B單元 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(一)

B單元函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

目錄

B1函數(shù)及其表示.................................................................1

B2反函數(shù).......................................................................6

B3函數(shù)的單調(diào)性與最值...........................................................6

B4函數(shù)的奇偶性與周期性........................................................17

B5二次函數(shù)....................................................................28

B6指數(shù)與指數(shù)函數(shù)..............................................................31

B7對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)..............................................................37

B8募函數(shù)與函數(shù)的圖象..........................................................42

B9函數(shù)與方程..................................................................47

B10函數(shù)模型及其運(yùn)算...........................................................53

B11導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算...............................................................55

B12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.................................................................71

B13定積分與微積分基本定理...................................................101

B14單元綜合..................................................................103

B1函數(shù)及其表示

【數(shù)學(xué)(理)卷?2015屆浙江省“溫州八?！备呷敌Ｂ?lián)考(201408)】1.已知函數(shù)

/(%)=.1的定義域?yàn)镸,g(x)=ln(l+x)的定義域?yàn)镹,則MU(CRN)=()

,VI-x2

A.{x|x<1}B.{x|x>1}C.。D.{x|-1<x<1}

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域；補(bǔ)集以及并集的運(yùn)算.AlBl

【答案解析】A解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=J的定義域?yàn)椤?g(x)=ln(l+x)的定義

域?yàn)镹,所以M={x|-l<x<l},N={x|x>-1},則GN={X|X?1}，所以由這些

結(jié)論可得MU(CRN)={x|x<1}.

【思路點(diǎn)撥】先由題設(shè)解出集合M,N,然后借助于補(bǔ)集以及并集的運(yùn)算即可.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆江西省南昌二中高三上學(xué)期第一次考試(201408)】5.設(shè)函數(shù)

4r-7,x<o,

/(x)=2,若/g)<i,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

\[x,x>0

A.(-oo,-3)B.(l,+oo)C.(-3,1)D.(-oo,-3)U(l,+oo)

【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)及其應(yīng)用Bl

【答案解析】C解析：因?yàn)閒(0)=0<l滿足不等式，所以排除A,B,D,則選C..

【思路點(diǎn)撥】在選擇題判斷不等式的解集時(shí)，可用特例法快速判定結(jié)果.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣西桂林十八中高三上學(xué)期第一次月考(201409)】16.已知函數(shù)/(X)

2

定義在R上，對(duì)任意的xeR,/(x+1001)=，已知/(11)=1,貝iJ/(2013)=

V/w+i

【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的函數(shù)值B1

2

【答案解析】1解析：根據(jù)題意：/(2013)=/(1012+1001)=

V7(ioi2)+i

/(1012)=/(11+1001)=..,而/(11)=1，

v/(n)+1

2

/(1012)二1,

a+i

22

則/(2013)=/==1,

7/(1012)+1A/1+I

故答案為：工

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知可把求/(2013)轉(zhuǎn)化成求/(1012),再把/(1012)轉(zhuǎn)化成/(H),

而/(H)已知，代入即可。

三.解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月3考(201408)[18、(本小題滿分

14分)已知函數(shù)y=log?(ax-Vx)(tz>0,aN1為常數(shù))

(1)求函數(shù)了《黨的定義域；

(2)若a=3,試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)歹=/(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍。

【知識(shí)點(diǎn)】定義域；單調(diào)性.B1,B3

【答案解析】(1)(』,+oo](2)略(3)ae(l,4w)

解析：解：（1）由依一6>0,得五〈依,x>0,又

的定義域是+00

8),>X1

處,+電2>-,

9

卜%--^/^)=(^/^-^/^")[3(^/^+?")一1

>1/.3(yJ~^+

x1>x2:.>0,%i>々>1,-1>0

-后)嘉+?)—

(6[3(1]>0/.log3@玉一JE)>log3(3x2—JE)，所以函數(shù)為增

函數(shù).

（叼-募）-（%-日）=（嘉一月）［4衣+丘）-1

(3)設(shè)X]>x2>—,貝!>1/.>0

但_?*,所以“X）是增函數(shù)，/（%）>/（%）

log”（叫一"）〉log”（以2-后）聯(lián)立可知a>1ae(1,+℃)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解析式成立的條件求出定義域；利用概念證明單調(diào)性；最后根據(jù)條件求出

a的取值范圍.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月3考（201408）】14、若對(duì)任意

xeA,yeB,（ZqR,3qR）有唯一確定的/（x））與之對(duì)應(yīng)，則稱/（xj）為關(guān)

于x,y的二元函數(shù)。

定義：滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)/（xj）為關(guān)于實(shí)數(shù)的廣義“距離”：

（1）非負(fù)性：/（%,根）之0,當(dāng)且僅當(dāng)工=.時(shí)取等號(hào)；⑵對(duì)稱性:f（x,y）=f（y,x）-,

（3）三角形不等式：/（兀?。?/（》/）+/（2/）對(duì)任意的實(shí)數(shù)2均成立.

給出三個(gè)二元函數(shù):①f（x,y）-（x-J）?;②f（x,y）-|x-j^|；

③/（x,y）=y/x-y.

請(qǐng)選出所有能夠成為關(guān)于X4的廣義“距離”的序號(hào).

【知識(shí)點(diǎn)】新定義概念；不等式；函數(shù).Bl,E2

【答案解析】②解析：解解：對(duì)于①，不妨令x-y=2,則有x-3=色±上-y=l此時(shí)

22

有(x—y)-4,而=1%；」_"=1故f(x,y)<f(x,z)+f(z,y)不

成立，所以不滿足三角不等式，故①不滿足，對(duì)于②，f(x,y)=|x-y|2O滿足(1)；f(x,

y)=|x-y|=f(y,x)=|y-x|滿足(2)；f(x,y)=|x-y|=|(x-z)+(z-y)|^<|x—z|+|z—

=f(x,z)+f(z,y)滿足(3),故②能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)

對(duì)于③，由于x-y>0時(shí)，無意義,故③不滿足

故答案為：②

【思路點(diǎn)撥】通過令特殊值的形式說明關(guān)系式是否成立，根據(jù)不等式的關(guān)系進(jìn)行證明.

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣西桂林十八中高三上學(xué)期第一次月考(201409)】16.已知函數(shù)/(X)

2

/(x+1001)=

定義在R上，對(duì)任意的xeR,V7w+i

已知/(U)=1,貝ij/(2013)=

【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的函數(shù)值B1

2

【答案解析】1解析：根據(jù)題意：/(2013)=/(1012+1001)=

77(IOI2)+I

/(1012)=/(11+1001)=,而/(11)=1，

“(11)+1

.")=占，

22

則/(2013)=/=-^―=1,

"(1012)+1A/1+I

故答案為：1

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知可把求/(2013)轉(zhuǎn)化成求/(1012),再把/(1012)轉(zhuǎn)化成/(H),

而/(H)已知，代入即可。

三.解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月考(201408)】19.(14分)將函數(shù)

y=3sin(2x+°),|同<］的圖像向左平移。個(gè)得到偶函數(shù)尸/(%)的圖像。

(1)求歹=/(x)解析式(2)求y=/(x)的最大值及單調(diào)增區(qū)間。

【知識(shí)點(diǎn)】平移變換；函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值.BlB3B4

【答案解析】(1)3cos2x0)最大值是3,增區(qū)間為——+k7v,k7i,k^Z.

2

TTTT

解析：⑴y=3sin(2x+0),|同〈工的圖像相左平移二個(gè)單位,

23

得至Uy=3sin2(x+g)+°,即：/(x)=3sin(2x+g+o)—2分

由于y=/(x)是偶函數(shù)，則(+0=］+左肛左eZ——4分

TC,,-?ITCTC

即夕=——+k兀1k￡Z,又:.cp=———6分

/.y(x)=3sinl2%+^-j=3cos2x8分

(2)cos2x￡[-l,l],「.3cos2x￡[-3,3],「./(x)的最大值是3--10分

由y=cosx得單調(diào)增區(qū)間為［2左萬一",2人句，左eZ,知2丘一；rV2xV2左肛左GZ

71

即---vkn<x<k兀,keZ」./(x)的增區(qū)間為一言+左1,左乃，左eZ.14分

2

2萬

【思路點(diǎn)撥】⑴由平移變換得：/(x)-3sin(2x+—+^?),由于y=/(x)是偶函數(shù),

r,2171、、rt-trt兀11rL\\兀71

則—(p——+K7T,keZ,即夕=——+K7T,k￡Z,又|倒<—>：.(p=——

〃x)=3sin]2x+引=3cos2x；(2)利用余弦函數(shù)的值域及增區(qū)間，求歹=/(x)的

最大值及單調(diào)增區(qū)間。

【數(shù)學(xué)文卷?2014屆寧夏銀川一中高三下學(xué)期第四次模擬考試(201405)】3.若函數(shù)

.I；；魯則”⑵)等于

A.4B.3

C.2D.1

【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法.B1

一(x<6)

【答案解析】B解析：?.?函數(shù)f(x)=\/、、，f⑵=23=8,

10gxx(x>6)

f(f(2))=f(8)=log28=3,故選B.

【思路點(diǎn)撥】先求出f(2)的值，再根據(jù)函數(shù)的解析式求出f(f(2))的值.

B2反函數(shù)

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月3考(201408)】10、若函數(shù)歹=/(x)

是函數(shù)y=a%a>0,且awl)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過點(diǎn)(G,a),則/(》)=

【知識(shí)點(diǎn)】反函數(shù)；指數(shù)與對(duì)數(shù)；B2,B6,B7

【答案解析】logI》解析：解：由題意可知函數(shù)的y=的反函數(shù)為y=log“x

2

/(x)=lognx,又因?yàn)樗^點(diǎn)，所以a=L所以y(x)=log,x

2I

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)反函數(shù)的概念求出函數(shù)，然后根據(jù)條件求出a的值.

B3函數(shù)的單調(diào)性與最值

【數(shù)學(xué)(理)卷?2015屆浙江省“溫州八?！备呷敌Ｂ?lián)考(201408)[7.設(shè)xeR,若函

數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有/[/(%)-e[=e+l(e是自然對(duì)數(shù)的底

數(shù))，則/(In2)的值等于()

A.1B.e+1C.3D.e+3

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).B3

【答案解析】C解析：設(shè)f=貝廳(無)=e*+f,則條件等價(jià)為/S=e+1,

令x=t,則/⑺=Z+f=e+1,:函數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù),

...函數(shù)為一對(duì)一函數(shù)，解得r=l,.??/(%)=4+1,即/(In2)=dn2+上,

故選：C.

【思路點(diǎn)撥】利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為/")=h1,根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系求出/的

值，即可求出函數(shù)/(X)的表達(dá)式，即可得到結(jié)論.

【數(shù)學(xué)(文)卷?2015屆浙江省“溫州八?！备呷敌Ｂ?lián)考(201408)】7.設(shè)xeR,若函

數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有/[/(%)-e[=e+l(e是自然對(duì)數(shù)的底

數(shù))，則/(In2)的值等于()

A.1B.e+1C.3D.e+3

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).B3

【答案解析】C解析：設(shè)％=則/(%)=產(chǎn)+，，則條件等價(jià)為/⑺=e+l,

令x=t,則f(t)=2+■=e+1,函數(shù)/(九)為單調(diào)遞增函數(shù)，

...函數(shù)為一對(duì)一函數(shù)，解得r=l,.??/(%)=4+1,即/(In2)=dn2+上，

故選：C.

【思路點(diǎn)撥】利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為/")=h1,根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系求出/的

值，即可求出函數(shù)/(X)的表達(dá)式，即可得到結(jié)論.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆河北省衡水中學(xué)高三小一調(diào)考試(201408)】7.已知函數(shù)

〃x)=ln(x+JTI,若實(shí)數(shù)滿足/(a)+/(〃—2)=0則a+b=()

A.-2B.-lC.OD.2

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.單調(diào)性的判定.B3B4

【答案解析】D解析：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,

且/(-X)=ln(-x++1)=In----=_ln(尤+J尤2+])=尤)，所以“龍)

、'\,x+^lx2+1)、'

是R上的奇函數(shù).顯然X++1是[0,+8)的增函數(shù)，所以力是R上的增函數(shù).因?yàn)?/p>

/(a)+/(〃-2)=0,所以/(b_2)=_/(a)=/(-a),所以人一2=—a,從而a+人=2

所以選D.

【思路點(diǎn)撥】先判定函數(shù)是奇函數(shù)，再判定此函數(shù)是R上增函數(shù)，所以/(a)+/0—2)=0

為f(b-2)=f(-a),所以人一2=—a,從而a+6=2.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆江西省南昌二中高三上學(xué)期第一次考試(201408)】18.(12分)已知

函數(shù)g(x)=。/-2ax+l+b(。>0)在區(qū)間［2,3］上有最大值4和最小值1.設(shè)

/(%)=3

X

(I)求a、b的值；

(II)若不等式/(2*)—h2*20在xw［-1,1］上有解，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)、函數(shù)的值域B3B5

【答案解析】(I)a=l,b=0(II)(-00,II］

解析：(1)g(x)=a(x-l)2+l+b-a,因?yàn)閍>0,所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù),

g(2)=la=1

故?解得

￡(3)=46=0

(2)由已知可得/(x)=x+,—2,所以/(2、)一仁2、20可化為2*+?—22后-2*,

化為1+f—V—2>k，令/=—，則左W/2—2/+1,因xe[—1,1],故/e—,2

J2V2X[2.

記力⑷=J—27+1,因?yàn)?eg,2，故〃(/)max=l，所以A的取值范圍是(—00,1］.

【思路點(diǎn)撥】在求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)通常結(jié)合二次函數(shù)的開口方向及對(duì)稱軸與所

給區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行解答，在遇到不等式有解或不等式恒成立問題時(shí)通常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為

函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆江西省南昌二中高三上學(xué)期第一次考試(201408)】15、已知函數(shù)

/、(1+sinx)(3+sinx)(、/、，，一，，「二、，」，

/(%)=-----------------,^(x)=ax+l^a>0),對(duì)任忌的x2e［-l,J,總存在

2~Hsinx

兀",使/(%)=g(X2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值域B3

(11,,zX(l+sinx)(3+sin%)1

【答案解析】0-解析：因?yàn)?-------八-------Z=2+sinx-----；一,令

\22+sin%2+sin%

t=2+sinx,因?yàn)楦豑，所以te［l，2］，因?yàn)楹瘮?shù)y=《一；e［。，萬］又對(duì)于

x2,g(x)=or+le[l-a,l+a],所以若對(duì)任意的/6[—I/]，總存在

r..fl-6Z>0

TV,—,使/(玉)=g(9),則j[+a<g，得OVaW,.

L」〔+a~2

「^7F~

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意對(duì)任意的1,1]，總存在為e7T,y,使/(%)=g(%)，

其本質(zhì)就是函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)f(x)的值域的子集，由兩個(gè)集合的值域關(guān)系進(jìn)行解答.

三、解答題：本大題共6個(gè)小題共75分.每題解答過程寫在答題卡上.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆江西省南昌二中高三上學(xué)期第一次考試(201408)】2.下列函數(shù)中，

在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()

A.y=-x3,xeRB.y=sinx,xe7?

C.y=x,xERD.y=(^)x,xGR

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性B3B4

【答案解析】A解析：由函數(shù)為奇函數(shù)排除D,又在其定義域內(nèi)是減函數(shù)排除B,C,所以選

A.

【思路點(diǎn)撥】熟記常見函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣西桂林十八中高三上學(xué)期第一次月考(201409)】2.已知復(fù)數(shù)

z=a+bi(a,beR^ab0),且z(l-2i)為實(shí)數(shù)，則@=

b

11

A.3B.2C.-D.-

23

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的分類及運(yùn)算L4

【答案解析】C解析：z(l-2i)=(a+bi)(l-2i)=a+2b+(-2a+b)i,因?yàn)閦(l—2i)為

實(shí)數(shù)，所以—2a+b=0,即b=2a,又ab力。所以q

'b2,

故選：C

【題文】3.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是

R1

A.y=InxB.y=xC.y=3XD.y=——

x

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；基本初等函數(shù)B3,B4,B6,B7,B8

【答案解析】B解析：函數(shù)y=lnx和y=3*是非奇非偶函數(shù),所以A,C錯(cuò)誤；函數(shù)y=-工

x

在(-8,0)和(0,+8)是增函數(shù)，但在整個(gè)定義域內(nèi)不是增函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，

故選：B

【思路點(diǎn)撥】只要對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的性質(zhì)掌握清楚，就不難得出正確答案。

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月3考（201408）［18、（本小題滿分

14分）已知函數(shù)y=loga（ox-Vx）（6r〉0,。。1為常數(shù)）

（1）求函數(shù)/（X）的定義域；

（2）若。=3,試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)歹=/（x）是增函數(shù)，求a的取值范圍。

【知識(shí)點(diǎn)】定義域；單調(diào)性.B1,B3

【答案解析】⑴［，,+oo］（2）略（3）ae（l,4w）

解析：解：（1）由翻一?>0,得G<ar,x>0,又a>0.\<.?./（%）

x<axa

的定義域是［，,+oo］

電>々

1

1二3（衣+?）-1>0

%1>9~>0,Xj>x2>—,35>1,3后>

（禽―屁'）13（6+?"）—1］>0，log3（3%—嘉）>log3（3%2—胃力，所以函數(shù)為增

函數(shù).

.,.aM-mbiiXj—所以/（九）是增函數(shù)，/（石）>〃天）

loga（叫一a）>loga（依?,聯(lián)立可知：.a>l:.ae（1,+oo）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解析式成立的條件求出定義域；利用概念證明單調(diào)性；最后根據(jù)條件求出

a的取值范圍.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月3考（201408）】17.（本小題滿分

14分）已知：定義在（—1,1）上的函數(shù)/（x）滿足：對(duì)任意x,ye（—1,1）都有

小)+…e

(1)求證：函數(shù)/(x)是奇函數(shù);

(2)如果當(dāng)xe(-1,0)時(shí)，有/(x)〉0,求證：/(尤)在(-1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)。

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的單調(diào)性.B3,B4

【答案解析】(1)見解析(2)見解析

解析：證明：令x=y=O,則f(O)+〃O)=〃O),物⑼=0,令

x-x

y=-%,則f(x)+f(~x)=f=.f(0)=0.-.f(-x)=-f(x),即函數(shù)/(x)為奇

1-x2

函數(shù).

(2)證明：設(shè)_1<%<為<1則/■(須)_〃為)=/(須)+/(-/)=/J?

(1-X].%)

Xy<x,.'.-x<0,-2<x-x<0-1<<x<1/.-1<%1-x<1/.0<1-Xj-x<2,———<0

22r2222]一玉々

-1<項(xiàng)<X2<1(l+xJ(l-%2)>。,玉一%2—>-1,當(dāng)X￡(-10)時(shí),

1一百馬

有/(x)>上紅>0,即￡&)>/(%)所以函數(shù)/(X)在(TJ)上是減函數(shù)?

(1-X]%J

【思路點(diǎn)撥】分別利用函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月3考(201408)】16、(本小題滿分

12分)

已知：/(x)=X?-x+m(唐eH)且/(log2。)=加，log2-2,aHl,

(1)求a,的值；

(2)求：/(log2》)的最小值及對(duì)應(yīng)的x值；

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；B7,B3

L7

【答案解析】(1)a=2,m=2；(2)x=0時(shí)，/(log2=-

解析：解

/(log2a)=m,log?a-log2a+m=m,.,.log2a=1或log2a=0,即a=2或a=1(舍)

a=2,/(?)=/(2)=2+m/.log,/(a)=log2(2+m)=2/.m=2

27

(2)/(x)=x-x+2=/(log2x)=log；—log2X+2

「J4

卜g2%—g)+[?..當(dāng)lOg2%=g，即X=J^時(shí),/(lOg2=1

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的復(fù)合關(guān)系求出a、m的值，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小

值.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月3考(201408)】7、若函數(shù)

/(X)=O?+6x+2在(一*0)上有最小值一5,(。，6為常數(shù))，則函數(shù)/(X)在(0,+8)上

()

A.有最大值5B.有最小值5C.有最大值3D.有最大值9

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與最值；B3,B4

【答案解析】D解析：解：設(shè)g(x)=o?+Zzx可知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，由題意可知g(x)

在(0,中?)有最大值7,/(x)=g(x)+2,所以/(%)在(0,+?)有最大值9,所以D正確.

【思路點(diǎn)撥】把已知條件可轉(zhuǎn)化成奇函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【數(shù)學(xué)理卷-2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月3考(201408)14,設(shè)函數(shù)歹=/(X)

是偶函數(shù)，且在[0,+8)上單調(diào)遞增，則()

A、/(-2)>/(1)B、/(-2)</(-1)C、/(-2)>/(2)D、/(|x|)</(x)

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性；B3,B4

【答案解析】A解析：解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以/(—2)=〃2),又因?yàn)樵赱0,+⑹上

函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得2)=/(2)>/⑴，所以A正確.

【思路點(diǎn)撥】先利用函數(shù)的奇偶性把自變量化簡到同一個(gè)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求

解.

【數(shù)學(xué)理卷?2014屆寧夏銀川一中高三下學(xué)期第四次模擬考試(201405)】24.(本小題滿

分10分)選修4—5,不等式選講

已知函數(shù)/"(無)=|左一1%卜一<

(1)若a=L解不等式/(x)N2；

(2)a>1,Vxe7?,f(x)+1x-11>2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)恒成立問題.E2B3

【答案解析】⑴{^x<0^x>2}(2)[3,+s)

解析：⑴當(dāng)。=1時(shí)，由/(x)N2,得卜―1|?1,解得，x<0或X22

故/(%)>2的解集為卜x<0或x>2}

-3x+2+tz,x<l

(2)、令夕(兀)=+,則R(x)=<x-2+a,lVx<a所以當(dāng)x=1時(shí)，尸(x)有最

3x-2-a,x>a

小值F(l)=a—1,只需a—122解得a23所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3,+8).

【思路點(diǎn)撥】(1)通過分類討論，去掉絕對(duì)值函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可

求得不等式f(x)22的解集；

(2)通過分類討論，去掉絕對(duì)值函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的

單調(diào)性可得函數(shù)在R上先減后增，得到函數(shù)的最小值為f(1)+|1-l|=f(1)=a-1,而不

等式f(x)+|x-1|>1解集為R即a-恒成立，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【數(shù)學(xué)理卷?2014屆寧夏銀川一中高三下學(xué)期第四次模擬考試(201405)】12.若存在正實(shí)

數(shù)對(duì)于任意xe(l,+8),都有|/(刈則稱函數(shù)/(x)在(1,+8)上是有界

函數(shù).下列函數(shù)：

①=②/(x)=-r^7；③/(%)=皿；④/(無)=xsin.

x-Ix"+1x

其中，，在(1,+00)上是有界函數(shù)”的序號(hào)為

A.②③B.①②③C.②③④D.③④

【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)的值域.A2B3

【答案解析】A解析：①/(x)=」一在(1,+oo)上是遞減函數(shù)，且值域?yàn)?0,+8),

x-1

故①在(1,+8)上不是有界函數(shù)；

Y11[

②y(x)=-^—(x>l)即f(x)=——-,由于x+—>2(x>l),0<f(x)<土故|f

x-+1,1x2

XH—

X

(x)|<A,故存在M=L即f(x)在(1,+8)上是有界函數(shù)；

22

1,

③/(%)=上二，導(dǎo)數(shù)？(x)=---------=----爐，當(dāng)x>e時(shí)，f(x)<0,當(dāng)0<x<e

時(shí)，fz(x)>0,故x=e時(shí)取極大值，也為最大值且為上故存在M=』，在(1,+8)上有

ee

|f(x)|<-i,故函數(shù)f(x)在(1,上是有界函數(shù)；

e

④/(%)=xsinx導(dǎo)數(shù)？(x)=sinx+xcosx在(1,+°°)上不單調(diào)，且|f(x)|?x,故不存在

M,函數(shù)f(x)在(1,+8)上不是有界函數(shù).

故選A.

【思路點(diǎn)撥】①求出函數(shù)f(x)的值域?yàn)?①+oo),即可判斷；②先將f(x)變形，再應(yīng)

用基本不等式求出最值，從而根據(jù)新定義加以判斷；③應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，求出極值,

說明也為最值，再根據(jù)新定義判斷；④先判斷函數(shù)有無單調(diào)性，再運(yùn)用三角函數(shù)的有界性判

斷即可.

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題?第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須

做答.第22題?第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.

二'填空題：本大題共4小題，每小題5分.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣西桂林十八中高三上學(xué)期第一次月考(201409)】2.已知復(fù)數(shù)

z=a+bi(a,beR^.ab0),且z(l—2i)為實(shí)數(shù)，則q=

b

11

A.3B.2C,-D.-

23

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的分類及運(yùn)算L4

【答案解析】C解析：z(l—2i)=(a+初)(1—2i)=a+26+(—2a+b)i,因?yàn)閦(l—2。為

實(shí)數(shù)，所以一2。+人=0,即6=2。，又ab?。所以q

，b29

故選：c

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則化簡Z(l-2z),再利用復(fù)數(shù)的分類得到實(shí)數(shù)。力的關(guān)系式,

即可得到結(jié)論。

【題文】3.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是

,1

A.y-InxB.y-x+xC.y-3'D.y-——

X

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；基本初等函數(shù)B3,B4,B6,B7,B8

【答案解析】B解析：函數(shù)y=lnx和y=3*是非奇非偶函數(shù),所以A,C錯(cuò)誤；函數(shù)y=-工

x

在(-oo,0)和(0,+oo)是增函數(shù)，但在整個(gè)定義域內(nèi)不是增函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，

故選：B

【思路點(diǎn)撥】只要對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的性質(zhì)掌握清楚，就不難得出正確答案。

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月考(201408)】19.(14分)將函數(shù)

>=3sin(2x+夕),闡<|的圖像向左平移|個(gè)得到偶函數(shù)y=/(x)的圖像。

(1)求歹=/(x)解析式(2)求歹=/(x)的最大值及單調(diào)增區(qū)間。

【知識(shí)點(diǎn)】平移變換；函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值.BlB3B4

TT

【答案解析】⑴3cos2x；(2)最大值是3,增區(qū)間為——+左肛左》,keZ.

2

解析：⑴y=3sin(2%+0),同〈叁的圖像相左平移。個(gè)單位，

得至Uy=3sin2(x+(1+0,即：/(x)=3sin(2x+^+^)—2分

由于丁=/(力是偶函數(shù)，則與十°=搟+匕左￡z--4分

即/=_(+k7i,左wZ,又附v0=一[—6分

/./(%)=3sin(2%+-^l=3cos2x8分

(2)cos2xG[-1,1],3cos2xG[-3,3]的最大值是3-—10分

由y=cosx得單調(diào)增區(qū)間為[2左乃一匹2左句，左eZ,知2k兀一兀&2xW2k兀,keZ

即一2十左〃〈九〈左匹左￡Z.的增區(qū)間為一2十左肛左?,kGZ.14分

22

【思路點(diǎn)撥】⑴由平移變換得：/(x)=3sin(2x+W+G),由于y=/(x)是偶函數(shù),

則+0=5+左肛左eZ,即0=+k兀,keZ,又圖<g;.”>=一看

「./(%)=3sin]2x+g

=3cos2x；(2)利用余弦函數(shù)的值域及增區(qū)間，求y=/(x)的

最大值及單調(diào)增區(qū)間。

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣東省湛江市第一中學(xué)高三8月月考(201408)14.下列函數(shù)中，既

是偶函數(shù)又在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增的是()

A.y(x)=}B,於)=尤2+1c.人無)=￥D.八尤)=2七

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性；單調(diào)性的判斷.B3B4

【答案解析】A解析：易知選項(xiàng)A,B中函數(shù)是偶函數(shù)，而B中函數(shù)是區(qū)間(一8,0)上單

調(diào)遞減函數(shù)，故選A.

【思路點(diǎn)撥】利用排除法的正確選項(xiàng).

【數(shù)學(xué)文卷?2014屆寧夏銀川一中高三下學(xué)期第四次模擬考試(201405)】24.(本小題滿

分10分)選修4—5,不等式選講

已知函數(shù)/(無)=|%—1+人―,

(1)若a=l,解不等式/(x)22；

(2)^a>l,X/x^R,f(x)+1x-11>2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)恒成立問題.E2B3

【答案解析】(1)卜xWO或此2}(2)[3,+00)

解析：⑴當(dāng)。=1時(shí)，由/(x)22,得氏―1|21,解得，x<0或xN2

故/(%)>2的解集為卜x<0或x>2}

—3x+2+。,九<1

(2)、令/(x)=+,則R(x)=<x-2+a,l<x<a所以當(dāng)x=1時(shí)，/(%)有最

3x-2-a,x>a

小值F(l)=?-1,只需a—122解得所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3,+oo).

【思路點(diǎn)撥】(1)通過分類討論，去掉絕對(duì)值函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可

求得不等式f(x)>2的解集；

(2)通過分類討論，去掉絕對(duì)值函數(shù)中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的

單調(diào)性可得函數(shù)在R上先減后增，得到函數(shù)的最小值為f(1)+|1-l|=f(1)=a-1,而不

等式f(x)+|x-1|>1解集為R即a-121恒成立，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【數(shù)學(xué)文卷?2014屆寧夏銀川一中高三下學(xué)期第四次模擬考試(201405)】12.若存在正實(shí)

數(shù)對(duì)于任意xe(l,+8),都有|/(刈則稱函數(shù)/(x)在(1,+8)上是有界

函數(shù).下列函數(shù)：

1x1nx

①/(*)=------7；②/(*)=^--；③/(*)=----；?f(x)=xin?

x-1X+1X

其中“在(1,+8)上是有界函數(shù)”的序號(hào)為()

A.②③B.①②③C.②③④D.③④

【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)的值域.A2B3

【答案解析】A解析：①一在(1,+8)上是遞減函數(shù)，且值域?yàn)?0,+8),

x-1

故①在(1，+8)上不是有界函數(shù)；

X111

@/(x)=-...(x>l)即f(x)=...-,由于XH——>2(x>l),0<f(x)<—,故|f

X+1,1X2