（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+鞏固訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)01 基本不等式（教師版）

第頁專題01基本不等式知識(shí)講解基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)通常表達(dá)為：（積定和最小）應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論1（和定積最大）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)基本不等式的推論2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)其他結(jié)論①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．③已知a，b，x，y為正實(shí)數(shù)，若ax＋by＝1，則有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，則有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.注意1．使用基本不等式求最值時(shí)，“一正”“二定”“三相等”三個(gè)條件缺一不可．注意2．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立”的含義是“a＝b”是等號(hào)成立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽略它往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．注意3．連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號(hào)成立的條件一致．考點(diǎn)一、直接用基本不等式求最值【例1】已知實(shí)數(shù)，則的最小值為___________.【答案】【分析】運(yùn)用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：.【變式1】的最小值為______.【答案】9【分析】利用基本不等式解出最小值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.故答案為：9考點(diǎn)二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值【例2】若，，，則的最小值為______．【答案】8【分析】由已知條件變形，然后利用基本不等式求解.【詳解】若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為8.故答案為：8.【變式2】已知，且，則的最小值為______．【答案】2【分析】根據(jù)基本不等式湊項(xiàng)法和“1”的巧用即可求得最值.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.【變式3】若，且，則的最小值為（

）A．9B．3C．1D．【答案】C【分析】由基本不等式得，進(jìn)而結(jié)合已知條件得的最小值為.【詳解】解：因?yàn)椋裕驗(yàn)樗?，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最小值為.故選：C考點(diǎn)三、變形為分式的“分母”形式求最值【例3】已知，則的最小值為（

）A．8B．9C．10D．11【答案】B【分析】運(yùn)用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故選：B【變式4】已知，則的最小值是（

）A．6B．8C．10D．12【答案】D【分析】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為.故選：D【變式5】已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________.【答案】【分析】運(yùn)用基本式中的“1”的活用，即可得出結(jié)果.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故答案為：.考點(diǎn)四、兩次應(yīng)用基本不等式求最值【例4】已知實(shí)數(shù)，滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A．1B．C．2D．【答案】D【分析】?jī)纱螒?yīng)用基本不等式，根據(jù)兩次不等式等號(hào)成立的條件列方程求解即可.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；所以當(dāng)且時(shí)，取得最小值4，此時(shí)解得，故選：D.【變式6】若，，則的最小值為___________.【答案】8【分析】，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：8考點(diǎn)五、條件等式變形求最值【例5】若x，y滿足，則（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．【變式7】已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD【變式8】已知a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)同時(shí)成立.故答案為：.考點(diǎn)六、構(gòu)造法或換元法求最值【例6】已知，，，，則的最小值為（

）A．B．2C．6D．【答案】D【分析】基本不等式乘1法，構(gòu)造法解決即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，（應(yīng)用基本不等式時(shí)注意等號(hào)成立的條件）所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為，故選：D【變式9】已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的小值為______．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法可得出，與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè)，可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，則的小值為.故答案為：9.【變式10】若，，則的最大值為____________．【答案】【分析】由，再利用基本不等式即可得解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為.故答案為：.考點(diǎn)七、利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系【例7】已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由不等式的性質(zhì)判斷A、B，根據(jù)基本不等式可判斷C、D.【詳解】因?yàn)榍?，所以或，?duì)A：若，則，若，則，A錯(cuò)誤；對(duì)B：∵，，∴，B錯(cuò)誤；對(duì)C：由或，知且，∴，C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，有，從而當(dāng)，則且，∴，D錯(cuò)誤.故選：C【變式11】已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】，即，即.對(duì)于A，成立.對(duì)于B，，成立.對(duì)于C，，即.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，成立.故選：C.考點(diǎn)八、基本不等式多選題綜合【例8】已知為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A將兩邊平方即可；對(duì)于B舉反例即可；對(duì)于C作差通分即可；對(duì)于D用基本不等式即可.【詳解】由可知，所以A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，不成立，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由0得，所以，所以，C項(xiàng)正確；1)，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，D項(xiàng)正確．故選：ACD．【變式12】已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式可得A,B,D正誤，利用1的妙用可得C的正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.【基礎(chǔ)過關(guān)】1.若正實(shí)數(shù)，滿足．則的最小值為（

）A．12B．25C．27D．36【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為27．故選：C2.已知，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】用表示后，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.故選：D3.已知正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；當(dāng)時(shí)可得必要性不成立，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令滿足，此時(shí)；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D二、多選題4．若，則下列不等式對(duì)一切滿足條件恒成立的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；對(duì)于C，利用，求出，結(jié)合的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.【詳解】對(duì)于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A正確；對(duì)于B，，，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以，則，并且時(shí)等號(hào)成立.，所以C正確；對(duì)于D，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以D正確.故選：ACD.三、填空題5.設(shè)，，若，則取最小值時(shí)a的值為______．【答案】【分析】根據(jù)題意可得、，結(jié)合基本不等式中“1”的用法計(jì)算即可求解.【詳解】由，，得，由，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)，時(shí)取得最小值16.故答案為：.【能力提升】6.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．2B．4C．8D．9【答案】C【分析】化簡(jiǎn)已知式可得，因?yàn)?，由基本不等式求解即?【詳解】，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等.故選：C.7.若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．2B．1C．D．【答案】A【分析】先利用條件得到，再利用均值不等式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，又a，b，c均為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，故選：A.二、多選題8.已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】利用基本不等式可得，可判斷A，C選項(xiàng),特殊值法判斷B，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故A正確，當(dāng),,則,故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C正確;當(dāng)時(shí),則，故D錯(cuò)誤；故選：AC.9.已知且，則（

）A．的最大值為B．的最大值為2C．的最小值為6D．的最小值為4【答案】BC【分析】利用基本不等式可判斷AB；先將化為，再妙用“1”可判斷C；取特值可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；由得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；令，則，所以的最小值不是4，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題10.已知正數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】18【分析】對(duì)等式進(jìn)行變形，再根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，又，是正數(shù)，所以，當(dāng)取得等號(hào)，即且時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故答案為：.11.設(shè)，則的最小值為______.【答案】6【分析】對(duì)式子進(jìn)行變形，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即取等號(hào)，所以的最小值為6.故答案為：612.若，則的值可以是__________．【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）【分析】由基本不等式“1”的代換求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則.故答案為：5（答案不唯一，只要不小于即可）13.已知，且，則的最小值為___________.【答案】【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（多選）已知，則下列不等式正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】作差法比較A、B、D的大小，利用基本不等式判斷C即可.【詳解】，則，A對(duì)；，而，所以，即，B錯(cuò)；且，僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，而，故，C對(duì)；，而，所以，即，D對(duì).故選：ACD2.已知，，且，則（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A利用基本不等式可判斷；對(duì)于B利用不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于C可用特殊值法判斷；對(duì)于D直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可．【詳解】，，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故A正確；，，且，，故B正確；則，故D正確；取，則，故C錯(cuò)誤.故選：ABD．3.已知為非零實(shí)數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù)，，，均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，則的最大值為．故選：B．4.若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C5.若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】先利用條件得到，再利用均值不等式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，又a，b，c均為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，故選：A.6．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為_____________.【答案】【分析】利用重要不等式，轉(zhuǎn)化為不等式，求的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故答案為：7.設(shè)且，則的最小值為_________．【答案】【分析】由已知條件可知，且，再展開，并利用基本不等式求其最小值.【詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得最小值．故答案為：.8.已知，若的最小值大于7，寫出滿足條件的一個(gè)a的值：__________．【答案】4（答案不唯一，只要即可）.【分析】根據(jù)基本不等式求出的最小值，得到不等式，得到，寫出一個(gè)符合要求的a的值即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，由，得．故答案為：4（答案不唯一，只要即可）.9.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，再利用均值不等式即可求解.【詳解】由，得，令，則在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：隨堂檢測(cè)1．若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以.所以,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，取得的最小值為.故選：A.2.已知，，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．9【答案】C【分析】根據(jù)“乘1法”，運(yùn)用基本不等式即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故選：C.3．（多選）已知，則下列不等式成立的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】利用作差法與基本不等式，分別判斷各不等式.【詳解】A選項(xiàng)：由選項(xiàng)可知與同號(hào)，當(dāng)且時(shí)，由基本不等式可知恒成立，當(dāng)且時(shí)，，時(shí)，該不等式不成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，則恒成立