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華中師大一附中2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,滿(mǎn)足條件(為常數(shù)),若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.2.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.3.已知向量,滿(mǎn)足||=1,||=2,且與的夾角為120°,則=()A. B. C. D.4.已知雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上與不重合的動(dòng)點(diǎn),若,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C.4 D.25.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則()A. B. C. D.6.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件,則的取值范圍為()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]7.已知,,則等于().A. B. C. D.8.已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B. C. D.9.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.10.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中,存在兩項(xiàng),使得,,則的最小值是()A. B. C. D.11.復(fù)數(shù)().A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則__________.14.若x,y滿(mǎn)足,則的最小值為_(kāi)_______.15.在直角三角形中,為直角,,點(diǎn)在線(xiàn)段上,且,若,則的正切值為_(kāi)____.16.從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_(kāi)____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知非零實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.(1)求證:;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由18.(12分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.19.(12分)如圖,點(diǎn)是以為直徑的圓上異于、的一點(diǎn),直角梯形所在平面與圓所在平面垂直,且,.(1)證明:平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.20.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足,各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿(mǎn)足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和21.(12分)函數(shù)(1)證明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范圍.22.(10分)某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線(xiàn)型公路,以及鐵路線(xiàn)上的一條應(yīng)開(kāi)鑿的直線(xiàn)穿山隧道,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線(xiàn)型公路,以所在的直線(xiàn)分別為軸,軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,山區(qū)邊界曲線(xiàn)為,設(shè)公路與曲線(xiàn)相切于點(diǎn),的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)為何值時(shí),公路的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度;(2)當(dāng)公路的長(zhǎng)度最短時(shí),設(shè)公路交軸,軸分別為,兩點(diǎn),并測(cè)得四邊形中,,,千米,千米,求應(yīng)開(kāi)鑿的隧道的長(zhǎng)度.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,我們可以畫(huà)出滿(mǎn)足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫(huà)出,滿(mǎn)足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,可得直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn),使目標(biāo)函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫(huà)出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線(xiàn)的交點(diǎn),然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線(xiàn)方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.2、C【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B,再根據(jù)函數(shù)極值排除A;結(jié)合特殊值即可排除D,即可得解.【詳解】函數(shù),則,所以為奇函數(shù),排除B選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,所以排除A選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,排除D選項(xiàng);綜上可知,C為正確選項(xiàng),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像,注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

先計(jì)算,然后將進(jìn)行平方,,可得結(jié)果.【詳解】由題意可得:∴∴則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題。4、D【解析】

設(shè),,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡(jiǎn)可得,即可求出離心率.【詳解】解:設(shè),,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì),考查了斜率的計(jì)算,離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.5、C【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

作出可行域,表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率,觀察可行域可得最小值.【詳解】作出可行域,如圖陰影部分(含邊界),表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率,,,過(guò)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)斜率為-1,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性規(guī)劃.解題關(guān)鍵是理解非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,本題表示動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率,由直線(xiàn)與可行域的關(guān)系可得結(jié)論.7、B【解析】

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào),即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐的體積最大,設(shè)球的半徑為,此時(shí),故,則球的表面積為,故選C.考點(diǎn):外接球表面積和椎體的體積.9、D【解析】

討論的取值范圍,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí),,故切線(xiàn)的斜率變小,當(dāng)時(shí),,故切線(xiàn)的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時(shí),,故切線(xiàn)的斜率變大,當(dāng)時(shí),,故切線(xiàn)的斜率變小,可排除C,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.10、C【解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比,進(jìn)而求出,嘗試用基本不等式,但取不到等號(hào),所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】,,或(舍).,,.當(dāng),時(shí);當(dāng),時(shí);當(dāng),時(shí),,所以最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算及最小值,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】試題分析:,故選A.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng),乘法法則類(lèi)似于多項(xiàng)式的乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫(xiě)成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化.12、D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點(diǎn):1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算;2、復(fù)數(shù)的模.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

因?yàn)?,由二倍角公式得到,故得到.故答案為?4、5【解析】

先作出可行域,再做直線(xiàn),平移,找到使直線(xiàn)在y軸上截距最小的點(diǎn),代入即得?!驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域,如圖,令,則,作出直線(xiàn),平移直線(xiàn),由圖可得,當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),直線(xiàn)在y軸上的截距最小,由,可得,因此的最小值為.故答案為:4【點(diǎn)睛】本題考查不含參數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,是基礎(chǔ)題。15、3【解析】

在直角三角形中設(shè),,,利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設(shè),,則,故.故答案為:3【點(diǎn)睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值,關(guān)鍵在于合理構(gòu)造角的和差關(guān)系,其本質(zhì)是利用兩角差的正切公式求解.16、【解析】

基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),由此能求出概率.【詳解】解:從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)存在,【解析】

(1)利用作差法即可證出.(2)將不等式通分化簡(jiǎn)可得,討論或,分離參數(shù),利用基本不等式即可求解.【詳解】又即即①當(dāng)時(shí),即恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),故②當(dāng)時(shí)恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),故綜上,【點(diǎn)睛】本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類(lèi)討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.18、,;,證明見(jiàn)解析【解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對(duì)函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中,的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】(1),其中,[,其中,(2)猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)時(shí),成立,②假設(shè)時(shí),猜想成立即當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),猜想成立由①②對(duì)成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.19、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)取的中點(diǎn),證明,則平面平面,則可證平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,則點(diǎn)到平面的距離可求.【詳解】解:(1)如圖:取的中點(diǎn),連接、.在中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四邊形是平行四邊形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于、的一點(diǎn),又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱錐的高線(xiàn).在直角梯形中,.設(shè)到平面的距離為,則,即由已知得,由余弦定理易知:,則解得,即點(diǎn)到平面的距離為故答案為:.【點(diǎn)睛】考查線(xiàn)面平行的判定和利用等體積法求距離的方法,是中檔題.20、(1);(2)【解析】

(1)由化為,利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系,得到是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列求解.(2)由(1)得到,再利用錯(cuò)位相減法求解.【詳解】(1)可以化為,,,,又時(shí),數(shù)列從開(kāi)始成等差數(shù)列,,代入得是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,,.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系和錯(cuò)位相減法求和,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21、(1)證明見(jiàn)詳解;(2)或或【解析】

(1)(2)首先用基本不等式得到,然后解出不等式即可【詳解】(1)因?yàn)樗裕?)當(dāng)時(shí)所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立因?yàn)榇嬖冢?,使得成立所以所以或解得:或或【點(diǎn)睛】1.要熟練掌握絕對(duì)值的三角不等式,即2.應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要滿(mǎn)足“一正二定三相等”.22、(1)當(dāng)時(shí),公路的長(zhǎng)度最短為千米;(2)(千米).【解析】

(1)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的方程為,根據(jù)兩點(diǎn)間距離得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性,從而得出極值和最值,即可得出結(jié)果;(2)在中,由余弦定理得出,利用正弦定理,求出,最后根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)度.【詳解】(1)由題可知,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,

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