高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《空間向量及其應(yīng)用》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《空間向量及其應(yīng)用》專項測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．下列說法正確的是()A．若p＝xa＋yb，則p與a，b不一定共面B．若p與a，b共面，則p＝xa＋ybC．若eq\o(MP,\s\up16(→))＝xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→))，則P，M，A，B共面D．若P，M，A，B共面，則eq\o(MP,\s\up16(→))＝xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→))2．設(shè)平面α的一個法向量為n＝(x,1，－2)，平面β的一個法向量為m＝(2，－2，y)，若α∥β，則xy＝()A．2B．4C．－2D．－43．已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是線段OA，CB的中點，點G在線段MN上，且使MG＝2GN，如圖，則正確用向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))表示向量eq\o(OG,\s\up16(→))的是()A．eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up16(→))B．eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up16(→))C．eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→))D．eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up16(→))4．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三個向量共面，則實數(shù)λ＝()A.eq\f(62,7)B.eq\f(63,7)C.eq\f(60,7)D.eq\f(65,7)5．已知正四面體A-BCD的棱長為1，且eq\o(AE,\s\up16(→))＝2eq\o(EB,\s\up16(→))，eq\o(AF,\s\up16(→))＝2eq\o(FD,\s\up16(→))，則eq\o(EF,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(1,3)6．若A，B，C不共線，對于空間任意一點O，都有eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up16(→))，則P，A，B，C四點()A．不共面 B．共面C．共線 D．不能確定7．(2024·河北石家莊模擬)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AP,\s\up16(→))＝2eq\o(PA1,\s\up16(→))，點M在側(cè)面AA1B1B內(nèi)．若D1M⊥CP，則點M的軌跡為()A．線段 B．圓弧C．拋物線的一部分 D．橢圓的一部分8．(2024·四川內(nèi)江、眉山等六市月考)如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則AC1＝()A．1 B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)二、多項選擇題9．(2024·廣東梅州模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，點M，N分別在棱AB和BB1上(不含端點)運動．若D1M⊥MN，則下列命題正確的是()A．MN⊥A1MB．MN⊥平面D1MCC．線段BN長度的最大值為eq\f(3,4)D．三棱錐C1-A1D1M體積不變?nèi)?、填空題與解答題10．已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，則以eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))為邊的平行四邊形的面積為________．11．已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2＝eq\f(1,2)，若空間向量b滿足b·e1＝2，b·e2＝eq\f(5,2)，且對于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，則x0＝________，y0＝________，|b|＝________.12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M為AD的中點，N為PC上的點，且PC＝3PN.求證：MN∥平面PAB.13．(2024·山東濟南質(zhì)檢)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，證明：平面AMC⊥平面BMC.14．(2024·河南洛陽模擬)如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求證：AC⊥BF.(2)在線段BE上是否存在一點P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出eq\f(BP,PE)的值；若不存在，請說明理由．高分推薦題15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．(1)求證：EF⊥CD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB.解析版一、單項選擇題1．下列說法正確的是()A．若p＝xa＋yb，則p與a，b不一定共面B．若p與a，b共面，則p＝xa＋ybC．若eq\o(MP,\s\up16(→))＝xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→))，則P，M，A，B共面D．若P，M，A，B共面，則eq\o(MP,\s\up16(→))＝xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→))解析：A項，若p＝xa＋yb，則p與a，b一定共面；B項，若a，b共線，p與a不共線，則p＝xa＋yb就不成立；C正確；D項，若M，A，B共線，點P不在此直線上，則eq\o(MP,\s\up16(→))＝xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→))不成立．故選C.答案：C2．設(shè)平面α的一個法向量為n＝(x,1，－2)，平面β的一個法向量為m＝(2，－2，y)，若α∥β，則xy＝()A．2B．4C．－2D．－4解析：因為α∥β，所以m∥n，所以存在實數(shù)λ，使得n＝λm，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2λ，,1＝－2λ，,－2＝λy，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝4，,λ＝－\f(1,2)，))所以xy＝－4，故選D.答案：D3．已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是線段OA，CB的中點，點G在線段MN上，且使MG＝2GN，如圖，則正確用向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))表示向量eq\o(OG,\s\up16(→))的是()A．eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up16(→))B．eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up16(→))C．eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→))D．eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up16(→))解析：連接ON(圖略)．eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(MG,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)Meq\o(N,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up16(→))－eq\o(OM,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OB,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up16(→))－\f(1,2)\o(OA,\s\up16(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→)).故選C.答案：C4．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三個向量共面，則實數(shù)λ＝()A.eq\f(62,7)B.eq\f(63,7)C.eq\f(60,7)D.eq\f(65,7)解析：由題意，設(shè)c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝2t－μ，,5＝－t＋4μ，,λ＝3t－2μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(33,7)，,μ＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))故選D.答案：D5．已知正四面體A-BCD的棱長為1，且eq\o(AE,\s\up16(→))＝2eq\o(EB,\s\up16(→))，eq\o(AF,\s\up16(→))＝2eq\o(FD,\s\up16(→))，則eq\o(EF,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(1,3)解析：因為eq\o(AE,\s\up16(→))＝2eq\o(EB,\s\up16(→))，eq\o(AF,\s\up16(→))＝2eq\o(FD,\s\up16(→))，所以EF∥BD，EF＝eq\f(2,3)BD，即eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up16(→))，則eq\o(EF,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)|eq\o(BD,\s\up16(→))||eq\o(DC,\s\up16(→))|coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,3).答案：D6．若A，B，C不共線，對于空間任意一點O，都有eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up16(→))，則P，A，B，C四點()A．不共面 B．共面C．共線 D．不能確定解析：由已知可得eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up16(→))＝－eq\f(1,8)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\f(1,8)eq\o(OA,\s\up16(→))，可得eq\o(AP,\s\up16(→))＝－eq\f(1,8)(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＋eq\f(1,8)(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,8)eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AC,\s\up16(→))，所以eq\o(AP,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AB,\s\up16(→))共面但不共線，故P，A，B，C四點共面．答案：B7．(2024·河北石家莊模擬)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AP,\s\up16(→))＝2eq\o(PA1,\s\up16(→))，點M在側(cè)面AA1B1B內(nèi)．若D1M⊥CP，則點M的軌跡為()A．線段 B．圓弧C．拋物線的一部分 D．橢圓的一部分解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為3，則P(3,0,2)，C(0,3,0)，D1(0,0,3)，M(3，y，z)，eq\o(D1M,\s\up16(→))＝(3，y，z－3)，eq\o(CP,\s\up16(→))＝(3，－3,2)，所以eq\o(D1M,\s\up16(→))·eq\o(CP,\s\up16(→))＝9－3y＋2(z－3)＝0，整理為3y－2z－3＝0，即點M的軌跡是平面ABB1A1內(nèi)，直線3y－2z－3＝0上的一段線段．答案：A8．(2024·四川內(nèi)江、眉山等六市月考)如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則AC1＝()A．1 B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：∵eq\o(AC1,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))，∴eq\o(AC1,\s\up16(→))2＝eq\o(AB,\s\up16(→))2＋eq\o(AD,\s\up16(→))2＋eq\o(AA1,\s\up16(→))2＋2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＋2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AA1,\s\up16(→))＋2eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AA1,\s\up16(→))＝1＋1＋1＋2×1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×1×1×eq\f(1,2)＝2，∴AC1＝eq\r(2).答案：D二、多項選擇題9．(2024·廣東梅州模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，點M，N分別在棱AB和BB1上(不含端點)運動．若D1M⊥MN，則下列命題正確的是()A．MN⊥A1MB．MN⊥平面D1MCC．線段BN長度的最大值為eq\f(3,4)D．三棱錐C1-A1D1M體積不變解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以點D為原點，射線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸非負半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，設(shè)M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，則eq\o(D1M,\s\up16(→))＝(3，y，－3)，eq\o(MN,\s\up16(→))＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，則eq\o(D1M,\s\up16(→))·eq\o(MN,\s\up16(→))＝y(tǒng)(3－y)－3z＝0，即z＝eq\f(1,3)y(3－y)．對于A選項，連接A1M，eq\o(A1M,\s\up16(→))＝(0，y，－3)，則eq\o(A1M,\s\up16(→))·eq\o(MN,\s\up16(→))＝y(tǒng)(3－y)－3z＝0，則eq\o(A1M,\s\up16(→))⊥eq\o(MN,\s\up16(→))，MN⊥A1M，A正確；對于B選項，連接CM，CD1，eq\o(CM,\s\up16(→))＝(3，y－3,0)，eq\o(CM,\s\up16(→))·eq\o(MN,\s\up16(→))＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM與MN不垂直，從而MN與平面D1MC不垂直，B不正確；對于C選項，eq\o(BN,\s\up16(→))＝(0,0，z)，則線段BN長度|eq\o(BN,\s\up16(→))|＝z＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＋\f(9,4)))≤eq\f(3,4)，當(dāng)且僅當(dāng)y＝eq\f(3,2)時等號成立，C正確；對于D選項，連接A1C1，MC1，不論點M如何移動，點M到平面A1D1C1的距離均為3，而VC1-A1D1M＝VM-A1D1C1＝eq\f(1,3)×3·S△A1D1C1＝eq\f(9,2)，所以三棱錐C1-A1D1M體積為定值，即D正確．答案：ACD三、填空題與解答題10．已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，則以eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))為邊的平行四邊形的面積為________．解析：由題意可得eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(1，－3,2)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq\f(－2＋3＋6,\r(14)×\r(14))＝eq\f(1,2)，所以sin〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝eq\f(\r(3),2)，所以以eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))為邊的平行四邊形的面積S＝2×eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up16(→))||eq\o(AC,\s\up16(→))|sin〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝14×eq\f(\r(3),2)＝7eq\r(3).答案：7eq\r(3)11．已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2＝eq\f(1,2)，若空間向量b滿足b·e1＝2，b·e2＝eq\f(5,2)，且對于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，則x0＝________，y0＝________，|b|＝________.解析：問題等價于|b－(xe1＋ye2)|當(dāng)且僅當(dāng)x＝x0，y＝y(tǒng)0時取到最小值1，左邊平方，得|b|2＋x2＋y2－4x－5y＋xy，在x＝x0，y＝y(tǒng)0時取到最小值1，即|b|2＋x2＋y2－4x－5y＋xy＝x2＋(y－4)x＋y2－5y＋|b|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y－4,2)))2＋eq\f(3,4)(y－2)2－7＋|b|2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(y0－4,2)＝0，,y0－2＝0，,－7＋|b|2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝2，,|b|＝2\r(2).))答案：122eq\r(2)12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M為AD的中點，N為PC上的點，且PC＝3PN.求證：MN∥平面PAB.解：方法一(幾何法)：如圖，在平面PBC內(nèi)作NH∥BC交PB于點H，連接AH，在△PBC中，NH∥BC，且NH＝eq\f(1,3)BC＝1，AM＝eq\f(1,2)AD＝1，又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，∴四邊形AMNH為平行四邊形，∴MN∥AH，又AH?平面PAB，MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB.方法二(向量法)：在平面ABCD內(nèi)作AE∥CD交BC于點E，則AE⊥AD.以AE，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則P(0,0,4)，M(0,1,0)，C(2eq\r(2)，2,0)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，\f(2,3)，\f(8,3)))，B(2eq\r(2)，－1,0)，A(0,0,0)，故eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，－\f(1,3)，\f(8,3)))，eq\o(AP,\s\up16(→))＝(0,0,4)，eq\o(AB,\s\up16(→))＝(2eq\r(2)，－1，0)．設(shè)eq\o(MN,\s\up16(→))＝meq\o(AB,\s\up16(→))＋neq\o(AP,\s\up16(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，－\f(1,3)，\f(8,3)))＝m(2eq\r(2)，－1,0)＋n(0，0,4)，∴m＝eq\f(1,3)，n＝eq\f(2,3)，∴eq\o(MN,\s\up16(→))，Aeq\o(B,\s\up16(→))，Aeq\o(P,\s\up16(→))共面．∴eq\o(MN,\s\up16(→))∥平面PAB.又MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB.方法三(法向量)：建系寫點坐標(biāo)如方法二．設(shè)m＝(x1，y1，z1)為平面PAB的一個法向量，則由m⊥eq\o(AP,\s\up16(→))，m⊥eq\o(AB,\s\up16(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4z1＝0，,2\r(2)x1－y1＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z1＝0，,y1＝2\r(2)x1.))令x1＝1，則m＝(1,2eq\r(2)，0)．∴eq\o(MN,\s\up16(→))·m＝eq\f(2\r(2),3)×1－eq\f(1,3)×2eq\r(2)＋eq\f(8,3)×0＝0.∴m⊥eq\o(MN,\s\up16(→))，∴eq\o(MN,\s\up16(→))∥平面PAB.又MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB.13．(2024·山東濟南質(zhì)檢)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，證明：平面AMC⊥平面BMC.證明：(1)如圖，以O(shè)為原點，以射線OD為y軸正半軸，以射線OP為z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．eq\o(AP,\s\up16(→))＝(0,3,4)，eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－8,0,0)，由此可得eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，所以eq\o(AP,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，即AP⊥BC.(2)由(1)，知AP＝5，又AM＝3，且點M在線段AP上，∴eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,5)，\f(12,5))).又eq\o(BA,\s\up16(→))＝(－4，－5,0)，∴eq\o(BM,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))，∴eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BM,\s\up16(→))＝(0,3,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(16,5)，\f(12,5)))＝0，∴eq\o(AP,\s\up16(→))⊥eq\o(BM,\s\up16(→))，即AP⊥BM，又根據(jù)(1)的結(jié)論，知AP⊥BC，且BM∩BC＝B，∴AP⊥平面BMC，又AP?平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.14．(2024·河南洛陽模擬)如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求證：AC⊥BF.(2)在線段BE上是否存在一點P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出eq\f(BP,PE)的值；若不存在，請說明理由．(1)證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC.∴過A作AH⊥BC于H(圖略)，則BH＝1，AH＝eq\r(3)，CH＝3，∴AC＝2eq\r(3)，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB.∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF.(2)解：存在．由(1)知，AF，AB，AC兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點，eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AF,\s\up16(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2eq\r(3)，0)，E(－1，eq\r(3)，2)．假設(shè)在線段BE上存在一點P滿足題意，則易知點P不與點B，E重合，設(shè)eq\f(BP,PE)＝λ，則λ>0，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－λ,1＋λ)，\f(\r(3)λ,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).設(shè)平面PAC的法向量m＝(x，y，z)．由eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－λ,1＋λ)，\f(\r(3)λ,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(0，2eq\r(3)，0)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AP,\s\up16(→))＝\f(2－λ,1＋λ)x＋\f(\r(3)λ,1＋λ)y＋\f(2λ,1＋λ)z＝0，,m·\o(AC,\s\up16(→))＝2\r(3)y＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝\f(λ－2,2λ)x，,y＝0，))令x＝1，則z＝eq\f(λ－2,2λ)，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\