北師大初中數(shù)學(xué)教案八年級(jí)上冊(cè) 第一章 勾股定理

勾股定理

教學(xué)目標(biāo)

1.了解勾股定理的證明，掌握勾股定理的內(nèi)容，初步會(huì)用它進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、作圖和證明.

2.通過(guò)勾股定理的應(yīng)用，培養(yǎng)方程的思想和邏輯推理能力.

3.對(duì)比介紹我國(guó)古代和西方數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的研究，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用：難點(diǎn)是勾股定理的證明及應(yīng)用.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

一、激發(fā)興趣引入課題

通過(guò)介紹我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚的建議一一向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形與外星人聯(lián)系，并說(shuō)明勾股定

理是我國(guó)占代數(shù)學(xué)家于2000年前就發(fā)現(xiàn)了的，激發(fā)學(xué)生對(duì)勾股定理的興趣和自豪感，引入課題.

二、勾股定理的探索，證明過(guò)程及命名

1.猜想結(jié)論.

勾股定理敘述的內(nèi)容是什么呢？請(qǐng)同學(xué)們也體驗(yàn)一下數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的樂(lè)趣.

教師用計(jì)算機(jī)演示：

（1）在△ABC中，ZA,NB,NC所對(duì)邊分別為a,b和c,ZACB=90°,使AABC運(yùn)動(dòng)起來(lái)，

但始終保持NACB=90°,如拖動(dòng)A點(diǎn)或B點(diǎn)改變a,b的長(zhǎng)度來(lái)拖動(dòng)AB邊繞任一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)AACB等.

（2）在以上過(guò)程中，始終測(cè)算a2,b2,c2,各取以上典型運(yùn)動(dòng)的某一兩個(gè)狀態(tài)的測(cè)算值（約7?

8個(gè)）列成表格，讓學(xué)生觀察三個(gè)數(shù)之間有何數(shù)量關(guān)系，得出猜想.（3）對(duì)比顯示銳角三角形、鈍角三角

形的三邊的平方不存在這種關(guān)系，因此它是直角三角形所特有的性質(zhì).讓學(xué)生用語(yǔ)言來(lái)敘述他的猜想，畫(huà)

圖及寫(xiě)出已知、求證.

2.證明猜想.

目前世界上可以查到的證明勾股定理的方法有幾百種，連美國(guó)第20屆總統(tǒng)加菲爾德于1881年也提供了一

面積證法（見(jiàn)課本第109頁(yè)圖（4））,而我國(guó)古代數(shù)學(xué)家利用割補(bǔ)、拼接圖形計(jì)算面積的思路提供了很

多種證明方法，下面咱們采納其中一種（教師制作教具演示，見(jiàn)如圖3—151）來(lái)進(jìn)行證明.

3.勾股定理的命名.

我國(guó)稱這個(gè)結(jié)論為“勾股定理”，西方稱它為“畢達(dá)哥拉斯定理”，為什么呢？

（1）介紹《周髀算經(jīng)》中市勾股定理的記載;

（2.）介紹西方畢達(dá)哥拉斯于公元前582.?493時(shí)期發(fā)現(xiàn)了勾股定理;

（3）對(duì)比以上事實(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育，激勵(lì)他們奮發(fā)向上.

三、勾股定理的應(yīng)用

1.已知直角三角形任兩邊求第三邊.

例1在RtAABC+,ZC=90°,ZA,ZB,NC所對(duì)邊分別為a,b,c.

（1）a=6>b=8求c及斜邊上的高；（2）a=40,c=41,求b；（3）b=15?=25求a；

（4）a:b=3:4,c=15,求b..

說(shuō)明：對(duì)于（1）,讓學(xué)生總結(jié)基本圖形（圖3—153）中利用面積求斜邊上高的基本方法；對(duì)

于（4）,引導(dǎo)學(xué)生利用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.

教師板書(shū)（1）,（4）的規(guī)范過(guò)程，讓學(xué)生練習(xí)（2）,（3）.

例2求圖3—152所示（單位mm）矩形零件上兩孔中心A和B的距離（精確到0.1mm）.

教師就如何根據(jù)圖紙上尺寸尋找直角三角形ABC中的已知條件，出示投影.

練習(xí)1投影顯示：（1）在等腰RlZXABC中，ZC=90°,AC:BC：AB=,；

（2.）如圖3-153ZACB=90°,ZA=30°,貝i」BC:AC:AB=；若AB=8,貝ijAC

=,；又若CDJLAB,則CD=.

（3）等邊出AABC的邊長(zhǎng)為a,則高AD=,

SAABC=_

說(shuō)明：

（1）學(xué)會(huì)利用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.

（2）通過(guò)此題讓學(xué)生總結(jié)并熟悉幾個(gè)基本圖形中的常用結(jié)論：

①等腰直角三角形三邊比為1:1：;

②含30°角的直角三角形三邊之比為1::2；

③邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的高為a,面積為

（板書(shū)）例3如圖3-154,AB=AC=20,BC=32,ADAC=90°.求BD的長(zhǎng).

分析：

（1）分解基本圖形，圖中有等腰4ABC和RtAADC；

（2）添輔助線一等腰4ABC底邊上的高AE,同時(shí)它也是RtaADC斜邊上的高；

(3)設(shè)BD為X.利用圖3—153中的基木關(guān)系，通過(guò)列方程來(lái)解決.教師板書(shū)詳細(xì)過(guò)程.

解：作AE_LBC于E.設(shè)BD為x,則DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又ADZMDE'AEJDCZ-AC2,將上式代入，得

DE2+AC2-EC2=DC2-AC2,即2AC2=J)C2+EC2-DE2.

A2X202=(32-X)2+162-(16-乂)2,解得臚7.

2.利用勾股定理作圖.

例4作長(zhǎng)為的線段.

說(shuō)明：按課本第101頁(yè)分析作圖即可，強(qiáng)調(diào)構(gòu)造直角三角形的方法以及自己規(guī)定單位長(zhǎng).

3.利用勾股定理證明.

例5如圖3T55,Z\ABC中，CD_LAB于D,AOBC.

求證：AC2-BC2=AD2-BD2=AB(AD-BD).

分析：

(1)分解出直角三角形使用勾股定理.

RtZXACD中，A^AD^D2；RtZXBCD中，BC2=CD2+BD2.

(2)利用代數(shù)中的恒等變形技巧進(jìn)行整理：

AC2-BC2=(AD2+CD2)-(CD2+BD2)

=A.D2-BD2

=(AD+BD)(AD-BD)

=AB.(AD-BD).

例6已知：如圖3-156,RtAABC,ZACB=90°m為口中點(diǎn),DE_LAB于E,求證：AC2=AE2-BE2.

分析：添加輔助線------連結(jié)AD,構(gòu)造出兩個(gè)新直角三角形，選擇與結(jié)論有關(guān)的勾股定理和表達(dá)式進(jìn)行證

明.

4.供選用例題.

(1)如圖3-157,在RtaABC中,ZC=90°,ZA=15°,BC=1.求△ABC的面積.

提示：添加輔助線一一BA的中垂線DE交BA于D,交AC于E,連結(jié)BE,.構(gòu)造出含30°角的直角三角形BCE,

同時(shí)利用勾股定理解決，或直接在NABC內(nèi)作NABE=15°,交CA邊于E.

(2)如圖3-158,4ABC中，ZA=45°,ZB=30°,BC=8.求AC邊的長(zhǎng).

分析：添加輔助線一一作CD_LAB于D,構(gòu)造含45°,30°角的直角三角形列方程解決問(wèn)題.

(3)如圖3-159(a),在四邊形ABCD中,ZB=

ZD=90°,ZC=60°,AD=1,BC=2,求AB,CD.

提示：添加輔助線一一延長(zhǎng)BA,CD交于E,構(gòu)造30°角的RtAEAD,Rl7\EBC.利用它們的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題

(見(jiàn)圖3-159(b)).或?qū)⑺倪呅蜛BCD分割成含30°的直角三解形及矩形來(lái)解決問(wèn)題.(見(jiàn)圖3T59(c))

答案：AB=23-2,CD=4-3.

(4)已知：3-160(a)，矩形ABCD.(四個(gè)角是直角)

①P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，求證PA?+PC2=PB24-PD2

②探索P運(yùn)動(dòng)到AD邊上(圖3—160(b))、矩形ABCD外(圖3—160(C))時(shí)，結(jié)論是否仍然成立.

分析：

(1)添加輔助線一一過(guò)P作EF_LBC交AD干E,交BC于F.在四個(gè)直角三角形中分別

使用勾股定理.

(2)可將三個(gè)題歸納成一個(gè).命題如下：

矩形所在平面上任一點(diǎn)到不相鄰頂點(diǎn)的距離的平方和相等.

四、師生共同回憶小結(jié)

1.勾股定理的內(nèi)容及證明方法.

2.勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征(一角為90°)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，即三邊滿足

3.利用勾股定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明時(shí)，要注意利用方程的思想求直角三角形有關(guān)線段

長(zhǎng)；利用添加輔助線的方法構(gòu)造直角三角形使用勾股定理.

五、作業(yè)

1.課本第106頁(yè)第2?8題.

2.閱讀課本第109頁(yè)的讀一讀：勾股定理的證明.

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

本教學(xué)設(shè)計(jì)需2課時(shí)完成.

1.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì).本教學(xué)設(shè)計(jì)利用計(jì)

算機(jī)(幾何畫(huà)板軟件動(dòng)態(tài)顯示)的優(yōu)越條件，提供足夠充分的典型材料一一形狀大小、位置發(fā)生變化的各

種直角三角形，讓學(xué)生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關(guān)系式，并通過(guò)與銳角、鈍角

三角形的對(duì)比，強(qiáng)調(diào)直角三角形的這個(gè)特有性質(zhì)，體現(xiàn)了啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律的

教學(xué)方法.

2.各學(xué)校根據(jù)自己的教學(xué)條件還可以采納以下類比聯(lián)想的探索方式來(lái)引入新課.

(1)復(fù)習(xí)三角形三邊的關(guān)系，總結(jié)出規(guī)律：較小兩邊的和大于第三邊.

(2)引導(dǎo)學(xué)生類比聯(lián)想：較小兩邊的平方和與第三邊的平方有何大小關(guān)系呢？

(3)舉出三個(gè)事例(見(jiàn)圖3—161(a)(b)(c)).

對(duì)比發(fā)現(xiàn)銳角、鈍角三角形中兩較小邊的平方和分別大于或小于第三邊的平方，直角三角形中較小兩邊的

平方司等于第三邊的平方.

(4)用教具演示圖3—151,驗(yàn)證對(duì)直角三角形所做的猜想

第1章勾股定理

一、學(xué)生起點(diǎn)分析

通過(guò)前面三節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了勾股定理及逆定理的知識(shí)，并能應(yīng)用勾股定理及其逆定理

解決一些具體的實(shí)際問(wèn)題，因而學(xué)生已經(jīng)具備解決本課問(wèn)題所需的知識(shí)基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).同時(shí)在以前

的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生己經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與

交流的能力.

八年級(jí)學(xué)生己初步具有幾何圖形的觀察，幾何證明的理論思維能力.他們希望老師創(chuàng)設(shè)便于他們進(jìn)行

觀察的幾何環(huán)境，給他們發(fā)表自己見(jiàn)解和表現(xiàn)自己才華的機(jī)會(huì)，希望老師滿足他們的創(chuàng)造愿望，讓他們實(shí)

際操作，使他們獲得施展自己創(chuàng)造才能的機(jī)會(huì).但對(duì)于勾股定理的綜合應(yīng)用，還需要學(xué)生具備一定的分析、

歸納的思維方法和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想意識(shí)，但學(xué)生在這一方面的可預(yù)見(jiàn)性和耐挫折能力并不是很成熟，可能

部分同學(xué)會(huì)有一些困難.

二、教學(xué)任務(wù)分析

勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與

數(shù)密切聯(lián)系起來(lái)，理論上占有重要的地位，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過(guò)重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世

界中也有著廣泛的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價(jià)值.勾股定理也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運(yùn)算和

代數(shù)學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)，具有學(xué)科的基礎(chǔ)性與廣泛的應(yīng)用.

本課時(shí)教學(xué)是復(fù)習(xí)課，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流，

以學(xué)生自主探索為主，并強(qiáng)調(diào)同桌之間的合作與交流，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力.讓學(xué)生通

過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口自主探索，感受數(shù)學(xué)的美，以提高學(xué)習(xí)興趣.

為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

①讓學(xué)生回顧本章的知識(shí)，同時(shí)重溫這些知識(shí)尤其是勾股定理的獲得和驗(yàn)證的過(guò)程，體會(huì)勾股定理及

其逆定理的廣泛應(yīng)用.

②在回顧與思考的過(guò)程中，提高解決問(wèn)題，反思問(wèn)題的能力.

③在反思和交流的過(guò)程中，體驗(yàn)學(xué)工帶來(lái)的無(wú)盡的樂(lè)趣.通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的再認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)愛(ài)國(guó)主

義精神，體驗(yàn)科學(xué)給人來(lái)帶來(lái)的力量.

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理；第三環(huán)節(jié)：合作探究；第

四環(huán)節(jié)：拓展提升；第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè).

第一環(huán)節(jié)情境引入

勾股定理，我們把它稱為世界第一定理.它的重要性，通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)己深有體驗(yàn)，首先，勾股定

理是數(shù)形結(jié)合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學(xué)知道，正是由于勾股定理得發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致無(wú)

理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學(xué)的第?次危機(jī)，這?點(diǎn)，我們將在《實(shí)數(shù)》?章里講到，第三，勾股定理中的公

式是第一個(gè)小定方程，有許許多多的數(shù)滿足這個(gè)方程，也是有完整的解答的最早的小定方程，最為著名的

就是費(fèi)馬大定理，直到1995年，數(shù)學(xué)家懷爾斯才將它證明.

勾股定理是我們數(shù)學(xué)史的奇跡，我們已經(jīng)比較完整地研究了這個(gè)先人給我們留下來(lái)的寶貴的財(cái)富，這

節(jié)課，我們將通過(guò)回顧與思考中的幾個(gè)問(wèn)題更進(jìn)一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應(yīng)用.

目的：

通過(guò)對(duì)勾股定理歷史及地位的解讀，讓學(xué)生了解知識(shí)脈絡(luò)及前后聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)探究熱情.

效果：

從歷史的深度提出問(wèn)題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎(chǔ).

第二環(huán)節(jié)：知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理

本章知識(shí)要點(diǎn)及結(jié)構(gòu)：

（第1一6題由學(xué)生獨(dú)立思考完成，小組代表展示）

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用。2和。分別表示直角三角形的

直角邊和斜邊，那么=。2.

2.勾股定理各種表達(dá)式：

在麻△47。中，ZC=90°,ZA,ZB,NC的對(duì)邊也分別為。,b,c,則c=________,h=_______,

3.勾股定理的逆定理：

在AABC中，若三邊滿足___________,則AABC為

4.勾股數(shù)：

滿足的三個(gè),稱為勾股數(shù).

5.幾何體上的最短路程是將立體圖形的______展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為_(kāi)________上的路程問(wèn)題，再利用

兩點(diǎn)之間，解決最短線路問(wèn)題.

6.直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關(guān)系？

（教師引導(dǎo)，小組討論、總結(jié)）

從邊的關(guān)系來(lái)說(shuō)，當(dāng)然就是勾股定理；從角度的關(guān)系來(lái)說(shuō)，由于直角三角形中有一個(gè)特殊的角即直角，

所以直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

直角三角形作為一個(gè)特殊的三角形.如果又有一個(gè)銳角是30。，那么30。的角所對(duì)的直角邊時(shí)斜邊的

一半.

7.舉例說(shuō)明，如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形.

判斷一個(gè)三角形是直角三角形可以從角、邊兩個(gè)方面去判斷.

（1）從定義即從角出發(fā)去判斷一個(gè)三角形是直角三角形.

例如：①在△4式中，ZB=75°,ZC=15°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得NA=90。，根據(jù)定義

可判斷△力比是直角三角形.

②在△力比?中，Z4=-ZB=-ZC,由三角形的內(nèi)角和定理可知，ZA=30°,NB=2NA=60。，

23

ZC=3ZA=9O°,△力固是直角三角形.

（2）從邊出發(fā)來(lái)判斷一個(gè)三角形是直角三角形.其實(shí)從邊來(lái)判斷直角三角形它的理論依據(jù)就是判定

直角三角形的條件（即勾股定理的逆定理）.

例如：①△力比'的三條邊分別為a=7,b=25,。=24,而/+/=7、242=625=252=6。根

據(jù)勾股定理的逆定理可知△力比是直角三角形，但這里要注意的是b所對(duì)的角ZB=90°.

②在△48C三條邊的比為a:b:c=5:12:13,△?!比是直角三角形.

8.通過(guò)回顧與思考中的問(wèn)題的交流，由同學(xué)們自己建立本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

（小組內(nèi)展示自己總結(jié)的知識(shí)框圖.相互交流完善知識(shí)框圖；每個(gè)小組選取

一名代表，展示本組的知識(shí)框圖.）

三邊的關(guān)系■■勾股定理f歷史、應(yīng)用

直角三角形］

‘直角三角形的判別一應(yīng)用目

的：

復(fù)習(xí)與直角三有形有關(guān)的知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)的前后聯(lián)系，把勾股定理及判定納入直角三角形的知識(shí)體系

中，把以前的零散的知識(shí)形成知識(shí)體系.通過(guò)學(xué)生相互交流，整理知識(shí)框圖復(fù)習(xí)本章知識(shí)點(diǎn)，自覺(jué)內(nèi)化到

自身的知識(shí)體系中.

效果；

學(xué)生有獨(dú)立思考的空間，與有合作交流的舞臺(tái)，動(dòng)靜結(jié)合，相得益彰.

第三環(huán)節(jié)：合作探究

內(nèi)容：

探究一：利用勾股定理求邊長(zhǎng)

已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4,求第三邊長(zhǎng)的平方.

解：（1）當(dāng)兩直角邊為3和4時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為25；

（2）當(dāng)斜邊為4,一直角邊為3時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為7.

注意事項(xiàng):

因?qū)W生習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說(shuō)法，即意味著兩直角邊為3和4時(shí)，斜邊長(zhǎng)為5.但這一理解的

前提是3、4為直角邊.而本題中并未加以任何說(shuō)明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊.

探究二：利用勾股定理求圖形面積：

1.求出下列各圖中陰影部分的面積.

⑴⑵⑶

圖（1）陰影部分的面積為;（答案：1）

圖（2）陰影部分的面積為；（答案：81）

圖（3）陰影部分的面積為；（答案；5）

2.已知RtZSRBC中，ZC=90°,若a+b=14c??,c=10cm,求1的面積.

解：^AABC==；x2ab

=；［（。+與2-（以2+/）］

中（。+4勺

=1X（142-102）

=24.

探究三：利用勾股定理逆定理判定aABC的形狀或求角度

1.在△力BO中,N4,NB,NC的對(duì)邊分別為a,bc,且（。+力（。一與=/,貝ij（）.

（A）NA為直角（B）NC為直角（C）N8為直角（D）不是直角三角形

222

解：'.a-b=cf.??/=6+產(chǎn).故選（A）.

注意事項(xiàng)：

因?yàn)槌Ｒ?jiàn)的直角三角形表示時(shí)，一般將直角標(biāo)注為NC,因而有同學(xué)就習(xí)慣性的認(rèn)為NC就一定表示

直角，加之對(duì)本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯(cuò)誤.該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為/一/=。2,即a2=b2+c2,

因根據(jù)這一公式進(jìn)行判斷.

2.已知△力比的三邊為a,b,c,有下列各組條件，判定的形狀.

（1）々=41,8=40,c=9；

2222

（2）a=m-n,b=m+n,c=2mn（m>n>0）.

解：（1）（2）均為直角三角形.

探究四：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用：

B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60。方向以每小時(shí)8nmile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某

個(gè)角度以每小時(shí)15nmile的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34nmile,你

知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？

解：甲船航行的距離為BM=8x2=16（nmile）,

乙船航行的距離為BP為5x2=30（nmile）.

V162+302=1156,342=1156,:.BM~+BP2=MP?,

.??△MBP為直角三角形，二乙以切=90°,，乙船是沿著南偏東300方向航行的.

注意事項(xiàng)：

勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題需對(duì)三角形做出判斷，判斷的依據(jù)是勾定理的逆定理，其

形式為“若/+〃=,2,則NC=90。.學(xué)生容易不先對(duì)三角形做出判斷而直接應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

目的:

通過(guò)對(duì)四大問(wèn)題的探究，培養(yǎng)同學(xué)們歸納知識(shí)的能力，并將各種數(shù)學(xué)基本思想方法滲透其中，如對(duì)數(shù)

形結(jié)合思想的滲透，鼓勵(lì)學(xué)生由代數(shù)表示聯(lián)想到幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)代數(shù)表示，從而認(rèn)識(shí)數(shù)

學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系.如對(duì)分類討論的滲透，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度.

效果：

探究四綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題，這種貼近生活的實(shí)例，訓(xùn)練學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的

能力，通過(guò)學(xué)生的解答和討論，讓學(xué)生自我解決疑難，既是對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固應(yīng)用，又讓學(xué)生體驗(yàn)成功的

喜悅.

第四環(huán)節(jié)：拓展提升

內(nèi)容：

我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）.圖

2由“弦圖”變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形4完2正方形EFGH,正方

形制第'的面積分別為S1，S2,若S1+S2+S3=10,則S2的值是

C

1-0

3

的

目

學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國(guó)古代人民的聰明才智，在我們的數(shù)學(xué)

史上，好多結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都是這樣一個(gè)過(guò)程，都是從幾個(gè)或大量的特例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想出結(jié)論，然后

以前面的理論作為基礎(chǔ)，證明猜想，一個(gè)偉大的成果就誕生了，掌握這種研究數(shù)學(xué)的方法，大膽創(chuàng)新，刻

苦鉆研，說(shuō)不一定你就是未來(lái)的商高，第二個(gè)趙爽.

效果：

運(yùn)用勾股定理和方程思想解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)生活中處處皆數(shù)學(xué)，并且使新知得到了鞏固，能

力得到了訓(xùn)練，認(rèn)識(shí)得到了升華.

第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)

內(nèi)容：

師生相互交流總結(jié)：

1.本章知識(shí)要點(diǎn)及在學(xué)習(xí)中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

2.你在學(xué)習(xí)過(guò)程中是否枳極參與？是否與同伴進(jìn)行了有效的合作交流？

目的：

鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會(huì)到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠

久歷史.

效果：

學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，總結(jié)解決問(wèn)題的思路與方法，并贊嘆我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就.

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1.課本《復(fù)習(xí)題》.

2.思考題：一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示.正方形麗的邊長(zhǎng)為2m,坡角

ZA=30°,ZB=90°,BC=6m.當(dāng)正方形比?月運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE=m時(shí)，有

DC2=AE1+BC2.

（答案為：—.）

3

四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

本節(jié)課是復(fù)習(xí)課，利用勾股定理和勾股逆定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.勾股定理是在學(xué)生己經(jīng)掌握了直角三

角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它揭示了一個(gè)三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，而勾股定理逆用的作

用是判定某?個(gè)三角形是否是直角三角形.針對(duì)我班學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是引

導(dǎo)學(xué)生“‘做'數(shù)學(xué)"，先由淺入深，在學(xué)生的自主探究與合作交流中解決問(wèn)題，這樣既遵循了學(xué)生的認(rèn)

知規(guī)律，又充分體現(xiàn)了“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)工的主人、教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”的教學(xué)理

念.本節(jié)課圍繞激趣引入，歸納知識(shí)一綜合練習(xí)，應(yīng)用知識(shí)一課堂小結(jié)三部分，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)

與能力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心.讓學(xué)生自己繪制知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，進(jìn)一步體會(huì)本章所學(xué)知識(shí)之間

的前后聯(lián)系，并培養(yǎng)了學(xué)生這方面的能力.設(shè)計(jì)的題目既考察了對(duì)基本知識(shí)的掌握情況，又注重了綜合課

的特點(diǎn)，注重對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合利用.設(shè)計(jì)的問(wèn)題盡量與實(shí)際問(wèn)題有聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際，又應(yīng)

用于生活實(shí)際，這一點(diǎn)符合新課標(biāo)的要求.

附：板書(shū)設(shè)計(jì)

回顧與思考

一情境引入

二本章知識(shí)結(jié)構(gòu)

仔邊的關(guān)系一勾股定理f歷史、應(yīng)用

直角三角形I

直角三角形的判別f應(yīng)用

三合作探究

探究一：利用勾股定理求邊長(zhǎng)

探究二：利用勾股定理求圖形面積

探究三：利用勾股定理及逆定理判定4ABC的形狀或求角度

探究四：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用

四拓展與提升

五交流小結(jié)

六布置作業(yè)

《第一章勾股定理》回顧與思考

一、學(xué)生起點(diǎn)分析

通過(guò)前面三節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了勾股定理及逆定理的知識(shí)，并能應(yīng)用勾股定理及其逆定理

解決一些具體的實(shí)際問(wèn)題，因而學(xué)生已經(jīng)具備解決本課問(wèn)題所需的知識(shí)基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)..同時(shí)在以前

的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與

交流的能力.

八年皴學(xué)生已初步具有幾何圖形的觀察，幾何證明的理論思維能力.他們希望老師創(chuàng)設(shè)便于他們進(jìn)行

觀察的兒何環(huán)境，給他們發(fā)表自己見(jiàn)解和表現(xiàn)自己才華的機(jī)會(huì)，希望老師滿足他們的創(chuàng)造愿望，讓他們實(shí)

際操作，使他們獲得施展自己創(chuàng)造才能的機(jī)會(huì).但對(duì)于勾股定理的綜合應(yīng)用，還需要學(xué)生具備一定的分析、

歸納的思維方法和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想意識(shí)，但學(xué)生在這一方面的可預(yù)見(jiàn)性和耐挫折能力并不是很成熟，可能

部分同學(xué)會(huì)有一些困難.

二、教學(xué)任務(wù)分析

勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，將形與

數(shù)密切聯(lián)系起來(lái)，理論上占有重要的地位，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過(guò)重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世

界中也有著廣泛的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用蘊(yùn)含著豐富的文化價(jià)值.勾股定理也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運(yùn)算和

代數(shù)學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)，具有學(xué)科的基礎(chǔ)性與廣泛的應(yīng)用.

本課時(shí)教學(xué)是復(fù)習(xí)課，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索與合作交流，

以學(xué)生自主探索為主，并強(qiáng)調(diào)同桌之間的合作與交流，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).，培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力.讓學(xué)生通

過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口自主探索，感受數(shù)學(xué)的美，以提高學(xué)習(xí)興趣.

為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

①讓學(xué)生回顧本章的知識(shí)，同時(shí)重溫這些知識(shí)尤其是勾股定理的獲得和驗(yàn)證的過(guò)程，體會(huì)勾股定理及

其逆定理的廣泛應(yīng)用.

②在回顧與思考的過(guò)程中，提高解決問(wèn)題，反思問(wèn)題的能力.

③在反思和交流的過(guò)程中，體驗(yàn)學(xué)月帶來(lái)的無(wú)盡的樂(lè)趣.通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的再認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)愛(ài)國(guó)主

義精神，體驗(yàn)科學(xué)給人來(lái)帶來(lái)的力量.

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)環(huán)節(jié).第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán).節(jié)：知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理；第三環(huán)節(jié)：合作探究；第

四環(huán)節(jié)：拓展提升；第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè).

第一環(huán)節(jié)情境引入

勾股定理，我們把它稱為世界第一定理.它的重要性，通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)已深有體驗(yàn)，首先，勾股定

理是數(shù)形結(jié)合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學(xué)知道，正是由于勾股定理得發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致無(wú)

理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)，這一點(diǎn)，我們將在《實(shí)數(shù)》一章里講到，第三，勾股定理中的公

式是第一個(gè)不定方程，有許許多多的數(shù)滿足這個(gè)方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最為著名的

就是費(fèi)馬大定理，直到1995年，數(shù)學(xué)家懷爾斯才將它證明.

勾股定理是我們數(shù)學(xué)史的奇跡，我們已經(jīng)比較完整地研究了這個(gè)先人給我們留下來(lái)的寶貴的財(cái)富，這

節(jié)課，我們將通過(guò)I可顧與思考中的幾個(gè)問(wèn)題更進(jìn)一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應(yīng)用.

目的：

通過(guò)對(duì)勾股定理歷史及地位的解讀，讓學(xué)生了解知識(shí)脈絡(luò)及前后聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)探究熱情.

效果：

從歷史的深度提出問(wèn)題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎(chǔ).

第二環(huán)節(jié)；知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理

本章知識(shí)要點(diǎn)及結(jié)構(gòu)：

（第1—6題由學(xué)生獨(dú)立思考完成，小組代表展示）

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，如果用〃力和c分別表示直角三角形的

直角邊和斜邊，那么=/.

2.勾股定理各種表達(dá)式：

在Rt△力比'中，ZC=90°,NA,ZB,NC的對(duì)邊也分別為,則c=_，b=

3.勾股定理的逆定理:

在△ABC中，若a,b,c三邊滿足,則AABC為.

4.勾股，數(shù)：

滿足的三個(gè)___________,稱為勾股數(shù).

5.幾何體上的最短路程是將立體圖形的展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為上的路程問(wèn).題，再利用

兩點(diǎn)之間，解決最短線路問(wèn)題.

6.直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關(guān)系？

（教師引導(dǎo)，小組討論、總結(jié)）

從邊的關(guān)系來(lái)說(shuō)，當(dāng)然就是勾股定理；從角度的關(guān)系來(lái)說(shuō)，由于直角三角形中有一個(gè)特殊的角即直角，

所以直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

直角三角形作為一個(gè)特殊的三角形.如果又有一個(gè)銳角是30。，那么30。的角所對(duì)的直角邊時(shí)斜邊的

一半.

7.舉例說(shuō)明，如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形.

判斷一個(gè)三角形是直角三角形可以從角、邊兩個(gè)方面去判斷.

（1）從定義即從角出發(fā)去判斷一個(gè)三角形是直角三角形.

例如：①在△』笈中，ZB=75°,ZC=15°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得NA=9O。，根據(jù)定義

可判斷△力竟是直角三角形.

②在中，ZA=-ZB=-ZC,由三角形的內(nèi)角和定理可知，ZA=3O°,ZB=2ZA=6O°,

23

ZC=3ZA=90°,△力比是直角三角彩.

（2）從邊出發(fā)來(lái)判斷一個(gè)三角形是直角三角形.其實(shí)從邊來(lái)判斷直角三角形它的理論依據(jù)就是判定

直角三角形的條件（即勾股定理的逆定理）.

例如：①△力比'的三條邊分別為a=7,8=25,c=24,而/+02=72+242=625=252=廿，根

據(jù)勾股定理的逆定理可知△力比是直角三角形，但這里要注意的是b所對(duì)的角ZB=90°.

②在△力阿三條邊的比為a:0:c=5:12:13,△力比'是直角三角形.

8.通過(guò)回顧與思考中的問(wèn)題的交流，由同學(xué)們自己建立本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

（小組內(nèi)展示自己總結(jié)的知識(shí)框圖，相互交流完善知識(shí)框圖；每?個(gè)小組先取一名代表，展示本組的知

識(shí)框圖.）

仔邊的關(guān)系一勾股定理一歷史、應(yīng)用

直角三角形’

直角三角形的判別一應(yīng)用

目的：

復(fù)習(xí)與直角三有形有關(guān)的知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)的前后聯(lián)系，把勾股定理及判定納入直角三角形的知識(shí)體系

中，把以前的零散的知識(shí)形成知識(shí)體系.通過(guò)學(xué)生相互交流，整理知識(shí)框圖復(fù)習(xí)本章知識(shí)點(diǎn)，自覺(jué)內(nèi)化到

自身的知識(shí)體系中.

效果：

學(xué)生有獨(dú)立思考的空間，與有合作交流的舞臺(tái)，動(dòng)靜結(jié)合，相得益彰.

第三環(huán)節(jié)：合作探究

內(nèi)容:

探究一：利用勾股定理求邊長(zhǎng)

已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4,求第三邊長(zhǎng)的平方.

解：（1）當(dāng)兩直角邊為3和4時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為25；

（2）當(dāng)斜邊為4,一直角邊為3時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為7.

注意事項(xiàng)：

因?qū)W生習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說(shuō)法，即意味著兩直角邊為3和4時(shí).斜邊長(zhǎng)為5.但這一理解，的

前提是3、4為直角邊.而本題中并未加以任何說(shuō)明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊.

探究二：利用勾股定理求圖形面積：

1.求出下列各圖中陰影部分的面積.

圖（1）陰影部分的面積為;（答案：1）

圖（2）陰影部分的面積為；（答案：81）

圖（3）陰影部分的面積為；（答案：5）

2.已知RtZXHSC中，ZC=90°,若=c=lOczw,求Rt△48。的面積.

解：SAABC=1^=7X26/Z?

=l[(a+b)2-?]

=-X(142-102)

4

=24.

探究三：利用勾股定理逆定理判定AABC的形狀或求角度

1.在△力附中，ZA,ZB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c,且（。+3（。-刀=/,則（）.

（A）NA為直角（B）NC為直角（C）N8為直角（D）不是直角三角形

解：a2-b1=c2,/.a2=b2+C1.故選（A）.

注意事項(xiàng)：

因?yàn)槌Ｒ?jiàn)的直角三角形表示時(shí)，一般將直角標(biāo)注為NC,因而有同學(xué)就習(xí)慣性的認(rèn)為NC就一定表示

直角，加之對(duì)本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯(cuò)誤.該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為/-從=/,即/=^+02,

因根據(jù)這一公式進(jìn)行判斷.

2.已知△4%的三邊為，b,c,有下列各組條件，判定△4比的形狀.

（1）a=41,Z?=40,c=9；

（2）a=m2-n2,b=m2+n2,c=2mn（m>n>0）,

解：（1）（2）均為直角三角形.

探究四：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用：

B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60。方向以每小時(shí)8nmile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某

個(gè)角度以每小時(shí)15nmile的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34nmile,你

知道乙船是沿哪,個(gè)方向航行的嗎？

解：甲船航行的距離為BM=8x2=16(nmile),

乙船航行的距離為BP=15x2=30(nmile).

V162+302=1156,342=1156,:.BM2+BP2=MP1,

???△MBP為直角三角形，???NMBP=90。，，乙船是沿著南偏東30。方向航行的.

注意事項(xiàng)：

勾股定理的使用前提是百角三角形，而本題需對(duì)三角形做出判斷，判斷的依據(jù)是勾定理的逆定理，其

形式為“若/+力2=。2,則/。=90。.學(xué)生容易不先對(duì)三角形做出判斷而直接應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

目的：

通過(guò)對(duì)四大問(wèn)題的探究，培養(yǎng)同學(xué)們歸納知識(shí)的能力，并將各種數(shù)學(xué)基本思想方法滲透其中，如對(duì)數(shù)

形結(jié)合思想的滲透，鼓勵(lì)學(xué)生由代數(shù)表示聯(lián)想到幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)代數(shù)表示，從而認(rèn)識(shí)數(shù)

學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系.如對(duì)分類討論的滲透，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度.

效果：

探究四綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題，這種貼近生活的實(shí)例，訓(xùn)練學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的

能力，通過(guò)學(xué)生的解答和討論，讓學(xué)生自我解決疑難，既是對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固應(yīng)用，又讓學(xué)生體驗(yàn)成功的

喜悅.

第四環(huán)節(jié)：拓展提升

內(nèi)容:

我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）.圖

2由“弦圖”變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形/以力，正方形加笫，正方

形叱的面積分別為S】，S2,S3,若S1+S2+S3=10,則S2的值是.

圖1圖2

（答案為此）

3

目的：

學(xué)生可以進(jìn)一步,了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國(guó)古代人民的聰明才智，在我們的數(shù)學(xué)

史上，好多結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都是這樣一.個(gè)過(guò)程，都是從幾個(gè)或大量的特例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想出結(jié)論，然后

以前面的理論作為基礎(chǔ)，證明猜想，一個(gè)偉大的成果就誕生了，掌握這種研究數(shù)學(xué)的方法，大膽創(chuàng)新，刻

苦鉆研，說(shuō)不一定你就是未來(lái)的商高，第二個(gè)趙爽.

效果：

運(yùn)用勾股定理和方程思想解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)生活中處處皆數(shù)學(xué)，并且使新知得到了鞏固，能

力得到了訓(xùn)練，認(rèn)識(shí)得到了升華.

第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)

內(nèi)容：

師生相互交流總結(jié)：

1.本章知識(shí)要點(diǎn)及在學(xué)習(xí)中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

2.你在學(xué)習(xí)過(guò)程中是否積極參與？是否與同伴進(jìn)行了有效的合作交流？

目的：

鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會(huì)到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠

久歷史.

效果：

學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，總結(jié)解決問(wèn)題的思路與方法，并贊嘆我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就.

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1.課本《復(fù)習(xí)題》.

2.思考題：一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示.正方形麗的邊長(zhǎng)為2m,坡角

ZA=30°,NB=90°,BC=6m.當(dāng)正方形龍？力運(yùn)動(dòng)到什么位置，印當(dāng)AE=m時(shí)，有

DC2=AE2+BC2.

B

（答案為：—.）

3

四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

本節(jié)課是復(fù)習(xí)課，利用勾股定理和勾股逆定理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.勾股定理是在學(xué)生已經(jīng)掌握了直角三

角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它揭示了一個(gè)三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，而勾股定理逆用的作

用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.針對(duì)我班學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是引

導(dǎo)學(xué)生“'做‘?dāng)?shù)學(xué)"，先由淺入深，在學(xué)生的自主探究與合作交流中解決問(wèn)題，這樣既遵循了學(xué)生的認(rèn)

知規(guī)律，又充分體現(xiàn)了“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)支的主人、教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”的教學(xué)理

念.本節(jié)課圍繞激趣引入，歸納知識(shí)一綜合練習(xí)，應(yīng)用知識(shí)一課堂小結(jié)三部分，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)

與能力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心.讓學(xué)生自己繪制知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，進(jìn)一步體會(huì)本章所學(xué)知識(shí)之間

的前后聯(lián)系，并培養(yǎng)了學(xué)生這方面的能力.設(shè)計(jì)的題目既考察了對(duì)基本知識(shí)的掌握情況，又注重了綜合課

的特點(diǎn)，注重對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合利用.設(shè)計(jì)的問(wèn)題盡量與實(shí)際問(wèn)題有聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際，又應(yīng)

用于生活實(shí)際，這一點(diǎn)符合新課標(biāo)的要求.

附：板書(shū)設(shè)計(jì)

回顧與思考

一情境引入

二本章知識(shí)結(jié)構(gòu)

仔邊的關(guān)系一勾股定理一歷史、應(yīng)用

直角三角形I

直角三角形的判別f應(yīng)用

三合作探究

探究一：利用勾股定理求邊長(zhǎng)

探究二：利用勾股定理求圖形面積

探究三：利用勾股定理及逆定理判定4ABC的形狀或求角度

探究四：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用

四拓展與提升

五交流小結(jié)

六布置作業(yè)

1.探索勾股定理（第1課時(shí)）

一、教學(xué)目標(biāo):

1.用數(shù)格子（或割、補(bǔ)、拼等）的辦法體驗(yàn)勾股.定理的探索過(guò)程并理解勾股定理反映的直角三角形

的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，會(huì)初步運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和實(shí)際運(yùn)用.

2.讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察一猜想一歸納一驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)思想，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想方法.

3.進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說(shuō)理和簡(jiǎn)單推理的意識(shí)及能力；進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系.

4.在探索勾股定理的過(guò)程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂(lè)；通過(guò)介紹勾股定理在中國(guó)古代的研究，激發(fā)學(xué)

生熱愛(ài)祖國(guó)，熱愛(ài)祖國(guó)悠久文化歷史，激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí).

二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：探索發(fā)現(xiàn)勾股定理；.第三

環(huán)節(jié)：勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè).

第一環(huán)節(jié)；創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

內(nèi)容：2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在我國(guó)北京召開(kāi)，投影顯示本屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)：

會(huì)標(biāo)中央的圖案是一個(gè)與“勾股定理”有關(guān)的圖形，數(shù)學(xué)家曾建議用“勾20C2

股定理”的圖一來(lái)作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào).今天我們就來(lái)一同探-索勾股定

理.（板書(shū)課題）

Bcijinq

意圖：緊扣課題，自然引入，同時(shí)滲透愛(ài)國(guó)主義教育.

第二環(huán)節(jié)：探索發(fā)現(xiàn)勾股定理

1.探究活動(dòng)一

內(nèi)容：投影顯示如下地板破小意圖，引導(dǎo)學(xué)生從血積角度觀察圖形：.

問(wèn)：你能發(fā)現(xiàn)各圖中三個(gè)正方形的面積之間有何關(guān)系嗎？

學(xué)生通過(guò)觀察，歸納發(fā)現(xiàn)：

結(jié)論1以等腰直角三角形兩直角邊為邊.長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng).的正方形的面

積.

意圖：從觀察實(shí)際生活中常見(jiàn)的地板磚入手，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊.通過(guò)對(duì)特殊情形的探

究得到結(jié)論1,為探究活動(dòng)二作鋪墊.

2.探究活動(dòng)二

內(nèi)容：由結(jié)論1我們自然產(chǎn)生聯(lián)想：一般的直角三角形是否也具有該性質(zhì)呢？

(1)觀察下面兩幅圖：

（2）填表:

A的面積B的面積C的面積

（單位，面積）（單位面積）（單位面積）

左圖

右圖

（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同.伴交流.（學(xué)生可能會(huì)做出多種方法，教師應(yīng)給予充分肯

圖1圖2圖3

學(xué)生的方法可能有:

方法一:

如圖1,將正方形C分割為四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，Sc=4xlx2x3+l=13.

2

方法二:

如圖2,在正方形C外補(bǔ)四個(gè)全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的血積減去四個(gè)直角三

2

角形的面積，5c=5-4xlx2x3=13.

2

方法三：

如圖3,正方形C中除去中間5個(gè)小正方形外，將周圍部分適當(dāng)拼接可成為正方形，如圖3中兩塊紅

色（或兩塊綠色）部分可拼成一個(gè)小正方形，按此拼法，Sc=2x4+5=13.

（4）分析填表的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生通過(guò)分析數(shù)據(jù)，歸納出：

結(jié)論2以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等丁以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.

意圖：探窕活動(dòng)二意在讓學(xué)生通過(guò)觀察、計(jì)算、探討、歸納進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)一般直角三角形的性質(zhì).由于

正方形C的面積計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)，為此設(shè)計(jì)了一個(gè)交流環(huán)節(jié).

3.議一議

內(nèi)容：（1）你能用直角三角形的邊長(zhǎng)。，力，c來(lái)表示上圖中正方形的面積嗎？

（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？

（3）分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度.2中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對(duì)這

個(gè)三角形仍然成立嗎？

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a,h,c分別表示直角三角形的

兩直角邊和斜邊，那么/+力2=。2.

數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的，中國(guó)古代把直角三角形中較短的、弦

勾

股

直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊禰為弦，“勾股定理”因此而得名.（在西方文獻(xiàn)中乂稱為畢達(dá)

哥拉斯定理）

意圖：議一議意在讓學(xué)生在結(jié)論2的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系，得到勾股定理.

第三環(huán)節(jié)：勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

.內(nèi)容:

例題如圖所示，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)烈臺(tái)風(fēng)中于離地面10m處折斷倒

下，樹(shù)頂落在離樹(shù)根24m處.大樹(shù)在折斷之前高多少？

（教師板演解題過(guò)程）

練習(xí):

1.基礎(chǔ)鞏固練習(xí):

求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長(zhǎng)度（口答）：

2.生活中的應(yīng)用：

小明媽媽買了一部29in（74cm）的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58cm長(zhǎng)和46

cm寬，他覺(jué)得.一定是售貨員搞錯(cuò)了.你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？

意圖：練習(xí)第1題是勾股定理的直接運(yùn)用，意在鞏固基礎(chǔ)知識(shí).

第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

內(nèi)容：

教師提問(wèn)：

1.這一節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和思想方法？

2對(duì)這些內(nèi)容你有什么體會(huì)？與同伴進(jìn)行交流.

在學(xué)生自由發(fā)言的基礎(chǔ)上，師生共同總結(jié)：

1.知識(shí)：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用匕，，分別表示直角

三角形的兩直角邊和斜邊，那么

2.方法：（1）觀察一探索一猜想一驗(yàn)證一歸納一應(yīng)用；

（2）“割、補(bǔ)、拼、接”法.

3.思想：（1）特殊一一般一特殊；

（2）數(shù)形結(jié)合思想.

意圖：鼓勵(lì)學(xué)生積極大膽發(fā)言，可增進(jìn)師生、生生之間的交流、互動(dòng).

第五環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

內(nèi)容：布置作業(yè)：1.教科書(shū)習(xí)題1.L

2.觀察下圖，探究圖中三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足a2+〃=c2?

意圖：課后作業(yè)設(shè)計(jì)包括了三個(gè)層面：作業(yè)1是為了鞏固基礎(chǔ)知識(shí)而設(shè)計(jì)；作業(yè)2是為了擴(kuò)展學(xué)生的

知識(shí)面；作業(yè)3是為了拓廣知識(shí)，進(jìn)行謖后探究而設(shè)計(jì)，通過(guò)此題可讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)勾股定理的前提條

件.

1.1探索勾股定理

第一章勾股定理

1.1探索勾股定理

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1.勾股定0(KMtuthromn)

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