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吉林省白山市2025屆高考數(shù)學倒計時模擬卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.2.天干地支,簡稱為干支,源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復,60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率為()A. B. C. D.3.已知,則“m⊥n”是“m⊥l”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知實數(shù),滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值為A. B.C. D.5.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖像上,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.設(shè)正項等差數(shù)列的前項和為,且滿足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.367.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.8.已知集合A,則集合()A. B. C. D.9.已知復數(shù)z,則復數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i10.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點成中心對稱,且與點相鄰的一個最低點為,則對于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;②點是函數(shù)的一個對稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③11.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項為()(注:)A.1624 B.1024 C.1198 D.156012.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為11,則圖中的判斷條件可以為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)全集,,,則______.14.四面體中,底面,,,則四面體的外接球的表面積為______15.已知雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上,則實數(shù)的值為___________.16.的展開式中,的系數(shù)是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若對任意成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.19.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別是,滿足條件.(1)求角;(2)若邊上的高為,求的長.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時,解關(guān)于的不等式;(2)若對任意,都存在,使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知橢圓的左、右頂點分別為、,上、下頂點分別為,,為其右焦點,,且該橢圓的離心率為;(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)過點作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點,交直線于點,直線與橢圓的另一個交點為,直線與直線交于點.若,求取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)當時,解不等式;(2)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項;當時,,可排除D選項;當時,,當時,,即,可排除C選項,故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對稱性的應用,屬于中檔題.2、B【解析】
利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計算即可出求得概率.【詳解】20個年份中天干相同的有10組(每組2個),地支相同的年份有8組(每組2個),從這20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數(shù)的計算,考查學生分析問題的能力,難度較易.3、B【解析】
構(gòu)造長方體ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α為面ADD1A1,底面ABCD為β,然后再在這兩個面中根據(jù)題意恰當?shù)倪x取直線為m,n即可進行判斷.【詳解】如圖,取長方體ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α為面ADD1A1,底面ABCD為β,直線=直線。若令AD1=m,AB=n,則m⊥n,但m不垂直于若m⊥,由平面平面可知,直線m垂直于平面β,所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題考點有兩個:①考查了充分必要條件的判斷,在確定好大前提的條件下,從m⊥n?m⊥?和m⊥?m⊥n?兩方面進行判斷;②是空間的垂直關(guān)系,一般利用長方體為載體進行分析.4、B【解析】
作出不等式組對應的平面區(qū)域,目標函數(shù)的幾何意義為動點到定點的斜率,利用數(shù)形結(jié)合即可得到的最小值.【詳解】解:作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:目標函數(shù)的幾何意義為動點到定點的斜率,當位于時,此時的斜率最小,此時.故選B.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及兩點之間的斜率公式的計算,利用z的幾何意義,通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.5、A【解析】
可將問題轉(zhuǎn)化,求直線關(guān)于直線的對稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點,進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為,當時,,,當時,,則當時,,單減,當時,,單增;當時,,,當,,當時,單減,當時,單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像,如圖:當與()相切時,得,解得;當與()相切時,滿足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題,導數(shù)研究函數(shù)增減性,找準臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題6、B【解析】
方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當且僅當時等號成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項和公式及,化簡可得,即,則,當且僅當,即時等號成立,從而的最小值為16,故選B.7、C【解析】
先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗證求解.【詳解】因為,所以是奇函數(shù),故排除A,B,又,故選:C【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
化簡集合,,按交集定義,即可求解.【詳解】集合,,則.故選:A.【點睛】本題考查集合間的運算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復數(shù)z的虛部為.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】分析:根據(jù)最低點,判斷A=3,根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T,再代入最低點可求得解析式為,依次判斷各選項的正確與否.詳解:因為為對稱中心,且最低點為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯誤,②正確,③當時,,所以與有6個交點,設(shè)各個交點坐標依次為,則,所以③正確所以選C點睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.11、B【解析】
根據(jù)高階等差數(shù)列的定義,求得等差數(shù)列的通項公式和前項和,利用累加法求得數(shù)列的通項公式,進而求得.【詳解】依題意:1,4,8,14,23,36,54,……兩兩作差得:3,4,6,9,13,18,……兩兩作差得:1,2,3,4,5,……設(shè)該數(shù)列為,令,設(shè)的前項和為,又令,設(shè)的前項和為.易,,進而得,所以,則,所以,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用,考查累加法求數(shù)列的通項公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.12、B【解析】
根據(jù)程序框圖知當時,循環(huán)終止,此時,即可得答案.【詳解】,.運行第一次,,不成立,運行第二次,,不成立,運行第三次,,不成立,運行第四次,,不成立,運行第五次,,成立,輸出i的值為11,結(jié)束.故選:B.【點睛】本題考查補充程序框圖判斷框的條件,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出集合,,然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由題意畫出圖形,補形為長方體,求其對角線長,可得四面體外接球的半徑,則表面積可求.【詳解】解:如圖,在四面體中,底面,,,可得,補形為長方體,則過一個頂點的三條棱長分別為1,1,,則長方體的對角線長為,則三棱錐的外接球的半徑為1.其表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,補形是關(guān)鍵,屬于中檔題.15、【解析】
求出雙曲線的漸近線方程,右準線方程,得到交點坐標代入拋物線方程求解即可.【詳解】解:雙曲線的右準線,漸近線,雙曲線的右準線與漸近線的交點,交點在拋物線上,可得:,解得.故答案為.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及拋物線的簡單性質(zhì)的應用,是基本知識的考查,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先將原式展開成,發(fā)現(xiàn)中不含,故只研究后面一項即可得解.【詳解】,依題意,只需求中的系數(shù),是.故答案為:-40【點睛】本題考查二項式定理性質(zhì),關(guān)鍵是先展開再利用排列組合思想解決,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)把代入,利用零點分段討論法求解;(2)對任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解:(1)當時,不等式可化為.討論:①當時,,所以,所以;②當時,,所以,所以;③當時,,所以,所以.綜上,當時,不等式的解集為.(2)因為,所以.又因為,對任意成立,所以,所以或.故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法及恒成立問題,恒成立問題一般是轉(zhuǎn)化為最值問題求解,側(cè)重考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).18、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)先根據(jù)絕對值不等式求得的最大值,從而得到,再利用基本不等式進行證明;(2)利用基本不等式變形得,兩邊開平方得到新的不等式,利用同理可得另外兩個不等式,再進行不等式相加,即可得答案.【詳解】(1)∵,∴.∵,,,∴,∴,∴.(2)∵,,即兩邊開平方得.同理可得,.三式相加,得.【點睛】本題考查絕對值不等式、應用基本不等式證明不等式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和推理論證能力.19、(1).(2)【解析】
(1)利用正弦定理的邊角互化可得,再根據(jù),利用兩角和的正弦公式即可求解.(2)已知,由知,在中,解出即可.【詳解】(1)由正弦定理知由己知,而∴,(2)已知,則由知先求∴∴∴【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質(zhì)、兩角和的正弦公式,需熟記定理與公式,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2).【解析】
(1)分類討論去絕對值號,然后解不等式即可.(2)因為對任意,都存在,使得不等式成立,等價于,根據(jù)絕對值不等式易求,根據(jù)二次函數(shù)易求,然后解不等式即可.【詳解】解:(1)當時,,則當時,由得,,解得;當時,恒成立;當時,由得,,解得.所以的解集為(2)對任意,都存在,得成立,等價于.因為,所以,且|,①當時,①式等號成立,即.又因為,②當時,②式等號成立,即.所以,即即的取值范圍為:.【點睛】知識:考查含兩個絕對值號的不等式的解法;恒成立問題和存在性問題求參變數(shù)的范圍問題;能力:分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力;中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】
(Ⅰ)由題意可得,的坐標,結(jié)合橢圓離心率,及隱含條件列式求得,的值,則橢圓方程可求;(Ⅱ)設(shè)直線,求得的坐標,再設(shè)直線,求出點的坐標,寫出的方程,聯(lián)立與,可求出的坐標,由,可得關(guān)于的函數(shù)式,由單調(diào)性可得取值范圍.【詳解】(Ⅰ),,,,,由,得,又,,解得:,,.橢圓的標準方程為;(Ⅱ)設(shè)直線,則與直線的交點,又,設(shè)直線,聯(lián)立,消可得.解得,,聯(lián)立,得,,直線,聯(lián)立,解得,,,,,,,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,.【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應用,
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