高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《拋物線》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《拋物線》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.會(huì)判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.2.會(huì)求直線與拋物線相交所得的弦長.3.能解決與拋物線的切線相關(guān)的簡單幾何問題．直線與拋物線的位置關(guān)系聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝kx＋m，))得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①相切：k≠0，Δ＝0；②相交：k≠0，Δ>0或k＝0；③相離：k≠0，Δ<0.常/用/結(jié)/論拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F的焦點(diǎn)弦AB的傾斜角為θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>y2，則有下列性質(zhì)：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出．焦半徑：坐標(biāo)式．(2)|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1－cosθ)；焦半徑：傾斜角式，推導(dǎo)過程如下：|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1＋cosθ)；|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ).由(2)知|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(2p,1－cos2θ)＝eq\f(2p,sin2θ).易知：通徑是焦點(diǎn)弦中最短的弦．(3)S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ).設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，則d＝eq\f(psinθ,2)，由(2)知S＝eq\f(1,2)|AB|d＝eq\f(p2,2sinθ).(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值eq\f(2,p).由(2)知eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1－cosθ＋1＋cosθ,p)＝eq\f(2,p).(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．eq\a\vs4\al(AB中點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d＝|PQ|＝\f(1,2)|AC|＋|BD|＝\f(1,2)|AB|＝r.)(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切．證明同(5)．(7)過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1y＝px1＋x→過A的切線，,y2y＝px2＋x→過B的切線，,y\o\al(2,1)＝2px1，,y\o\al(2,2)＝2px2，))得兩切線交點(diǎn)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1y2,2p)，\f(y1＋y2,2)))，又由y1y2＝－p2知xQ＝－eq\f(p,2)，即Q點(diǎn)軌跡方程為準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2).易驗(yàn)證kQA·kQB＝－1，即QA⊥QB．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)若直線與拋物線相交，則它們有1個(gè)或2個(gè)公共點(diǎn)．(√)(2)所有的焦點(diǎn)弦中，通徑的長最短．(√)(3)若直線l過點(diǎn)(2p,0)，與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則OA⊥OB．(√)(4)若過準(zhǔn)線上一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則直線AB過拋物線焦點(diǎn)．(√)2．直線y＝x－1過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝()A．6 B．8C．2 D．4解析：因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，又直線y＝x－1過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，所以p＝2，拋物線C的方程為y2＝4x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))得x2－6x＋1＝0，所以xA＋xB＝6，所以|AB|＝xA＋xB＋p＝6＋2＝8.故選B．答案：B3．過點(diǎn)P(4，－3)作拋物線y＝eq\f(1,4)x2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()A．2x－y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0C．2x－y－3＝0 D．2x＋y－3＝0解析：設(shè)切點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，又y′＝eq\f(1,2)x，則切線PA的方程為y－y1＝eq\f(1,2)x1·(x－x1)，即y＝eq\f(1,2)x1x－y1，切線PB的方程為y－y2＝eq\f(1,2)x2(x－x2)，即y＝eq\f(1,2)x2x－y2，由P(4，－3)是PA，PB的交點(diǎn)可知，－3＝2x1－y1，－3＝2x2－y2，由兩點(diǎn)確定一條直線，可得過A，B的直線方程為－3＝2x－y，即2x－y＋3＝0.故選A．答案：A4．已知直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為________．解析：直線y＝kx＋2中，當(dāng)k＝0時(shí)，y＝2，此時(shí)直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，把y＝kx＋2代入拋物線y2＝8x，得(kx＋2)2＝8x，整理，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，∵直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，解得k＝1.故k的值為0或1.答案：0或1題型焦點(diǎn)弦問題典例1(1)(2024·河南駐馬店期末)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A(點(diǎn)A在第一象限)，B兩點(diǎn)，且eq\f(|AF|,|BF|)＝2，則△ABO(O為坐標(biāo)原秒殺：不妨設(shè)AB的傾斜角θ為銳角，則eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(\f(p,1－cosθ),\f(p,1＋cosθ))＝eq\f(1＋cosθ,1－cosθ)＝2，即cosθ＝eq\f(1,3)?sinθ＝eq\f(2\r(2),3)?S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)＝eq\f(4,2×\f(2\r(2),3))＝eq\f(3\r(2),2).點(diǎn))的面積是()A．3eq\r(,2) B．eq\f(3\r(,2),2)C．2 D．4(2)如圖，已知線段AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條弦，過點(diǎn)A(A在第一象限內(nèi))作直線AC垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為C，直線AT與拋物線相切于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)T，給出下列命題：①∠AFx＝2∠TAF；②|TF|＝|AF|；③AT⊥CF.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：(1)由題意可得F(1,0)，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1.由于l的斜率不為0，故可設(shè)倒斜截式．當(dāng)然，由于本題斜率不存在時(shí)不滿足eq\f(|AF|,|BF|)＝2，故也可設(shè)點(diǎn)斜式．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))整理得y2－4my－4＝0.設(shè)A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0)，則Δ>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.∵eq\f(|AF|,|BF|)＝2，∴y1＝－2y2，則－2yeq\o\al(2,2)＝－4，解得y2＝－eq\r(2)，從而y1－y2＝3eq\r(2)，故△ABO的面積是eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×1×3eq\r(2)＝eq\f(3\r(2),2).故選B．(2)根據(jù)拋物線的定義可知|AF|＝|AC|，由于AC垂直于拋物線的準(zhǔn)線，所以AC∥x軸，所以∠AFx＝∠CAF.設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p)，y0))，則Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，y0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設(shè)D是CF的中點(diǎn)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y0,2)))，由于|AC|＝|AF|，因此可想到取CF中點(diǎn)D，判斷AD與拋物線的位置關(guān)系．所以直線AD的方程為y－eq\f(y0,2)＝eq\f(y0－\f(y0,2),\f(y\o\al(2,0),2p)－0)(x－0)，即y＝eq\f(p,y0)x＋eq\f(y0,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(p,y0)x＋\f(y0,2)，,y2＝2px，))消去y并化簡，得eq\f(p2,y\o\al(2,0))x2－px＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝0，其判別式Δ＝(－p)2－4×eq\f(p2,y\o\al(2,0))×eq\f(y\o\al(2,0),4)＝0，所以直線AD與拋物線相切，故直線AD與直到此便可判斷①②③了．線AT重合．由于D是CF的中點(diǎn)，所以AD⊥CF，也即AT⊥CF，③正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠CAF＝2∠TAF，所以∠AFx＝2∠TAF，①正確；由于AC∥x軸，所以∠CAT＝∠FTA，所以∠FTA＝∠TAF，所以|TF|＝|AF|，②正確．綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)為3.故選D．1．解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)(以拋物線y2＝2px(p>0)為例)：①設(shè)焦點(diǎn)弦與拋物線的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)．②因?yàn)?x1，y1)，(x2，y2)在拋物線上，故滿足yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.③利用yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝4p2x1x2可以整體得到y(tǒng)1y2或x1x2.2．利用拋物線的定義把過焦點(diǎn)的弦分成兩個(gè)焦半徑，再轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再求解.對(duì)點(diǎn)練1(1)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C．若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長為()A．5 B．6C．eq\f(16,3) D．eq\f(20,3)(2)已知拋物線y2＝4x，過其焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1,3，x2三個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則線段|AB|的長為()A．9 B．8C．7 D．6解析：如圖，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線AD，交l于點(diǎn)D．由拋物線的定義知|AD|＝|AF|＝4.因?yàn)辄c(diǎn)F是線段AC的中點(diǎn)，所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2.所以拋物線的方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，所以A(3,2eq\r(,3))．又F(1,0)，所以kAF＝eq\f(2\r(,3),3－1)＝eq\r(,3)，所以直線AF的方程為y＝eq\r(,3)(x－1)，將此方程與拋物線方程y2＝4x聯(lián)立后消去y并整理，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq\f(10,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3).故選C．(2)由題意，拋物線y2＝4x，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)．根據(jù)拋物線的定義，可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋2.又由x1,3，x2三個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝6＋2＝8.答案：(1)C(2)B題型拋物線的切線典例2(1)已知直線y＝(a＋1)x－1與曲線y2＝ax恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值eq\a\vs4\al(易錯(cuò)點(diǎn)1：不要漏掉a＝0的情況.)eq\a\vs4\al(易錯(cuò)點(diǎn)2：當(dāng)a≠0時(shí)，注意不要漏掉直線與軸平行的情況.)為____________．(2)(2024·黑龍江哈師大附中期末)已知拋物線G：x2＝4y，過點(diǎn)P(2eq\r(,3)，2)向拋物線G作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則|AF|·|BF|＝________.設(shè)切線方程，由聯(lián)立方程后Δ＝0得斜率k1，k2，進(jìn)而得切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．解析：(1)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝a＋1x－1，,y2＝ax.))①當(dāng)a＝0時(shí)，此方程組恰有一組解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0.))即y2＝ax不是拋物線時(shí)．②當(dāng)a≠0時(shí)，消去x，得eq\f(a＋1,a)y2－y－1＝0.即y2＝ax是拋物線時(shí)．a(chǎn)．若a＝－1，方程組恰有一組解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))直線與軸平行．b．若a≠－1，令Δ＝0，得1＋eq\f(4a＋1,a)＝0，解得a直線與曲線相切時(shí)．＝－eq\f(4,5)，這時(shí)直線與曲線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上所述，a＝0或a＝－1或a＝－eq\f(4,5).故答案為0或－1或－eq\f(4,5).(2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，由題意可知切線的斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，可得切線方程為y－2＝k(x－2eq\r(3))，即y＝k(x－2eq\r(3))＋2，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2\r(3)＋2，,x2＝4y，))消去y并整理得eq\f(1,4)x2－kx＋2eq\r(3)k－2＝0①，由Δ＝(－k)2－4×eq\f(1,4)(2eq\r(3)k－2)＝0，解得k1＝eq\r(3)－1，k2＝eq\r(3)＋1，此時(shí)將k1＝eq\r(3)－1代入①中，可得xA＝2eq\r(3)－2，同理得xB＝2eq\r(3)＋2，所以yA＝4－2eq\r(3)，yB＝4＋2eq\r(3).又由拋物線的定義，可得|AF|·|BF|＝(yA＋1)(yB＋1)＝y(tǒng)AyB＋(yA＋yB)＋1利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離．＝(4－2eq\r(3))(4＋2eq\r(3))＋4－2eq\r(3)＋4＋2eq\r(3)＋1＝13.故答案為13.1．直線與圓錐曲線相切時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)，但只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)未必相切，這主要體現(xiàn)在拋物線和雙曲線的情況．2．在討論時(shí)應(yīng)注意要全面，不要忽略二次項(xiàng)的系數(shù)為零的情況.對(duì)點(diǎn)練2(1)(2024·河北衡水一中月考)已知拋物線y＝eq\f(1,4)x2與圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)有公共點(diǎn)P，若拋物線在P點(diǎn)處的切線與圓C也相切，則r＝________.(2)(2024·河北滄衡八校聯(lián)盟)過點(diǎn)P(－1，－2)的兩條直線與拋物線C：x2＝4y分別相切于A，B兩點(diǎn)，則三角形PAB的面積為________．解析：(1)設(shè)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,4)x\o\al(2,0)))，由y＝eq\f(1,4)x2，求導(dǎo)得y′＝eq\f(1,2)x，∴拋物線在P點(diǎn)處的切線的斜率k＝eq\f(1,2)x0.∵圓(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)的圓心的坐標(biāo)為C(1,2)，∴kPC＝eq\f(\f(1,4)x\o\al(2,0)－2,x0－1).由題意，得kPC·k＝eq\f(\f(1,4)x\o\al(2,0)－2,x0－1)·eq\f(1,2)x0＝－1，解得x0＝2.∴P(2,1)，∴r＝|PC|＝eq\r(2).(2)拋物線C：x2＝4y，即y＝eq\f(1,4)x2，故y′＝eq\f(1,2)x，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有eq\f(1,2)x1＝eq\f(y1＋2,x1＋1)，又xeq\o\al(2,1)＝4y1，整理得x1＋2y1＝4，同理得x2＋2y2＝4.故直線AB的方程為x＋2y＝4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,x2＝4y，))得x2＋2x－8＝0，Δ>0，故x1＋x2＝－2，x1x2＝－8，|AB|＝eq\r(,1＋\f(1,4))×eq\r(,－22－4×－8)＝3eq\r(,5).又點(diǎn)P到直線AB的距離為eq\f(|－1－4－4|,\r(,5))＝eq\f(9,\r(,5))，故三角形PAB的面積為eq\f(1,2)×3eq\r(,5)×eq\f(9,\r(,5))＝eq\f(27,2).答案：(1)eq\r(2)(2)eq\f(27,2)題型直線與拋物線的綜合問題典例3(2022·全國甲卷，理)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p,0)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|＝3.可知xM＝p，即|MF|＝p＋eq\f(p,2).(1)求C的方程；(2)設(shè)直線MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β.當(dāng)α－β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．解：(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，當(dāng)MD與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)|MF|＝p＋eq\f(p,2)＝3，所以p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.(2)設(shè)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,3),4)，y3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,4),4)，y4))，直線MN：x＝my＋1，由于MN斜率不為0，則設(shè)為倒斜截式．當(dāng)m＝0時(shí)，易得α＝β＝90°，α－β＝0°；當(dāng)m≠0時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))可得y2－4my－4＝0，Δ＞0，y1y2＝－4，由斜率公式可得kMN＝eq\f(y1－y2,\f(y\o\al(2,1),4)－\f(y\o\al(2,2),4))＝eq\f(4,y1＋y2)，kAB＝eq\f(y3－y4,\f(y\o\al(2,3),4)－\f(y\o\al(2,4),4))＝eq\f(4,y3＋y4)，直線MD：x＝eq\f(\f(y\o\al(2,1),4)－2,y1)·y＋2，代入拋物線方程可得y2－eq\f(y\o\al(2,1)－8,y1)·y－8＝0，Δ＞0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1，所以kAB＝eq\f(4,y3＋y4)＝eq\f(4,2y1＋y2)＝eq\f(kMN,2)，又因?yàn)橹本€MN，AB的傾斜角分別為α，β，所以kAB＝tanβ＝eq\f(kMN,2)＝eq\f(tanα,2)，找到tanα與tanβ的關(guān)系，進(jìn)而表示出tan(α－β)，再研究最大值．若要使α－β最大，則β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，設(shè)kMN＝2kAB＝2k＞0，則tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(k,1＋2k2)＝eq\f(1,\f(1,k)＋2k)≤eq\f(1,2\r(\f(1,k)·2k))＝eq\f(\r(2),4)，顯然利用基本不等式求最值．當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,k)＝2k，即k＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，等號(hào)成立，一定要驗(yàn)證等號(hào)能否取到．所以當(dāng)α－β取得最大值時(shí)，kAB＝eq\f(\r(2),2)，設(shè)直線AB：x＝eq\r(2)y＋n，代入拋物線方程可得y2－4eq\r(2)y－4n＝0，Δ＞0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，所以直線AB的方程為x－eq\r(2)y－4＝0.1．研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．注意適用條件：2個(gè)交點(diǎn)．2．有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦點(diǎn)在x軸正半軸)，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長公式.對(duì)點(diǎn)練3(1)設(shè)F是拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為1的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若△OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為3eq\r(,2)，則p＝()A．eq\r(,2) B．eq\r(,6)C