2023-2024學年廣東省廣州市番禺區(qū)高二上學期期末教學質量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市番禺區(qū)2023-2024學年高二上學期期末教學質量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：.故選：B.2.設則（）A.1 B.3 C. D.【答案】C【解析】由題設，.故選：C3.在下列條件中，一定能使空間中的四點共面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，中，，A不是；對于B，中，，B不是；對于C，化為，，C不是；對于D，中，，D是.故選：D4.已知直線經過點，且它的一個方向向量為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的一個方向向量為，則直線的斜率為2，而直線過點，所以直線的方程為，即.故選：C5.番禺圖書館新館是一個集知識、信息、文化為一體的綜合性閱讀場所.有段時間內，若甲同學前往圖書館新館的概率為0.5，乙前往圖書館新館的概率0.8，且甲、乙兩人各自行動，則在此段時間內，甲、乙兩人至少有一人前往番禺圖書館新館的概率是（）A.0.9 B.0.8 C.0.5 D.0.4【答案】A【解析】依題意，甲、乙兩人都沒前往番禺圖書館新館的概率，所以甲、乙兩人至少有一人前往番禺圖書館新館的概率是.故選：A6.設點為雙曲線的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于兩點（均異于點）．若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】如下圖所示：連接、，設，由對稱性可知，為的中點，，因為，則線段是以為直徑的圓的一條直徑，則為圓心，故為的中點，又因為，且、互相垂直且平分，所以，四邊形為正方形，則，所以，，所以，該雙曲線的離心率為.故選：A.7.如圖，在棱長為1的正方體中，點在上，點在上，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則可設，其中，，其中，根據(jù)圖中可知直線和直線為異面直線，若能取到兩異面直線間的距離，則此時距離最小，根據(jù)異面直線公垂線的定義知，，，，，，則，則，，解得，滿足范圍，則此時，則.故選：C.8.蜜蜂是母系社會生物，蜂后產的卵若能受精則孵化為雌蜂，若不能受精則孵化為雄蜂，即雄蜂是“有母無父”，雌蜂是“有父有母”的，下圖是某只雄峰的家系圖，規(guī)定：其“父母”為上溯第1代祖輩，其“祖父母”為上溯第2代祖輩，以此類推.記表示該雄蜂上溯第代祖輩數(shù)量，例如.那么，下列結論中正確的是（）A. B.C D.【答案】B【解析】由題意得，當時，，A選項，，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，，C錯誤；D選項，，故，D錯誤.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在等差數(shù)列中，已知，，是其前項和，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】在等差數(shù)列中，由，，得公差，A正確；，B正確；，C錯誤；由，得，因此，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)（），則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關于軸對稱B.函數(shù)的最小正周期為C.點為函數(shù)圖象的一個對稱中心D.函數(shù)的最大值為1【答案】BD【解析】由題意可得：，對于選項A：因為不為最值，所以函數(shù)的圖象不關于軸對稱，故A錯誤；對于選項B：函數(shù)的最小正周期為，故B正確；對于選項C：因為，所以點不為函數(shù)圖象的一個對稱中心，故C錯誤；對于選項D：當，即時，函數(shù)取到最大值為1，故D正確；故選：BD.11.已知為坐標原點，點，動點滿足，是直線上的點，下列結論正確的是（

）A.點的軌跡是圓 B.的最大值為 C.的最小值為 D.【答案】ACD【解析】設，則，即，所以點軌跡是圓，此圓圓心為，半徑為．是圓的一條直徑．點到直線的距離為，直線與圓相離，無最大值，最小值為，由于已知直線與以為直徑的圓相離，，因此ACD正確．故選：ACD12.過拋物線：的焦點作直線交拋物線于A，兩點，則（）A.以線段為直徑的圓與軸相切 B.的最小值為4C.當時，直線的斜率為 D.【答案】BC【解析】由題意可知：拋物線：的焦點，準線為，且直線的斜率可以不存在，但不為0，設直線，，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，可得，，對于選項A：因為線段的中點為，即，則到準線的距離，所以以線段為直徑的圓與準線相切，故A錯誤；對于選項B：因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為4，故B正確；對于選項C：因為，且，則，即，聯(lián)立，解得，代入可得，解得，所以直線的斜率為，故C正確；對于選項D：因為，所以，故D錯誤；故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小顧5分，共20分.13.等比數(shù)列中，，，則___________【答案】16【解析】由題意，等比數(shù)列中，若，，根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得，即，解得.故答案為：14.已知圓：，過點作圓的切線，切點為，則______.【答案】【解析】點到圓心的距離為，則切線長為.故答案為：.15.在棱長為2的正四面體中，是的中點，則______.【答案】2【解析】在棱長為2的正四面體中，，所以.故答案為：216.用一個平面將圓柱切割成如圖的兩部分.然后將下半部分幾何體的側面展開.若該平面與圓柱側面所形成的交線在側面展開圖中對應的函數(shù)表達式為，，則該平面與圓柱底面所形成的二面角的正弦值是______.【答案】【解析】由在一個周期上圖象如圖，其最大值與最小值相差，即截面的最高處與最低處的高度差為，底面周長為，即底面半徑為1，故直徑為2，所以平面與圓柱底面所形成的二面角的正弦值是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角的對邊分別為，已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的面積.解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，顯然，即，于是，所以.（2）在中，，，，由余弦定理，得，所以的面積.18.某大型連鎖超市為了解客戶去年在該超市消費情況，隨機抽取了100位客戶進行調查.經統(tǒng)計，這100位客戶去年到該超市消費金額（單位：萬元）均在區(qū)間內，按，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求該頻率分布直方圖中的值，并估計這100位客戶去年到該超市消費金額的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作為代表）（2）為了解顧客需求，該超市從消費金額在區(qū)間和內的客戶中，采用分層抽樣的方法抽取5人進行電話訪談，再從訪談的5人中隨機抽取2人作為“幸運客戶”，求“幸運客戶”中恰有1人來自區(qū)間的概率.解：（1）由題可知，即，所以.由頻率分布直方圖可得，因此，這100位客戶去年到該超市消費金額的平均數(shù)為萬元.（2）記“幸運客戶中恰有1人來自區(qū)間”為事件.因為區(qū)間與頻率之比為，采用分層抽樣的方法抽取5人進行電話訪談，故從分組區(qū)間中抽取2人，分別記為，從分組區(qū)間中抽取3人，分別記為，從這5個人中隨機選擇2人作為“幸運客戶”，樣本點表示“選出”（余類推），則樣本空間為.所以.答：幸運客戶中恰有1人來自區(qū)間的概率為.19.已知數(shù)列是一個首項為3，公比為（）的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和，求數(shù)列的前項和.解：（1）因，，成等差數(shù)列，則，即，可得，解得或，又因為，則，所以數(shù)列的通項公式為.（2）若數(shù)列的前項和，則有：當時，可得；當時，可得；且滿足，所以.結合（1）可得，則，所以.20.如圖，在直三棱柱中，是上的一點，且平面.（1）求證：；（2）若，，為的中點，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）在直三棱柱中，平面，平面，則，由平面，且平面，得，又平面，，于是平面，又平面，所以.（2）由（1）知平面，平面，則，顯然直線兩兩垂直，以B為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，由，，得，則，，設平面的一個法向量，則，令，得，顯然平面，則平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，因此，所以平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知兩個定點，，動點滿足直線與直線的斜率之積為定值（）.（1）求動點的軌跡方程，并說明隨變化時，方程所表示的曲線的形狀；（2）若，設不經過原點的直線與曲線相交于，兩點，直線，，的斜率分別為，，（其中），若，，恰好構成等比數(shù)列，求的值．解：（1）設動點，依題意有，整理，得，∴動點M的軌跡方程為：,時，軌跡是焦點在x軸上的雙曲線，時，軌跡是焦點在x軸上的橢圓，時，軌跡是圓，時，軌跡是焦點在y軸上的橢圓，且點不在曲線上．（2）由題意可知，斜率一定存在且不為零，設直線方程為，，聯(lián)立，得，，，因為，，恰好構成等比數(shù)列，所以，即代入韋達定理，化簡可得，因為，所以.22.已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的定義域；（2）當時，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（3）給定實數(shù)且，試判斷是否存在直線，使得函數(shù)的圖象關于直線對稱？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，請說明理由.解：（1）當時，，要使函數(shù)有意義，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域為；（2）當時，，函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：，又函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)為偶函數(shù)；（3）假設存在直線，使得函數(shù)的圖像關于直線對稱，則，所以，即，即，所以，即，所以，所以，即，因為且，所以，故存在，使得函數(shù)的圖像關于直線對稱.

廣東省廣州市番禺區(qū)2023-2024學年高二上學期期末教學質量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：.故選：B.2.設則（）A.1 B.3 C. D.【答案】C【解析】由題設，.故選：C3.在下列條件中，一定能使空間中的四點共面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，中，，A不是；對于B，中，，B不是；對于C，化為，，C不是；對于D，中，，D是.故選：D4.已知直線經過點，且它的一個方向向量為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的一個方向向量為，則直線的斜率為2，而直線過點，所以直線的方程為，即.故選：C5.番禺圖書館新館是一個集知識、信息、文化為一體的綜合性閱讀場所.有段時間內，若甲同學前往圖書館新館的概率為0.5，乙前往圖書館新館的概率0.8，且甲、乙兩人各自行動，則在此段時間內，甲、乙兩人至少有一人前往番禺圖書館新館的概率是（）A.0.9 B.0.8 C.0.5 D.0.4【答案】A【解析】依題意，甲、乙兩人都沒前往番禺圖書館新館的概率，所以甲、乙兩人至少有一人前往番禺圖書館新館的概率是.故選：A6.設點為雙曲線的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于兩點（均異于點）．若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】如下圖所示：連接、，設，由對稱性可知，為的中點，，因為，則線段是以為直徑的圓的一條直徑，則為圓心，故為的中點，又因為，且、互相垂直且平分，所以，四邊形為正方形，則，所以，，所以，該雙曲線的離心率為.故選：A.7.如圖，在棱長為1的正方體中，點在上，點在上，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則可設，其中，，其中，根據(jù)圖中可知直線和直線為異面直線，若能取到兩異面直線間的距離，則此時距離最小，根據(jù)異面直線公垂線的定義知，，，，，，則，則，，解得，滿足范圍，則此時，則.故選：C.8.蜜蜂是母系社會生物，蜂后產的卵若能受精則孵化為雌蜂，若不能受精則孵化為雄蜂，即雄蜂是“有母無父”，雌蜂是“有父有母”的，下圖是某只雄峰的家系圖，規(guī)定：其“父母”為上溯第1代祖輩，其“祖父母”為上溯第2代祖輩，以此類推.記表示該雄蜂上溯第代祖輩數(shù)量，例如.那么，下列結論中正確的是（）A. B.C D.【答案】B【解析】由題意得，當時，，A選項，，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，，C錯誤；D選項，，故，D錯誤.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在等差數(shù)列中，已知，，是其前項和，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】在等差數(shù)列中，由，，得公差，A正確；，B正確；，C錯誤；由，得，因此，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)（），則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關于軸對稱B.函數(shù)的最小正周期為C.點為函數(shù)圖象的一個對稱中心D.函數(shù)的最大值為1【答案】BD【解析】由題意可得：，對于選項A：因為不為最值，所以函數(shù)的圖象不關于軸對稱，故A錯誤；對于選項B：函數(shù)的最小正周期為，故B正確；對于選項C：因為，所以點不為函數(shù)圖象的一個對稱中心，故C錯誤；對于選項D：當，即時，函數(shù)取到最大值為1，故D正確；故選：BD.11.已知為坐標原點，點，動點滿足，是直線上的點，下列結論正確的是（

）A.點的軌跡是圓 B.的最大值為 C.的最小值為 D.【答案】ACD【解析】設，則，即，所以點軌跡是圓，此圓圓心為，半徑為．是圓的一條直徑．點到直線的距離為，直線與圓相離，無最大值，最小值為，由于已知直線與以為直徑的圓相離，，因此ACD正確．故選：ACD12.過拋物線：的焦點作直線交拋物線于A，兩點，則（）A.以線段為直徑的圓與軸相切 B.的最小值為4C.當時，直線的斜率為 D.【答案】BC【解析】由題意可知：拋物線：的焦點，準線為，且直線的斜率可以不存在，但不為0，設直線，，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，可得，，對于選項A：因為線段的中點為，即，則到準線的距離，所以以線段為直徑的圓與準線相切，故A錯誤；對于選項B：因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為4，故B正確；對于選項C：因為，且，則，即，聯(lián)立，解得，代入可得，解得，所以直線的斜率為，故C正確；對于選項D：因為，所以，故D錯誤；故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小顧5分，共20分.13.等比數(shù)列中，，，則___________【答案】16【解析】由題意，等比數(shù)列中，若，，根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得，即，解得.故答案為：14.已知圓：，過點作圓的切線，切點為，則______.【答案】【解析】點到圓心的距離為，則切線長為.故答案為：.15.在棱長為2的正四面體中，是的中點，則______.【答案】2【解析】在棱長為2的正四面體中，，所以.故答案為：216.用一個平面將圓柱切割成如圖的兩部分.然后將下半部分幾何體的側面展開.若該平面與圓柱側面所形成的交線在側面展開圖中對應的函數(shù)表達式為，，則該平面與圓柱底面所形成的二面角的正弦值是______.【答案】【解析】由在一個周期上圖象如圖，其最大值與最小值相差，即截面的最高處與最低處的高度差為，底面周長為，即底面半徑為1，故直徑為2，所以平面與圓柱底面所形成的二面角的正弦值是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角的對邊分別為，已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的面積.解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，顯然，即，于是，所以.（2）在中，，，，由余弦定理，得，所以的面積.18.某大型連鎖超市為了解客戶去年在該超市消費情況，隨機抽取了100位客戶進行調查.經統(tǒng)計，這100位客戶去年到該超市消費金額（單位：萬元）均在區(qū)間內，按，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求該頻率分布直方圖中的值，并估計這100位客戶去年到該超市消費金額的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作為代表）（2）為了解顧客需求，該超市從消費金額在區(qū)間和內的客戶中，采用分層抽樣的方法抽取5人進行電話訪談，再從訪談的5人中隨機抽取2人作為“幸運客戶”，求“幸運客戶”中恰有1人來自區(qū)間的概率.解：（1）由題可知，即，所以.由頻率分布直方圖可得，因此，這100位客戶去年到該超市消費金額的平均數(shù)為萬元.（2）記“幸運客戶中恰有1人來自區(qū)間”為事件.因為區(qū)間與頻率之比為，采用分層抽樣的方法抽取5人進行電話訪談，故從分組區(qū)間中抽取2人，分別記為，從分組區(qū)間中抽取3人，分別記為，從這5個人中隨機選擇2人作為“幸運客戶”，樣本點表示“選出”（余類推），則樣本空間為.所以.答：幸運客戶中恰有1人來自區(qū)間的概率為.19.已知數(shù)列是一個首項為3，公比為（）的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和，求數(shù)列的前項和.解：（1）因，，成等差數(shù)列，則，即，可得，解得或，又因為，則，所以數(shù)列的通項公式為.（2）