河南安陽市林慮中學(xué)2025屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

河南安陽市林慮中學(xué)2025屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則的值為()A. B. C. D.3.在中,在邊上滿足,為的中點,則().A. B. C. D.4.已知,則()A.2 B. C. D.35.“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.橢圓的焦點為,點在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.7.設(shè)為定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,(為常數(shù)),則不等式的解集為()A. B. C. D.8.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.9.運行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.201710.在空間直角坐標(biāo)系中,四面體各頂點坐標(biāo)分別為:.假設(shè)螞蟻窩在點,一只螞蟻從點出發(fā),需要在,上分別任意選擇一點留下信息,然后再返回點.那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是()A. B. C. D.11.公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖,則輸出的值為()(參考數(shù)據(jù):)A.48 B.36 C.24 D.1212.已知集合,,則等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量,滿足約束條件則的最大值為________.14.在中,角的平分線交于,,,則面積的最大值為__________.15.邊長為2的菱形中,與交于點O,E是線段的中點,的延長線與相交于點F,若,則______.16.在中,內(nèi)角的對邊分別為,已知,則的面積為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列,其前項和為,且為與的等差中項.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求的前100項和.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中點.(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),試討論的單調(diào)性;(2)若,,求的取值范圍.20.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,已知.(1)求的值;(2)若,求的面積.21.(12分)已知橢圓的左頂點為,左、右焦點分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點(不與左、右頂點重合),且的周長為6,點關(guān)于原點的對稱點為,直線交于點.(1)求橢圓方程;(2)若直線與橢圓交于另一點,且,求點的坐標(biāo).22.(10分)已知橢圓,上頂點為,離心率為,直線交軸于點,交橢圓于,兩點,直線,分別交軸于點,.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求證:為定值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.2、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得,即可得到,代入由誘導(dǎo)公式計算可得.【詳解】解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,解得,,故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用,涉及三角函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由,可得,,再將代入即可.【詳解】因為,所以,故.故選:B.【點睛】本題考查平面向量的線性運算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案.【詳解】,;;故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)值的求法,考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用.5、A【解析】

先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的等價條件,得到,分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則,解得,故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,概念理解,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.【點睛】本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由可得,所以,由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可知在上單調(diào)遞增,注意到,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以,解得,所以當(dāng)時,,且時,單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,因為,故有,解得.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力,是一道中檔題.8、D【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵,∴,,,.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.10、C【解析】

將四面體沿著劈開,展開后最短路徑就是的邊,在中,利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開,展開后如下圖所示:最短路徑就是的邊.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故選:C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形,需熟記定理的內(nèi)容,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.11、C【解析】

由開始,按照框圖,依次求出s,進(jìn)行判斷?!驹斀狻?,故選C.【點睛】框圖問題,依據(jù)框圖結(jié)構(gòu),依次準(zhǔn)確求出數(shù)值,進(jìn)行判斷,是解題關(guān)鍵。12、A【解析】

進(jìn)行交集的運算即可.【詳解】,1,2,,,,1,.故選:.【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義,考查了交集的定義及運算,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、7【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合,即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當(dāng)直線過點時,有最大值,.故答案為:.【點睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.14、15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式,借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形:因為,,由角平分線定理得,設(shè),則由余弦定理得:即當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號所以面積的最大值為15故答案為:15【點睛】此題考查解三角形面積的最值問題,通過三角恒等變形后利用均值不等式處理,屬于一般性題目.15、【解析】

取基向量,,然后根據(jù)三點共線以及向量加減法運算法則將,表示為基向量后再相乘可得.【詳解】如圖:設(shè),又,且存在實數(shù)使得,,,,,,故答案為:.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算,屬中檔題.16、【解析】

由余弦定理先算出c,再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理,得,即,解得,故的面積.故答案為:【點睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積,考查學(xué)生的計算能力,是一道基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用已知條件化簡出,當(dāng)時,,當(dāng)時,再利用進(jìn)行化簡,得出,即可證明出為等差數(shù)列;(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項公式,再化簡出,可直接求出的前100項和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當(dāng)時,由①式可得;又時,有,代入①式得,整理得,∴是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項都為正數(shù),∴,∴,又,∴,則,,即:.∴的前100項和.【點睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,通項公式的求法以及裂項相消法求和,考查分析解題能力和計算能力.18、(1)見證明;(2)【解析】

(1)設(shè)是的中點,連接、,先證明是平行四邊形,再證明平面,即(2)以為坐標(biāo)原點,的方向為軸的正方向,建空間直角坐標(biāo)系,分別計算各個點坐標(biāo),計算平面法向量,利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:設(shè)是的中點,連接、,是的中點,,,,,,,是平行四邊形,,,,,,,,由余弦定理得,,,,平面,,;(2)由(1)得平面,,平面平面,過點作,垂足為,平面,以為坐標(biāo)原點,的方向為軸的正方向,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)是平面的一個法向量,則,,令,則,,,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直,線線垂直,利用空間直角坐標(biāo)系解決線面夾角問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.19、(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】

(1)由于函數(shù),得出,分類討論當(dāng)和時,的正負(fù),進(jìn)而得出的單調(diào)性;(2)求出,令,得,設(shè),通過導(dǎo)函數(shù),可得出在上的單調(diào)性和值域,再分類討論和時,的單調(diào)性,再結(jié)合,恒成立,即可求出的取值范圍.【詳解】解:(1)因為,所以,①當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時,令,則;令,則,所以在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)因為,可知,,令,得.設(shè),則.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,所以在上的值域是,即.當(dāng)時,沒有實根,且,在上單調(diào)遞減,,符合題意.當(dāng)時,,所以有唯一實根,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,,不符合題意.綜上,,即的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍,還運用了構(gòu)造函數(shù)法,還考查分類討論思想和計算能力,屬于難題.20、(1);(2).【解析】

(1)由,利用余弦定理可得,結(jié)合可得結(jié)果;(2)由正弦定理,,利用三角形內(nèi)角和定理可得,由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意,得.∵.∴,∵,∴.(2)∵,由正弦定理,可得.∵a>b,∴,∴.∴.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù),屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時,還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.21、(1);(2)或【解析】

(1)根據(jù)的周長為,結(jié)合離心率,求出,即可求出方程;(2)設(shè),則,求出直線方程,若斜率不存在,求出坐標(biāo),直接驗證是否滿足題意,若斜率存在,求出其方程,與直線方程聯(lián)立,求出點坐標(biāo),根據(jù)和三點共線,將點坐標(biāo)用表示,坐標(biāo)代入橢圓方程,即可求解.【詳解】(1)因為橢圓的離心率為,的周長為6,設(shè)橢圓的焦距為,則解得,,,所以橢圓方程為.(2)設(shè),則,且,所以的方程為①.若,則的方程為②,由對稱性不妨令點在軸上方,則,,聯(lián)立①,②解得即.的方程為,代入橢圓方程得,整理得,或,.,不符合條件.若,則的方程為,即③.聯(lián)立①,③可解得所以.因為,設(shè)所以,即.又因為位于軸異側(cè),所以.因為三點共線,即應(yīng)與共線,所以,即,所以,又,所以,解得,所以,所以點的坐標(biāo)為或.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查分類討論思想和計算求解能力,屬于較難題.22、(Ⅰ);(Ⅱ),證明見解析.【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意列

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