中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題10 幾何壓軸中的證明與猜想題型（原卷版）

專題10幾何壓軸中的證明與猜想題型幾何壓軸中證明與猜想題指有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件、結(jié)論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的特點(diǎn)進(jìn)行分析、探索，從而確定出符合要求的答案(一個(gè)、多個(gè)或所有答案)或探索出解決問(wèn)題的多種方法．該題型對(duì)考查學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年各地中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)．通常這類題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結(jié)論開放和探索，條件與結(jié)論都開放與探索及方案設(shè)計(jì)、命題組合型、問(wèn)題開放型等．考生在復(fù)習(xí)時(shí)，首先對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對(duì)解答這類試題的練習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答．由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特等，此類問(wèn)題的一般解題思路并無(wú)固定模式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：1．利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律．2．反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致．3．分類討論法．當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果．4．類比猜想法．即由一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問(wèn)題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴(yán)密的論證． （2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），且SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求證：SKIPIF1<0；(2)猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖2，連接AC，G是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，垂足為K，交AC于點(diǎn)H且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)．（1）先利用正方表的性質(zhì)求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性質(zhì)求解；（2）延長(zhǎng)CB至M，使SKIPIF1<0，連接AM，先易得SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，最后利用全等三角形的性質(zhì)求解；（3）過(guò)點(diǎn)H作SKIPIF1<0于點(diǎn)N，易得SKIPIF1<0，進(jìn)而求出SKIPIF1<0，再根據(jù)（2）的結(jié)論求解．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0，見解析(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：BE，EF，DF存在的數(shù)量關(guān)系為SKIPIF1<0．理由如下：延長(zhǎng)CB至M，使SKIPIF1<0，連接AM，則SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴∠MAE=∠FAE，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴EM=EF，∵EM=BE+BM，∴SKIPIF1<0；（3）解：過(guò)點(diǎn)H作SKIPIF1<0于點(diǎn)N，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（2）知，SKIPIF1<0．本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出輔助線，構(gòu)建三角形全等是解答關(guān)鍵．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；(2)延長(zhǎng)ED交直線BC于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說(shuō)明理由．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到SKIPIF1<0，再由全等三角形的性質(zhì)求解；（2）①根據(jù)線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來(lái)求解；②過(guò)點(diǎn)A作SKIPIF1<0于點(diǎn)G，連接AF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0，進(jìn)而求出SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，ED＝EC得到SKIPIF1<0，再用等腰直角三角形的性質(zhì)求解．【答案】(1)SKIPIF1<0，理由見解析(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，理由見解析【詳解】（1）解：SKIPIF1<0．證明：∵SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：①SKIPIF1<0理由：∵線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②過(guò)點(diǎn)A作SKIPIF1<0于點(diǎn)G，連接AF，如下圖．∵SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是等邊三角形，點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0．本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上一點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0處，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0邊于SKIPIF1<0點(diǎn)．求證：SKIPIF1<0（2）【類比遷移】如圖②，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0處，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0邊于點(diǎn)SKIPIF1<0延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0邊于點(diǎn)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的三等分點(diǎn)，SKIPIF1<0將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．（1）根據(jù)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0處，四邊形SKIPIF1<0是正方形，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0；（2）延長(zhǎng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即解得SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，有SKIPIF1<0①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0②，可解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（Ⅱ）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長(zhǎng)線于SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長(zhǎng)線于SKIPIF1<0，同理解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】證明：（1）SKIPIF1<0將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0處，四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：延長(zhǎng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，如圖：設(shè)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0；（3）（Ⅰ）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如圖：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，聯(lián)立①②可解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（Ⅱ）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長(zhǎng)線于SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長(zhǎng)線于SKIPIF1<0，如圖：同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．1．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）已知SKIPIF1<0分別是四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0的對(duì)角線，點(diǎn)E在SKIPIF1<0的內(nèi)部，SKIPIF1<0．(1)探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0均為正方形時(shí)，則SKIPIF1<0的度數(shù)為；(2)引申運(yùn)用：如圖2，當(dāng)四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0均為矩形時(shí)，①若SKIPIF1<0，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(3)聯(lián)系拓展：如圖3，當(dāng)四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0均為菱形且SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，試探究a，b，c三者之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（2022·浙江寧波·校考三模）【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖①，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證∶SKIPIF1<0；(2)【嘗試應(yīng)用】如圖②，在平行四邊形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互補(bǔ)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(3)【拓展提高】如圖③，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為其內(nèi)部一點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互補(bǔ)，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．3．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（1）【問(wèn)題情境】如圖SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是正方形，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以SKIPIF1<0為邊在SKIPIF1<0的右側(cè)作正方形SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系是______；（2）【類比探究】如圖SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以SKIPIF1<0為邊在SKIPIF1<0的右側(cè)作矩形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．判斷線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）【拓展提升】如圖3，在（2）的條件下，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______．4．（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃纠斫飧拍睢慷x：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為SKIPIF1<0，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)已知△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，且SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______SKIPIF1<0；【鞏固新知】(2)如圖①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)D在SKIPIF1<0邊上，若SKIPIF1<0是“準(zhǔn)直角三角形”，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；【解決問(wèn)題】(3)如圖②，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是“準(zhǔn)直角三角形”，求SKIPIF1<0的面積．5．（2022·福建福州·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)．(1)如圖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為______．(2)如圖SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、點(diǎn)SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0的最小值．(3)如圖SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)S