2023-2024學年江蘇省淮安市高一上學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省淮安市2023-2024學年高一上學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，，所以.故選：B.2.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)有意義，則滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.3.若角的終邊經(jīng)過點（），則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由角的終邊經(jīng)過點，可得，可得，而的符號不確定.故選：A.4.關(guān)于x的不等式的解集是，那么（）A.1 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】因為關(guān)于x的不等式的解集是，所以方程的解為，則，所以，所以.故選：B.5.設且，“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)在上是減函數(shù)，則解得，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則，因為集合真包含于集合，所以“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)，即可知函數(shù)的定義域為R，即為偶函數(shù)，排除A、C，又由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可以，即，排除B.故選：D.7.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】C【解析】由函數(shù)，，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象.故選：C.8.已知函數(shù)有且僅有3個零點，則正數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于，易知，且拋物線開口向下，則必有一個負根，所以有且只有兩個零點，易知，則.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列化簡或者運算正確是（）A. B.（）C.（） D.【答案】ABD【解析】由對數(shù)運算法則可知，，即A、D正確；由指數(shù)運算法則可知，，即B正確，C錯誤.故選：ABD.10.用“五點法”作函數(shù)（，，）在一個周期內(nèi)的圖象時，列表計算了部分數(shù)據(jù)，下列有關(guān)函數(shù)描述正確的是（）0xabc131d1A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)與表示同一函數(shù)【答案】ACD【解析】根據(jù)表格可知，且，則，由正弦函數(shù)的周期性可知的最小正周期為，故A正確；由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性可知：，顯然此時取得最小值，所以的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性可知：，此時取得最大值，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；由誘導公式可知，故D正確.故選：ACD.11.定義在D上的函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)，對任意，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，下列函數(shù)中，是在其定義域上的有界函數(shù)的有（）A.B.C.D.（表示不大于x的最大整數(shù)）【答案】AD【解析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)值域為，是有界函數(shù)，A選項正確；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)值域為，不是有界函數(shù)，B選項錯誤；，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)值域為，不是有界函數(shù)，C選項錯誤；函數(shù)的值域為，是有界函數(shù)，D選項正確.故選：AD.12.已知函數(shù)滿足：，，都有成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)周期函數(shù)D.，，若，則【答案】ACD【解析】令，則，故A正確；令，所以，故是奇函數(shù)，即B錯誤；令，則，所以，即是的一個周期，故C正確；在時易知，則，所以，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知扇形的周長為6cm，圓心角為2rad，則該扇形的面積是___________．【答案】【解析】設扇形的半徑為，則，解得，所以該扇形的面積為.14.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，則正整數(shù)的值為___________．【答案】【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以的零點所在的區(qū)間為，所以正整數(shù)的值為.15.若函數(shù)是奇函數(shù)，則___________．【答案】【解析】由，可得，即，且，即，又因為奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以，所以，故，定義域為，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以，經(jīng)檢驗，符合題意，所以，，所以.16.已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是___________．【答案】8【解析】正數(shù)x，y滿足，設，則，故，，當且僅當，即時，等號成立，即，解得或（舍去），故最小值為8.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)取值范圍．解：（1）因為是的充分條件，所以，所以，解得.（2）因為，所以，當時，符合題意，則，解得，當時，則，解得，綜上所述，.18.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由于，且，故，且，則.（2）由于，因為，故，則，所以.19.已知函數(shù).（1）解關(guān)于x的不等式：；（2）若（），求的最小值．解：（1）由題意可知，即.（2）因為，所以，不妨設，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，則，所以，則，當且僅當時取得等號.20.已知是定義在R上的函數(shù)，滿足：，，且當時，．（1）求的值；（2）當時，求的表達式；（3）若函數(shù)在區(qū)間（）上的值域為，求的值．解：（1）因為，，所以，故是奇函數(shù)，且為其一個周期，且關(guān)于軸對稱，所以.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可令，則，所以.（3）由（1）（2）可知，由二次函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，且，所以，則，若，則，此時，若，則，此時，若，則，此時.故的值為或或.21.如圖1“Omniverse雕塑”將數(shù)學和物理動力學完美融合，遵循周而復始，成就無限，局部可以抽象成如圖2，點P以為起始點，在以O為圓心，半徑為2（單位：10米），按順時針旋轉(zhuǎn)且轉(zhuǎn)速為rad/s（相對于O點轉(zhuǎn)軸的速度）的圓周上，點O到地面的距離為a，且（單位：10米），點Q在以P為圓心，半徑為1（單位：10米）的圓周上，且在旋轉(zhuǎn)過程中，點Q恒在點P的正上方，設轉(zhuǎn)動時間為t秒，建立如圖3平面直角坐標系．（1）求經(jīng)過t秒后，點P到地面的距離PH；（2）若時，圓周上存在4個不同點P，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）由題意及三角函數(shù)的定義可知，所以（單位：10米）.（2）根據(jù)題意可知，即，則，因為，所以，即，令，因為，所以，則，上式可化為，設，因為時，圓周上存在4個不同點P，使得成立，則在上有兩個相異實數(shù)根，即，解之得.22.已知函數(shù)，．（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當時，對任意，關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當，時，若點，均為函數(shù)與函數(shù)圖象的公共點，且，求證：．解：（1）由函數(shù)，可得的圖象開口向上，且對稱軸為，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍.（2）當時，可得，，因為任意，關(guān)于x的不等式恒成立，即在恒成立，即在恒成立，當時，的最大值為，所以，所以實數(shù)a的取值范圍.（3）由，可得，可得，因為點，均為函數(shù)與圖象的公共點，且，可得，，兩式相減得，因為，所以，可得，令，則，整理得，解得，所以.江蘇省淮安市2023-2024學年高一上學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，，所以.故選：B.2.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)有意義，則滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.3.若角的終邊經(jīng)過點（），則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由角的終邊經(jīng)過點，可得，可得，而的符號不確定.故選：A.4.關(guān)于x的不等式的解集是，那么（）A.1 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】因為關(guān)于x的不等式的解集是，所以方程的解為，則，所以，所以.故選：B.5.設且，“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)在上是減函數(shù)，則解得，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則，因為集合真包含于集合，所以“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)，即可知函數(shù)的定義域為R，即為偶函數(shù)，排除A、C，又由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可以，即，排除B.故選：D.7.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】C【解析】由函數(shù)，，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象.故選：C.8.已知函數(shù)有且僅有3個零點，則正數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于，易知，且拋物線開口向下，則必有一個負根，所以有且只有兩個零點，易知，則.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列化簡或者運算正確是（）A. B.（）C.（） D.【答案】ABD【解析】由對數(shù)運算法則可知，，即A、D正確；由指數(shù)運算法則可知，，即B正確，C錯誤.故選：ABD.10.用“五點法”作函數(shù)（，，）在一個周期內(nèi)的圖象時，列表計算了部分數(shù)據(jù)，下列有關(guān)函數(shù)描述正確的是（）0xabc131d1A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)與表示同一函數(shù)【答案】ACD【解析】根據(jù)表格可知，且，則，由正弦函數(shù)的周期性可知的最小正周期為，故A正確；由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性可知：，顯然此時取得最小值，所以的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；由已知結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性可知：，此時取得最大值，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；由誘導公式可知，故D正確.故選：ACD.11.定義在D上的函數(shù)，如果滿足：存在常數(shù)，對任意，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，下列函數(shù)中，是在其定義域上的有界函數(shù)的有（）A.B.C.D.（表示不大于x的最大整數(shù)）【答案】AD【解析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)值域為，是有界函數(shù)，A選項正確；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)值域為，不是有界函數(shù)，B選項錯誤；，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)值域為，不是有界函數(shù)，C選項錯誤；函數(shù)的值域為，是有界函數(shù)，D選項正確.故選：AD.12.已知函數(shù)滿足：，，都有成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)周期函數(shù)D.，，若，則【答案】ACD【解析】令，則，故A正確；令，所以，故是奇函數(shù)，即B錯誤；令，則，所以，即是的一個周期，故C正確；在時易知，則，所以，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知扇形的周長為6cm，圓心角為2rad，則該扇形的面積是___________．【答案】【解析】設扇形的半徑為，則，解得，所以該扇形的面積為.14.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，則正整數(shù)的值為___________．【答案】【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以的零點所在的區(qū)間為，所以正整數(shù)的值為.15.若函數(shù)是奇函數(shù)，則___________．【答案】【解析】由，可得，即，且，即，又因為奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以，所以，故，定義域為，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以，經(jīng)檢驗，符合題意，所以，，所以.16.已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是___________．【答案】8【解析】正數(shù)x，y滿足，設，則，故，，當且僅當，即時，等號成立，即，解得或（舍去），故最小值為8.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)取值范圍．解：（1）因為是的充分條件，所以，所以，解得.（2）因為，所以，當時，符合題意，則，解得，當時，則，解得，綜上所述，.18.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由于，且，故，且，則.（2）由于，因為，故，則，所以.19.已知函數(shù).（1）解關(guān)于x的不等式：；（2）若（），求的最小值．解：（1）由題意可知，即.（2）因為，所以，不妨設，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，則，所以，則，當且僅當時取得等號.20.已知是定義在R上的函數(shù)，滿足：，，且當時，．（1）求的值；（2）當時，求的表達式；（3）若函數(shù)在區(qū)間（）上的值域為，求的值．解：（1）因為，，所以，故是奇函數(shù)，且為其一個周期，且關(guān)于軸對稱，所以.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可令，則，所以.（3）由（1）（2）可知，由二次函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，且，所以，則，若，則，此時，若，則，此時，若，則，此時.故的值為或或.21.如