湖南省岳陽市岳陽縣第一中學2024-2025學年高一上學期12月月考數(shù)學試題含答案

湖南省岳陽市岳陽縣第一中學2024-2025學年高一上學期12月月考數(shù)學試題2024年高一上學期數(shù)學月考試卷一、單選題（每題5分，共40分）1.集合或，，若（R為實數(shù)集），則a的取值范圍是（）A. B. C. D.2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為（）A. B. C.8 D.64.若函數(shù)，則值為（）A.1 B. C. D.5.生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)椋镓S富度指數(shù)由提高到，則（）A. B.C. D.6.已知，則（）A.1 B. C.2 D.37.荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學習是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把看作是每天的“進步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“進步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過參考數(shù)據(jù)：，（）天．A.200天 B.210天 C.220天 D.230天8.已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（共20分）9.下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個函數(shù)的是（）A. B. C. D.10.以下說法正確的有（）A.設，則B.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱C.若是偶函數(shù)，則D.函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一段連續(xù)曲線，如果，則函數(shù)在上沒有零點11.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若，則（）A.4為的一個周期 B.的圖象關于直線對稱C. D.12.已知x，y均為正實數(shù)，且，則下列結論正確是（）A. B. C. D.三、填空題（共20分）13.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則常數(shù)a的取值范圍為_________．14.已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______．15.已知命題：“”為真命題，則取值范圍是______．16.已知函數(shù)，對任意的，恒成立，則的取值范圍為______．四、解答題（共70分）17.計算下列各值：（1）；（2）.18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)值域為，求a的取值范圍；（2）是否存在，使在上單調(diào)遞增，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．19.已知.（1）求的值；（2）求的值.20.第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬奧會于2022年2月4日開幕.冬奧會吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難求”，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元.每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本h（x）萬元，當產(chǎn)量小于或等于50萬盒時；當產(chǎn)量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤=銷售總價-成本總價，銷售總價=銷售單價×銷售量，成本總價=固定成本+生產(chǎn)中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y（萬元）關于產(chǎn)量x（萬盒）函數(shù)關系式；（2）當產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大，最大利潤為多少萬元.21.設矩形的周長為，其中.如圖所示，為邊上一動點，把四邊形沿折疊，使得與交于點.設，.（1）若，將表示成的函數(shù)，并求定義域；（2）在（1）條件下，判斷并證明的單調(diào)性；（3）求面積的最大值.22.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；（3）解關于的不等式.2024年高一上學期數(shù)學月考試卷一、單選題（每題5分，共40分）1.集合或，，若（R為實數(shù)集），則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】表示出N中不等式的解集，確定出N，根據(jù)N與M的補集不為空集，找出a的范圍即可，進而求解結論．【詳解】解：∵全集R，或，，，∴，結合數(shù)軸可知，當時，，故（R為實數(shù)集）時，a的取值范圍為，故選：C．2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可.【詳解】充分性：因為，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，即，即，所以，所以必要性成立，所以“”是“”的充要條件.故選：.3.已知為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為（）A. B. C.8 D.6【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代換法，利用基本不等式求得最小值．【詳解】根據(jù)題意，當且僅當，即時，等號成立．故選：C4.若函數(shù)，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用的解析式，從內(nèi)而外依次求解函數(shù)值即可得解.【詳解】因為，所以，則.故選：C.5.生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)椋镓S富度指數(shù)由提高到，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得，消去即可求解.【詳解】由題意得，則，即，所以.故選：D.6.已知，則（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】由題設得，化弦為切求目標式的值.【詳解】由題設，又.故選：D7.荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學習是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把看作是每天的“進步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“進步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過參考數(shù)據(jù)：，（）天．A.200天 B.210天 C.220天 D.230天【答案】D【解析】【分析】由題設得方程，根據(jù)指對數(shù)關系、對數(shù)運算性質(zhì)求值即可.【詳解】設經(jīng)過x天“進步”的值是“退步”的值的100倍，則，即，．故選：D．8.已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得，分，，三種情況討論即可.【詳解】因為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當時，，函數(shù)最大值，所以，舍去；當時，，符合題意；當時，，則或，解得或，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)對勾函數(shù)可得，通過對解析式中絕對值符號的處理，進行分類討論，分，，三種情況逐一分析.二、多選題（共20分）9.下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)兩函數(shù)定義域相同且解析式一致即為相等函數(shù)，一一判斷即可.【詳解】解：的定義域為．對于A，的定義域為，與的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B，定義域為，與定義域相同，對應關系相同，是同一函數(shù)；對于C，的定義域為，與定義域不同，不是同一函數(shù)；對于D，，與的對應關系不同，不是同一函數(shù)．故選：ACD．10.以下說法正確的有（）A.設，則B.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱C.若是偶函數(shù)，則D.函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一段連續(xù)曲線，如果，則函數(shù)在上沒有零點【答案】AC【解析】【分析】由對數(shù)、指數(shù)的運算可判斷A，由函數(shù)圖象平移可判斷B，由偶函數(shù)的定義可判斷C，通過反例可判斷D.詳解】A，由，可得：，則，所以，A正確；B，函數(shù)和的圖象關于直線對稱，函數(shù)的圖象可由的圖象左移1個單位得到，函數(shù)圖象可由的圖象右移2個單位得到，所以函數(shù)和的圖象關于直線對稱，B錯誤；C，的定義域是，由于是偶函數(shù)，所以，即，所以，解得，經(jīng)驗證符合題意，C正確；D，函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一段連續(xù)曲線，如果，則函數(shù)在上可能有零點，例如在，故D錯誤.故選：AC.11.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若，則（）A.4為的一個周期 B.的圖象關于直線對稱C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)對選項AB進行驗證，根據(jù)函數(shù)周期結合函數(shù)奇偶性對選項CD進行驗證，即可得出答案.【詳解】對于A：函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，則的一個周期為4，故A正確；對于B：，則函數(shù)關于對稱，故B正確；對于C：的一個周期為4，，令中的，則，函數(shù)為定義在上奇函數(shù)，，，故C正確；對于D：的一個周期為4，，函數(shù)為奇函數(shù)，，，故D錯誤；故選：ABC.12.已知x，y均為正實數(shù)，且，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由基本不等式判斷各選項．【詳解】A選項：，所以，當且僅當，即，時取等號，故A錯誤；B選項：，由A知，則，故B正確；C選項：，當且僅當，即，時取等號，故C正確；D選項：由，得，即，當且僅當，即，時取等號，故D錯誤.故選：BC．三、填空題（共20分）13.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則常數(shù)a的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性再結合零點存在定理求解.【詳解】因為在上均為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，故若在區(qū)間上存在零點，則解得．故常數(shù)a的取值范圍為．故答案為：14.已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件得到，且在上大于等于0恒成立，即可得到答案.【詳解】因為函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，且在上大于等于0恒成立.所以.故答案為：15.已知命題：“”為真命題，則的取值范圍是______．【答案】（]【解析】【分析】先討論成立，然后討論時，利用二次函數(shù)的圖像求解即可.【詳解】因為命題“”為真命題，當時，成立，當時，則，解得，故的取值范圍是，故答案為：16.已知函數(shù)，對任意的，恒成立，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，可得，然后構造新函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得結果．【詳解】，定義域為，則，可知函數(shù)為奇函數(shù)，又均為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，由，得，即，則，即，由題意可知，對任意的，恒成立，令，所以，解得，所以的取值范圍為．故答案為：．四、解答題（共70分）17.計算下列各值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運算求解即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結合換底公式運算求解即可.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的值域為，求a的取值范圍；（2）是否存在，使在上單調(diào)遞增，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意可得函數(shù)的值域包含，進而結合求解即可；（2）由題意可得函數(shù)在遞減，且對于恒成立，進而列出不等式組求解即可.【小問1詳解】由函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域包含，則，解得或，即a的取值范圍為.【小問2詳解】不存在，理由如下：由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在遞減，且對于恒成立，所以，無解，所以不存在，使在上單調(diào)遞增.19.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，根據(jù)兩角和正切公式運算求解；（2）根據(jù)誘導公式結合齊次式問題運算求解.【小問1詳解】∵，則，∴【小問2詳解】由（1）可得：，故.20.第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬奧會于2022年2月4日開幕.冬奧會吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩難求”，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元.每生產(chǎn)x萬盒，需投入成本h（x）萬元，當產(chǎn)量小于或等于50萬盒時；當產(chǎn)量大于50萬盒時，若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤=銷售總價-成本總價，銷售總價=銷售單價×銷售量，成本總價=固定成本+生產(chǎn)中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y（萬元）關于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關系式；（2）當產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大，最大利潤為多少萬元.【答案】（1）；（2）產(chǎn)量為70萬盒，最大利潤為1200萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)產(chǎn)量的范圍，分段列出函數(shù)關系式，即得答案.（2）求出每段函數(shù)的最大值，再比較大小即可作答.【小問1詳解】依題意，當時，，當時，，所以銷售利潤y（萬元）關于產(chǎn)量x（萬盒）的函數(shù)關系式為：.【小問2詳解】當時，單調(diào)遞增，，當且僅當時取等號；當時，，當且僅當時取等號，而，因此當時，，所以當產(chǎn)量為70萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大，最大利潤為1200萬元.21.設矩形周長為，其中.如圖所示，為邊上一動點，把四邊形沿折疊，使得與交于點.設，.（1）若，將表示成的函數(shù)，并求定義域；（2）在（1）條件下，判斷并證明的單調(diào)性；（3）求面積的最大值.【答案】（1），（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）通過幾何關系確定，利用R的三邊關系建立，