（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+鞏固訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)06 正余弦定理與解三角形（教師版）

第頁第06講正余弦定理與解三角形知識(shí)講解1.正弦定理（1）基本公式：（其中為外接圓的半徑）（2）變形2.三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，3.余弦定理（1）邊的余弦定理，，（2）角的余弦定理，，4.三角形的面積公式考點(diǎn)一、正弦定理邊角互化與解三角形【例1】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.【變式1】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，且，則A．B．C．D．【答案】A【詳解】邊換角后約去sinB，得sin(A＋C)＝，所以sinB＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.【變式2】在中，角的對(duì)邊分別是，且，求角【答案】【分析】由正弦定理結(jié)合三角恒等變換計(jì)算即可；【詳解】在中，由正弦定理得：，而，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，，即，所以，又因?yàn)?，所以，?考點(diǎn)二、利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)【例2】根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，下列結(jié)論中正確的是（

）（1），，，有一個(gè)解.（2），，，有兩個(gè)解（3），，，無解（4），，，有一解A．（1）（2）B．（2）（4）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（4）【答案】D【分析】由條件利用正弦定理求得角的正弦值，再根據(jù)大邊對(duì)大角可得三角形解得個(gè)數(shù)，從而得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于（1）：，，，由正弦定理得，解得，有唯一解，故（1）正確；對(duì)于（2）：，，，由正弦定理得，解得，再由大邊對(duì)大角可得C>B,故C可以是銳角也可以是鈍角，故三角形有2解，故（2）正確。對(duì)于（3）：，，，則由正弦定理得，解得，再由大邊對(duì)大角，可得C為銳角，故三角形有唯一解，故（3）不正確，對(duì)于（4）：，，，由正弦定理得，解得，再由B為銳角，可得三角形有唯一解，故（4）正確，故選：D.【變式3】設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：由正弦定理，即，所以，因?yàn)椴晃ㄒ?，即有兩解，所以且，即，所以，所以，即；故選：A【變式4】中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由正弦定理結(jié)合已知，可推得.進(jìn)而根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)推得，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，.要使有兩解，即有兩解，則應(yīng)有，且，所以，所以.故選：B．考點(diǎn)三、余弦定理求值【例3】在中，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.【變式5】在中，已知，，，則（

）A．1B．C．D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【變式6】記銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．求【答案】【分析】利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，又，所?考點(diǎn)四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀【例4】在已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，則是（

）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【答案】C【分析】由余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理可得，則為鈍角，即是鈍角三角形.故選：C【變式7】設(shè)中角，，所對(duì)的邊分別為，，；若，，；則為（

）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．以上都有可能【答案】A【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由余弦定理可得,故為銳角，由于，因此均為銳角，故為銳角三角形，故選：A【變式8】在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理或三角恒等變換，記得判斷的形狀.【詳解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理為，即，得，或,所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：D考點(diǎn)五、三角形面積的應(yīng)用【例5】在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.【變式9】記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．【變式10】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.考點(diǎn)六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問題【例6】已知在中，其角、、所對(duì)邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑【答案】(1)1；(2)1【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定義可求得的外接圓半徑；（2）由余弦定理和三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以外接圓半徑．所以.（2）因?yàn)?，由題可知，所以，又因?yàn)椋傻?，因?yàn)椋傻拿娣e，得．【變式11】在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系可得，應(yīng)用余弦定理即可求，進(jìn)而確定其大??；（2）由正弦定理有，，根據(jù)余弦定理有，結(jié)合（1）及，應(yīng)用三角恒等變換有，由三角形內(nèi)角性質(zhì)、正弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)椋烧疫吔顷P(guān)系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，則.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面積法可得，則，∵，∴，故，則，所以，故.考點(diǎn)七、雙正弦及雙余弦模型【例7】在中，為中點(diǎn)，．(1)若，求的面積；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）在中，先利用余弦定理求出角，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；（2）在中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出及，再利用正弦定理求解即可.【詳解】（1）在中，，由余弦定理可知，因?yàn)?，所以，所?（2）在中，設(shè),則由正弦定理，即，得，所以，，所以，所以，由正弦定理得：，即．【變式13】在中，點(diǎn)D在BC上，滿足AD＝BC，．(1)求證：AB，AD，AC成等比數(shù)列；(2)若，求．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由正弦定理得，再由，得到，即得證；（2）記A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，由（1）得，設(shè)，在△ABD與△ACD中，分別使用余弦定理，解方程組可求出或，依題意排除，利用余弦定理即可求出.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：①，由已知得：②，由①②聯(lián)立得：，因?yàn)?，所以．故AB，AD，AC成等比數(shù)列；（2）在△ABC中，記A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，故，由（1）知：③，在△ABD中，設(shè)，由已知得，由余弦定理得：，即④，在△ACD中，設(shè)，由已知得，由余弦定理得：，⑤，由⑤＋④×2整理得：⑥，由③⑥聯(lián)立整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，由可求得，所以故舍去，當(dāng)時(shí)，由可求得，滿足，在△ABC中，由余弦定理得綜上：【變式14】如圖，在中，角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求角；(2)若為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求.【答案】(1)；(2)【分析】(1)運(yùn)用正弦定理以及誘導(dǎo)公式求解；(2)根據(jù)條件運(yùn)用正弦定理求解.【詳解】（1）由條件及正弦定理可得：，即故，則有，又，故有，或（舍去），或（舍去），則，又，所以；（2）設(shè)，在和中，由正弦定理可得于是，又，則，，；綜上，，.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若，則為（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知條件和正弦定理得，再由角的范圍得滿足的關(guān)系.【詳解】由，得，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以或，所以?即是等腰或直角三角形.故選：D.2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4B．6C．D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理化邊為角有，再利用兩角和與差的正弦公式有，再利用正弦定理進(jìn)行化角為邊有.【詳解】因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，移項(xiàng)得，即，即，則根據(jù)正弦定理有．故選：D.3．在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件利用正弦定理把邊化角，然后可得，再根據(jù)角都是銳角即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以由正弦定理得，即，因?yàn)?，，所以，所以，即，因?yàn)?，即，解?故選：A.4．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A．B．C．D．1【答案】A【分析】對(duì)于，利用正弦定理角化邊可得，繼而化簡(jiǎn)可得，代入“三斜求積”公式即得答案.【詳解】由得，由得，故，A.5．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A．B．C．8D．4【答案】D【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.【詳解】在中，由可得，即所以，因?yàn)?，所以，且，所以，又，可得，由正弦定理可得．故選：D.6.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則外接圓的面積為.【答案】【分析】首先利用正弦定理，邊化角，再結(jié)合三角恒等變換，以及余弦定理，求得和角，即可求得三角形外接圓的半徑和面積.【詳解】由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，可?因?yàn)椋?，得，解?，化簡(jiǎn)得，由正弦定理?余弦定理，得，化簡(jiǎn)得，由正弦定理可得，得，因此外接圓的面積為.故答案為：7.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求A的大??；(2)若，，求BC邊上高的長(zhǎng).【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角變換可得答案；（2）利用余弦定理求出邊，根據(jù)面積相等可得答案.【詳解】（1）∵，∴，∴，即.又∵，，∴，.（2）設(shè)BC邊上的高為h，∵，即，解得，∴，解得，即BC邊上的高為.【能力提升】一、單選題1．中，三邊之比，則（

）A．B．4C．D．【答案】C【分析】首先由結(jié)合余弦定理得出，然后根據(jù)二倍角公式和正弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋环猎O(shè)，則，由正弦定理可得.故選：C.2．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的值可為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合條件可得，然后利用正弦定理可得，再通過換元法，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而即得.【詳解】由題知，則，即，因?yàn)?，所以，則，所以，則，為鈍角，為銳角，，因?yàn)?，則，則，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，則，故選：D.3.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知的面積S滿足，則角A的值為．【答案】【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式化簡(jiǎn)已知條件，得求解可得角A的值.【詳解】由已知得，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，得，化簡(jiǎn)為，由于，所以，化簡(jiǎn)得，

即，解得，或（舍），由于，所以.故答案為：4.在中，角所對(duì)的邊分別是，已知．(1)求角；(2)若，且的面積為，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，利用邊化角的思想，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，可得答案；（2）根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理，可得答案.【詳解】（1）由已知可得，即，由正弦定理可得，即，即，因?yàn)椋约矗驗(yàn)?，所以．?）由已知得，又，所以，故，解得．5.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求；(2)證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)，由誘導(dǎo)公式逆推可得，再由，可得，再代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）可得，再通過二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，換元后構(gòu)造新函數(shù)，求解導(dǎo)函數(shù)從而判斷函數(shù)單調(diào)性，從而可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的平方關(guān)系與商式關(guān)系，判斷三角函數(shù)的范圍，由正弦定理邊角互化即可證明.【詳解】（1）由，得，由題意可知，存在，所以，即，所以，所以.（2）由，得，故，令，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，進(jìn)而，，可得，所以.而，故.所以.課后訓(xùn)練1.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對(duì)于A：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有一解；對(duì)于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對(duì)于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對(duì)于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.2.在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由余弦定理即可求解.【詳解】由得，所以，由于,故選：A3.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．等腰或直角三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及正弦定理邊角互化可得，由余弦二倍角公式以及和差角公式可得，即可判斷三角形形狀.【詳解】由得,由正弦定理得,由于,所以，所以,由于為三角形的內(nèi)角，所以,又得,進(jìn)而可得,而為三角形內(nèi)角，故，進(jìn)而，故三角形為等邊三角形，故選：B4.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足.(1)求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)2；(2)12【分析】（1）將通分，結(jié)合兩角和的正切公式即可求解；（2）由（1）切化弦可求出，由兩角和與差的余弦公式得，進(jìn)而求得，再根據(jù)正弦定理結(jié)合三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）由可得，，因?yàn)?，所以可得，解?（2）由（1）知，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，又，所以，由正弦定理可得，，所以，所以，所以的面積.5.已知的角對(duì)邊分別為，滿足，.(1)求；(2)求外接圓的半徑.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化以及和差角公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合三角函數(shù)同角關(guān)系即可求解，（2）由余弦定理代入已知關(guān)系即可得，由正弦定理即可求解.【詳解】（1）由以及正弦定理可得：，，，，，而.（2），整理得，.由正弦定理可得.隨堂檢測(cè)1.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：，可得，即由故.故選：A.2.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，c＝3．且該三角形有兩解，則a的值可以為（

）A．2B．4C．6D．8【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理可求出，再依據(jù)該三角形有兩解可知，，即得角A的取值范圍，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可求出的取值范圍，從而得解．【詳解】由正弦定理得，且，所以，即．因?yàn)樵撊切斡袃蓚€(gè)解，當(dāng)時(shí)只有一解，所以．故選：B.3.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．