2024屆新疆昌吉州第二中學(xué)高三二模沖刺(六)數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2023屆新疆昌吉州第二中學(xué)高三二模沖刺(六)數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知定義在上的函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.是正四面體的面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),為棱中點(diǎn),記與平面成角為定值,若點(diǎn)的軌跡為一段拋物線,則()A. B. C. D.3.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.4.集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.7個(gè)5.已知數(shù)列中,,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.6.單位正方體ABCD-,黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(iN*).設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處,這時(shí)黑、白兩螞蟻的距離是()A.1 B. C. D.07.已知i是虛數(shù)單位,則1+iiA.-12+32i8.框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段,實(shí)際生活中的一些問(wèn)題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后,可以制作框圖,編寫程序,得到解決,例如,為了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差,設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,其中輸入,,,,,,,則圖中空白框中應(yīng)填入()A., B. C., D.,9.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.10.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),則,,的大小關(guān)系是()A. B.C. D.11.有一改形塔幾何體由若千個(gè)正方體構(gòu)成,構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是()A.8 B.7 C.6 D.412.已知平面向量滿足與的夾角為,且,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__.14.如圖是一個(gè)算法偽代碼,則輸出的的值為_(kāi)______________.15.己知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,直線是雙曲線過(guò)第一、三象限的漸近線,記直線的傾斜角為,直線,,垂足為,若在雙曲線上,則雙曲線的離心率為_(kāi)______16.已知兩動(dòng)點(diǎn)在橢圓上,動(dòng)點(diǎn)在直線上,若恒為銳角,則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)數(shù)列滿足,是與的等差中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,為過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的拋物線的弦,已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值及該圓的方程;(2)設(shè)為上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的切線,切點(diǎn)為,證明:.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.20.(12分)某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對(duì)該市工薪階層對(duì)“樓市限購(gòu)令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們?cè)率杖腩l數(shù)分布表和對(duì)“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如下表:月收入(單位:百元)頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購(gòu)令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購(gòu)令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來(lái)自哪組的可能性最大?請(qǐng)直接寫出你的判斷結(jié)果.21.(12分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.22.(10分)某景點(diǎn)上山共有級(jí)臺(tái)階,寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久.甲上臺(tái)階時(shí),可以一步走一個(gè)臺(tái)階,也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階,若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為,每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為.為了簡(jiǎn)便描述問(wèn)題,我們約定,甲從級(jí)臺(tái)階開(kāi)始向上走,一步走一個(gè)臺(tái)階記分,一步走兩個(gè)臺(tái)階記分,記甲登上第個(gè)臺(tái)階的概率為,其中,且.(1)若甲走步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(3)求甲在登山過(guò)程中,恰好登上第級(jí)臺(tái)階的概率.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到,比較三個(gè)數(shù)的大小,然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí),,函數(shù)在時(shí),是增函數(shù).因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù),所以有,因?yàn)?,函?shù)在時(shí),是增函數(shù),所以,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問(wèn)題,判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.2.B【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)的坐標(biāo),求出面的法向量,設(shè)的坐標(biāo),求出向量,求出線面所成角的正弦值,再由角的范圍,結(jié)合為定值,得出為定值,且的軌跡為一段拋物線,所以求出坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而求出正切值.【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為,設(shè)為的中點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸,以為軸,過(guò)垂直于面的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則可得,,取的三等分點(diǎn)、如圖,則,,,,所以、、、、,由題意設(shè),,和都是等邊三角形,為的中點(diǎn),,,,平面,為平面的一個(gè)法向量,因?yàn)榕c平面所成角為定值,則,由題意可得,因?yàn)榈能壽E為一段拋物線且為定值,則也為定值,,可得,此時(shí),則,.故選:B.【點(diǎn)睛】考查線面所成的角的求法,及正切值為定值時(shí)的情況,屬于中等題.3.B【解析】

易得,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.4.B【解析】

由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個(gè)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合,再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.5.B【解析】

先根據(jù)題意,對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對(duì)于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用,屬于綜合性較強(qiáng)的題目,解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù),屬于難題.6.B【解析】

根據(jù)規(guī)則,觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過(guò)幾段后又回到起點(diǎn),得到每爬1步回到起點(diǎn),周期為1.計(jì)算黑螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn),即可計(jì)算出它們的距離.【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過(guò)1段后又回到起點(diǎn),可以看作以1為周期,由,白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn);同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑螞蟻爬完2020段后回到D1點(diǎn),所以它們此時(shí)的距離為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題,考查空間想象與推理能力,屬于中等題.7.D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果【詳解】1+i故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題。8.A【解析】

依題意問(wèn)題是,然后按直到型驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計(jì)算7個(gè)數(shù)的方差,即輸出的,觀察程序框圖可知,應(yīng)填入,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】

推導(dǎo)出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個(gè)“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.10.D【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?,?又,故.因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),所以.因?yàn)闉榕己瘮?shù),故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用,比較大小時(shí)注意選擇合適的中間數(shù)來(lái)傳遞不等關(guān)系,本題屬于中檔題.11.A【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為:,從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為:,從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為:,以此類推,能求出改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1時(shí)該塔形中正方體的個(gè)數(shù)的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長(zhǎng)為8,則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為:,從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為:,從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為:,從下往上第五層正方體的棱長(zhǎng)為:,從下往上第六層正方體的棱長(zhǎng)為:,從下往上第七層正方體的棱長(zhǎng)為:,從下往上第八層正方體的棱長(zhǎng)為:,∴改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1,那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是8.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】

由已知可得,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律,建立方程,求解即可.【詳解】依題意得由,得即,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量垂直的應(yīng)用,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由題意,根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】由題意,可知當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.又因?yàn)椴粷M足,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,其中解答中熟記數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系,合理準(zhǔn)確推導(dǎo)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14.5【解析】

執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,即得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得,結(jié)束循環(huán),輸出.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,考查基本分析與運(yùn)算能力,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】

由,則,所以點(diǎn),因?yàn)?,可得,點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)為,代入雙曲線的方程求解.【詳解】設(shè),則,即,解得,則,所以,即,代入雙曲線的方程可得,所以所以解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系,及三角恒等變換,還考查了運(yùn)算求解的能力和數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.16.【解析】

根據(jù)題意可知圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直,恒為銳角,只需直線與圓相離,從而可得,解不等式,再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得,圓上任意一點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線互相垂直,因此當(dāng)直線與圓相離時(shí),恒為銳角,故,解得從而離心率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了邏輯分析能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)見(jiàn)解析,(2)【解析】

(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得,然后構(gòu)造新等比數(shù)列,寫出的通項(xiàng)即可求(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分組求和即可【詳解】解:(1)由已知可得,即,可化為,故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.即有,所以.(2)由(1)知,數(shù)列的通項(xiàng)為:,故.【點(diǎn)睛】考查等差中項(xiàng)的定義和分組求和的方法;中檔題.18.(1),圓的方程為:.(2)答案見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)題意,可知點(diǎn)的坐標(biāo)為,即可求出的值,即可求出該圓的方程;(2)由題易知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,與拋物線聯(lián)立方程組,根據(jù),求得,化簡(jiǎn)解得,進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,分別求出,,利用向量的數(shù)量積為0,即可證出.【詳解】解:(1)易知點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得.又圓的圓心為,所以圓的方程為.(2)證明易知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,代入的方程,得.令,得,所以,解得.將代入的方程,得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以,,.故.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,利用聯(lián)立方程組、求交點(diǎn)坐標(biāo)以及向量的數(shù)量積,考查解題能力和計(jì)算能力.19.(Ⅰ)直線的直角坐標(biāo)方程為;曲線的普通方程為;(Ⅱ).【解析】

(I)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可;(II)將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程,可得,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,知,代入即可解決.【詳解】由可得直線的直角坐標(biāo)方程為由曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù)可得曲線的普通方程為.易知點(diǎn)在直線上,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,并整理得.設(shè)是方程的兩根,則有.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,直線參數(shù)方程的幾何意義,是一道容易題.20.(1),頻率分布直方圖見(jiàn)解析;(2)分布列見(jiàn)解析,;(3)來(lái)自的可能性最大.【解析】

(1)由頻率和為可知,根據(jù)求得,從而計(jì)算得到頻數(shù),補(bǔ)全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖;(2)首先確定的所有可能取值,由超幾何分布概率公式可計(jì)算求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可求得期望;(3)根據(jù)中不贊成比例最大可知來(lái)自的可能性最大.【詳解】(1)由頻率分布表得:,即.收入在的

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