(guī)劃的設(shè)計都有著肯定的模式，一般要經(jīng)驗以下幾個步驟。

初始狀態(tài)→│決策１│→│決策２│→…→│決策ｎ│→結(jié)束狀態(tài)

圖1動態(tài)規(guī)劃決策過程示意圖

(1)劃分階段：依據(jù)問題的時間或空間特征，把問題分為若干個階段。在劃分階段時，留意劃分后的階段肯定要是有序的或者是可排序的，否則問題就無法求解。

(2)確定狀態(tài)和狀態(tài)變量：將問題發(fā)展到各個階段時所處于的各種客觀狀況用不同的狀態(tài)表示出來。當然，狀態(tài)的選擇要滿意無后效性。

(3)確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：因為決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著自然的聯(lián)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是依據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以假如確定了決策，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就可寫出。但事實上經(jīng)常是反過來做，依據(jù)相鄰兩個階段的狀態(tài)之間的關(guān)系來確定決策方法和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

(4)找尋邊界條件：給出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是一個遞推式，須要一個遞推的終止條件或邊界條件。

一般，只要解決問題的階段、狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移決策確定了，就可以寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程（包括邊界條件）。實際應(yīng)用中可以按以下幾個簡化的步驟進行設(shè)計：

（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻畫其結(jié)構(gòu)特征。

（2）遞歸的定義最優(yōu)解。

（3）以自底向上或自頂向下的記憶化方式（備忘錄法）計算出最優(yōu)值

（4）依據(jù)計算最優(yōu)值時得到的信息，構(gòu)造問題的最優(yōu)解

五、算法實現(xiàn)的說明

動態(tài)規(guī)劃的主要難點在于理論上的設(shè)計，也就是上面4個步驟的確定，一旦設(shè)計完成，實現(xiàn)部分就會特別簡潔。

運用動態(tài)規(guī)劃求解問題，最重要的就是確定動態(tài)規(guī)劃三要素：

（1）問題的階段（2）每個階段的狀態(tài)

（3）從前一個階段轉(zhuǎn)化到后一個階段之間的遞推關(guān)系。

遞推關(guān)系必需是從次小的問題起先到較大的問題之間的轉(zhuǎn)化，從這個角度來說，動態(tài)規(guī)劃往往可以用遞歸程序來實現(xiàn)，不過因為遞推可以充分利用前面保存的子問題的解來削減重復(fù)計算，所以對于大規(guī)模問題來說，有遞歸不行比擬的優(yōu)勢，這也是動態(tài)規(guī)劃算法的核心之處。

確定了動態(tài)規(guī)劃的這三要素，整個求解過程就可以用一個最優(yōu)決策表來描述，最優(yōu)決策表是一個二維表，其中行表示決策的階段，列表示問題狀態(tài)，表格須要填寫的數(shù)據(jù)一般對應(yīng)此問題的在某個階段某個狀態(tài)下的最優(yōu)值（如最短路徑，最長公共子序列，最大價值等），填表的過程就是依據(jù)遞推關(guān)系，從1行1列起先，以行或者列優(yōu)先的依次，依次填寫表格，最終依據(jù)整個表格的數(shù)據(jù)通過簡潔的取舍或者運算求得問題的最優(yōu)解。

f(n,m)=max{f(n-1,m),f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}

六、動態(tài)規(guī)劃算法基本框架代碼1for(j=1;j<=m;j=j+1)//第一個階段2

xn[j]=初始值;34

for(i=n-1;i>=1;i=i-1)//其他n-1個階段5

for(j=1;j>=f(i);j=j+1)//f(i)與i有關(guān)的表達式6xi[j]=j=max（或min）{g(xi-1[j1:j2]),,g(xi-1[jk:jk+1])};89t=g(x1[j1:j2]);//由子問題的最優(yōu)解求解整個問題的最優(yōu)解的方案1011print(x1[j1]);1213for(i=2;i<=n-1;i=