湘教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試卷含答案詳解

湘教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試題一、選擇題。（每小題只有一個(gè)正確答案）1．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，那么∠A的余弦值等于（）A． B． C． D．2．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）A． B． C．=0 D．3．如圖，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，則AD=（）A．2

B．2.4 C．2.5 D．34．如圖，若銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O外（與點(diǎn)C在AB同側(cè)），則下列三個(gè)結(jié)論：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正確的結(jié)論為（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③5．如圖，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在AM上，CM=CN，，下列結(jié)論正確的是（）

A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA6．下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（）A．2a2+a=3a2 B．2a﹣1= C．（﹣a）3?a2=﹣a6 D．=2﹣7．如果手頭沒有硬幣，下列方法可以模擬擲硬幣實(shí)驗(yàn)的是（)A．?dāng)S一個(gè)瓶蓋，蓋面朝上代表正面，蓋面朝下代表反面B．?dāng)S一枚圖釘，釘尖著地代表正面，釘帽著地代表反面C．用計(jì)算器產(chǎn)生1和2兩個(gè)隨機(jī)整數(shù)，1代表正面，2代表反面D．轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的裝盤，指針指向“紅”代表正面，指針指向“藍(lán)”代表反面8．設(shè)x1、x2是方程x2+x﹣4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x13﹣5x22+10=（）A．﹣29 B．﹣19 C．﹣15 D．﹣99．已知有一塊等腰三角形紙板，在它的兩腰上各有一點(diǎn)E和F，把這兩點(diǎn)分別與底邊中點(diǎn)連結(jié)，并沿著這兩條線段剪下兩個(gè)三角形，所得的這兩個(gè)三角形相似，剩余部分（四邊形）的四條邊的長(zhǎng)度如圖所示，那么原等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）A． B． C．或 D．或10．如圖，已知，，那么下列結(jié)論中，正確的是（）A． B． C． D．二、填空題11．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12﹣x22=10，則a=____．12．已知：∠1=30°30′，∠2=28.5°，則sin（∠1﹣∠2）≈________

（可用計(jì)算器，精確到0.001）13．①sin2A+cos2A=________，②tanA?cotA=________．14．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，則cosB=________15．如圖，E、P、F分別是AB、AC、AD的中點(diǎn)，則四邊形AEPF與四邊形ABCD________

（填“是”或“不是”）位似圖形．16．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，則CD＝_____．17．已知1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的一個(gè)根，那么m+n＝____．三、解答題18．如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC是格點(diǎn)三角形（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)）．（1）在第一象限內(nèi)找一點(diǎn)P，以格點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似但不全等，請(qǐng)寫出符合條件格點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）請(qǐng)用直尺與圓規(guī)在第一象限內(nèi)找到兩個(gè)點(diǎn)M、N，使∠AMB=∠ANB=∠ACB．請(qǐng)保留作圖痕跡，不要求寫畫法．19．某中學(xué)現(xiàn)要從甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生中，選派兩位同學(xué)代表學(xué)校參加全市漢字聽寫大賽．（1）請(qǐng)用樹狀圖或列表法列舉出各種可能選派的結(jié)果；（2）求恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率．20．如圖，登山纜車從點(diǎn)A出發(fā)，途經(jīng)點(diǎn)B后到達(dá)終點(diǎn)C，其中AB段與BC段的運(yùn)行路程均為200m，且AB段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為30°，BC段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為42°，求纜車從點(diǎn)A運(yùn)行到點(diǎn)C的垂直上升的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）21．如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點(diǎn)，AE＝ED，DF=DC，連結(jié)EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)BE．（1）求證：△ABE∽△DEF．（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．22．是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在，上，且，與相交于點(diǎn)F．（1）證明：；（2）找出一組相似三角形并證明；（3）若，你能求出哪條線段的長(zhǎng)度（除線段外）？請(qǐng)指出這條線段并求出它的長(zhǎng)度．23．曲靖市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米4000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米3240元的均價(jià)開盤銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）某人準(zhǔn)備以開盤價(jià)均價(jià)購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.9折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.4元，請(qǐng)問哪種方案更優(yōu)惠？24．如圖，在矩形中，E是的中點(diǎn)，，垂足為F．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．25．如圖1所示，上海中心大廈是上海市的一座超高層地標(biāo)式摩天大樓，是我國(guó)最高的建筑，建筑主體共計(jì)119層．某數(shù)學(xué)小組欲測(cè)此上海中心大廈的樓高，設(shè)計(jì)出如圖2所示的測(cè)量方案．具體方案如下：小組成員在地面A處通過激光測(cè)距，測(cè)得仰角，光路長(zhǎng)，光路被寫字樓樓頂?shù)囊幻娌ＡВㄒ暈辄c(diǎn)B）反射，反射的激光束沿光路恰好可以到達(dá)上海中心大廈樓頂（視為點(diǎn)C）．已知寫字樓與上海中心大廈的直線距離為（寫字樓與上海中心大廈位于同一平面），圖2中的虛線為法線．（所有結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）．（1）求寫字樓的高度．（2）求上海中心大廈的樓高．參考答案1．A【詳解】試題解析：在Rt△ABC中,∵∠C=90°，AC=3，BC=4，故選A2．A【分析】A、根據(jù)一元二次方程的定義A滿足條件，B、分母中有未知數(shù)，不是整式方程，B不滿足條件，不選BC、判斷二次項(xiàng)系數(shù)為a是否為0即可，不選CD、看二次項(xiàng)系數(shù)是0，不是一元二次方程，不選D【詳解】A、根據(jù)一元二次方程的定義A滿足條件，故A正確，B、分母中有未知數(shù)，不是整式方程，不選B，C、二次項(xiàng)系數(shù)為a是否為0，不確定，不選C，D、沒有二次項(xiàng)，不是一元二次方程，不選D．故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程問題，關(guān)鍵掌握一元二次方程定義滿足的條件．3．A【詳解】設(shè)AD=，∵矩形ABCD∽矩形ADFE，∴AD:AE=AB:AD，又∵AE=1，AB=4，∴，∴，又∵，∴.即AD=2.故選A.4．D【詳解】如圖，連接BE，根據(jù)圓周角定理，可得∠C=∠AEB，∵∠AEB=∠D+∠DBE，∴∠AEB>∠D，∴∠C>∠D，根據(jù)銳角三角形函數(shù)的增減性，可得，sin∠C>sin∠D，故①正確；cos∠C<cos∠D，故②錯(cuò)誤；tan∠C>tan∠D，故③正確；故選D．5．B【詳解】∵CM=CN，∴∠CNM=∠CMN，∴180°-∠CMN=180°-∠CNM，即∠AMB=∠ANC，∵CM=CN，，∴，∴△AMB∽△ANC.故選B.6．D【解析】A選項(xiàng)中，因?yàn)橹袃蓚€(gè)項(xiàng)不是同類項(xiàng)，不能合并，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，因?yàn)?，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，，所以本選項(xiàng)正確；故選D.7．A【解析】A選項(xiàng)中，一個(gè)瓶蓋可用蓋面朝上表示硬幣的正面，蓋面朝下表示硬幣的反面，兩者出現(xiàn)的概率一樣，可作實(shí)驗(yàn)替代物，所以本選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)中，圖釘尖朝上的概率大于面朝上的概率，不可做實(shí)驗(yàn)替代物，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，用計(jì)算器產(chǎn)生1和2兩個(gè)隨機(jī)整數(shù)，1代表正面，2代表反面，兩數(shù)產(chǎn)生的概率不同，不能代替拋擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的裝盤，指針指向“紅”代表正面，指針指向“藍(lán)”代表反面，由于還有一個(gè)“黃色區(qū)域”，本實(shí)驗(yàn)中有三種等可能結(jié)果，與拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)情況不一樣，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A.8．B【解析】∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴======.故選B.9．B【解析】根據(jù)題意，本題需分點(diǎn)（1）A為等腰三角形的頂點(diǎn)，點(diǎn)D為等腰三角形底邊的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)A為等腰三角形底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D為等腰三角形的頂點(diǎn)；兩種情況來討論：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形的頂點(diǎn)，點(diǎn)D為底邊的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)BD=DC=a，AB=AC=b，則BE=b-2，CF=b-4，∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵BD=DC，BE≠CF，DE≠DF，∴點(diǎn)B與點(diǎn)C，點(diǎn)E與點(diǎn)D，點(diǎn)D與點(diǎn)F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即△BED∽△CDF，∴BE:CD=BD:CF，即(b-2):a=a(b-4)=3:2，解得：a=，∴BC=2a=，該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為：.，

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為等腰三角形的頂點(diǎn)，點(diǎn)A為底邊中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AB=AC=a，BD=CD=b，則BE=b-3，CF=b-2,∵BD=CD，∴∠B=∠C，∴點(diǎn)B與點(diǎn)C為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，①若點(diǎn)E與點(diǎn)F、點(diǎn)A與點(diǎn)C為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則△BEA∽△CFA，∴BE:CF=EA:FA=BA:CA，即(b-3):(b-2)=a:a=2:4，此時(shí)a、b無解，故此種情況不成立；②若點(diǎn)E與點(diǎn)A，點(diǎn)A與點(diǎn)F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由△BEA∽△CAF，∴BE：CA=EA：AF=BA：CF，即（b-3）：a=2：4=a：（b-2），解得：a=，b=，則此時(shí)AB=，BE=，

又∵AE=2，∴此時(shí)AB、BE、AE不能圍成三角形，故此種情況不成立；綜上所述，這個(gè)等腰三角形底邊長(zhǎng)為：.故選B.點(diǎn)睛：（1）由題意可知本題需分兩種情況討論：①A為等腰三角形的頂點(diǎn)，點(diǎn)D為等腰三角形底邊的中點(diǎn)；②點(diǎn)D為等腰三角形的頂點(diǎn)，點(diǎn)A為底邊中點(diǎn)；（2）解得三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，需用三角形三邊間的關(guān)系檢驗(yàn)，看是否能夠圍成三角形.10．A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例性質(zhì)：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，故A選項(xiàng)正確；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；的值無法確定，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；的值無法確定，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．11．【詳解】∵是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，又∵，∴，又∵，∴，解得：.點(diǎn)睛：（1）若關(guān)于的一元二次方程的兩根分別是，則：；（2）當(dāng)時(shí)，.12．0.035【解析】∵∠1=30°30′，∠2=28.5°，∴∠1-∠2=30°30′-28°30′=2°，∴sin(∠1-∠2)=sin2°≈0.035.13．11【解析】如圖，設(shè)Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為，則sinA=，cosA=，tanA=，cotA=，，∴（1）sin2A+cos2A=；（2）tanA?cotA=.點(diǎn)睛：解答本題的要點(diǎn)是：畫出符合要求的圖形，結(jié)合銳角三角形函數(shù)的定義和勾股定理進(jìn)行推理計(jì)算即可得到答案.14．【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8∴cosB=.15．是【解析】由已知易得：AF:AD=AP:AC=AE:AB，∴PF∥CD，PE∥BC，∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，∴四邊形AEPF∽四邊形ABCD，∴根據(jù)位似圖形的定義：“兩個(gè)圖形不僅相似，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一直線上，則這兩個(gè)圖形叫位似圖形”可知：四邊形AEPF和四邊形ABCD是位似圖形.即答案為：“是”.16．【分析】延長(zhǎng)AD和BC交于點(diǎn)E，在直角△ABE中利用三角函數(shù)求得BE的長(zhǎng)，則EC的長(zhǎng)即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函數(shù)的定義求解．【詳解】如圖，延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，∵∠B=90°，∴，∴BE=，∴CE=BE-BC=2，AE=，∴，又∵∠CDE=∠CDA=90°，∴在Rt△CDE中，，∴CD=.17．﹣1【解析】∵1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，∴1+m+n=0，∴m+n=-1.18．（1）P（1，4）或P′（3，4）；（2）見解析．【分析】（1）分△APB∽△ABC，△BPA∽△ABC，△BAP∽△ABC三種情況分析討論，并把全等的情況去掉即可；（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，以BC為直徑作Rt△ABC的外接圓即可找到符合條件的點(diǎn)M、N.【詳解】（1）如圖1所示：當(dāng)△AP1B∽△ABC時(shí)，P1A:AB=AC:AB=1：2，解得P1A=4，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）；當(dāng)△BP2A∽△ABC時(shí)，P2B:AB=AB:AC=2：1，解得P2B=4，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）；當(dāng)△BAP3∽△ABC時(shí)，P3B:AB=AC:AB=1：2，解得P3B=1，此時(shí)兩三角形全等，不符合題意，舍去；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（3，4）；（2）如圖，作△ABC的外接圓，在上取兩點(diǎn)M，N即可．【點(diǎn)睛】（1）解第1小題時(shí)，圍繞△PAB需滿足三個(gè)條件：①必須是直角三角形；②AB是直角邊；③與△ABC相似，但不全等；進(jìn)行分析討論即可；（2）解第2小題時(shí)，由△ABC是Rt△，以BC為直徑作出其外接圓，利用同弧所對(duì)的圓周角相等即可得到答案.19．（1）見解析；（2）【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果；（2）由（1）可求得恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】（1）畫樹狀圖得：（2）∵恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的有8種情況，∴恰好選派一男一女兩位同學(xué)參賽的概率為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20．纜車從點(diǎn)A運(yùn)行到點(diǎn)C的垂直上升的距離約為234m．【詳解】試題分析：纜車從點(diǎn)A運(yùn)行到點(diǎn)C的垂直上升的距離為BD+CE，在Rt△ABD和Rt△△BCE中，解直角三角形即可得到結(jié)論．試題解析：如圖所示，纜車從點(diǎn)A運(yùn)行到點(diǎn)C的垂直上升的距離為BD+CE，又∵△ABD和△BCE均為直角三角形，∴．考點(diǎn)：解直角三角形．21．（1）見解析；（2）BG=BC+CG=10．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得AE：AB=DF：DE，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據(jù)相似三角形的預(yù)備定理得到△EDF∽△GCF，再根據(jù)相似的性質(zhì)即可求得CG的長(zhǎng)，那么BG的長(zhǎng)也就不難得到.【詳解】（1）證明：∵ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°.∵AE=ED，∴AE：AB=1：2.∵DF=DC，∴DF：DE=1：2，∴AE：AB=DF：DE，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴△EDF∽△GCF，∴ED：CG=DF：CF.又∵DF=DC，正方形的邊長(zhǎng)為4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.22．（1）見詳解；（2），理由見詳解；（3）能求出的長(zhǎng)度，【分析】（1）根據(jù)題意易得，然后問題可求證；（2）由（1）可得，，則有，然后可得，進(jìn)而問題可求解；（3）由題意易得，由（2）可得，則有，進(jìn)而問題可求解．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：由（1）可得，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：能求出的長(zhǎng)度，理由如下：由（1）（2）可得：，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（1）平均每次下調(diào)的百分率是10%；（2）選擇方案②更優(yōu)惠，理由見解析.【解析】試題分析：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可得到符合要求的答案；（2）根據(jù)題意分別計(jì)算出兩種方案的優(yōu)惠金額，在比較大小即可得到答案；試題解析：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率是x，依題意得：4000（1﹣x）2=3240，解得：x=0.1=10%或x=1.9（不合題意，舍去）∴平均每次下調(diào)的百分率是10%（2）方案①優(yōu)惠金額=100×3240×（1﹣99%）=3240元；方案②優(yōu)惠金額=100×1.4×12×2=3360元；∵3360>3240，故選擇方案②更優(yōu)惠.24．（1）見解析；（2）【分析】（1）由矩形性質(zhì)得AD∥BC，進(jìn)而由平行線的性質(zhì)得∠AEB=∠DAF，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩