第二章-系統(tǒng)工程-運(yùn)籌學(xué)

線(xiàn)性規(guī)劃及數(shù)學(xué)模型

線(xiàn)性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。線(xiàn)性規(guī)劃在理論上比較成熟，在實(shí)用中的應(yīng)用日益廣泛與深入。特別是在電子計(jì)算機(jī)能處理成千上萬(wàn)個(gè)約束條件和決策變量的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題之后，線(xiàn)性規(guī)劃的適用領(lǐng)域更為廣泛了。從解決技術(shù)問(wèn)題的最優(yōu)化設(shè)計(jì)到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通運(yùn)輸業(yè)、軍事、經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理決策等領(lǐng)域都可以發(fā)揮作用。它已是現(xiàn)代科學(xué)管理的重要手段之一。1.1問(wèn)題的提出從一個(gè)簡(jiǎn)化的生產(chǎn)計(jì)劃安排問(wèn)題開(kāi)始例1某工廠(chǎng)在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及A、B兩種原材料的消耗，如表所示。資源

產(chǎn)品ⅠⅡ

擁有量設(shè)備128臺(tái)時(shí)原材料

A

4016kg原材料B0412kg續(xù)例1

該工廠(chǎng)每生產(chǎn)一件產(chǎn)品Ⅰ可獲利2元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品Ⅱ可獲利3元，問(wèn)應(yīng)如何安排計(jì)劃使該工廠(chǎng)獲利最多?如何用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述這問(wèn)題，必須考慮數(shù)學(xué)模型例2.簡(jiǎn)化的環(huán)境保護(hù)問(wèn)題

靠近某河流有兩個(gè)化工廠(chǎng)(見(jiàn)圖1)，流經(jīng)第一化工廠(chǎng)的河流流量為每天500萬(wàn)立方米，在兩個(gè)工廠(chǎng)之間有一條流量為每天200萬(wàn)立方米的支流。

圖1續(xù)例2第一化工廠(chǎng)每天排放含有某種有害物質(zhì)的工業(yè)污水2萬(wàn)立方米，第二化工廠(chǎng)每天排放這種工業(yè)污水1.4萬(wàn)立方米。從第一化工廠(chǎng)排出的工業(yè)污水流到第二化工廠(chǎng)以前，有20%可自然凈化。根據(jù)環(huán)保要求，河流中工業(yè)污水的含量應(yīng)不大于0.2%。這兩個(gè)工廠(chǎng)都需各自處理一部分工業(yè)污水。第一化工廠(chǎng)處理工業(yè)污水的成本是1000元/萬(wàn)立方米，第二化工廠(chǎng)處理工業(yè)污水的成本是800元/萬(wàn)立方米?，F(xiàn)在要問(wèn)在滿(mǎn)足環(huán)保要求的條件下，每廠(chǎng)各應(yīng)處理多少工業(yè)污水，使這兩個(gè)工廠(chǎng)總的處理工業(yè)污水費(fèi)用最小。

建模型之前的分析和計(jì)算

設(shè)：第一化工廠(chǎng)每天處理工業(yè)污水量為x1萬(wàn)立方米，第二化工廠(chǎng)每天處理工業(yè)污水量為x2萬(wàn)立方米

數(shù)學(xué)模型共同的特征每一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題都用一組決策變量

表示某一方案，這組決策變量的值就代表一個(gè)具體方案。一般這些變量取值是非負(fù)且連續(xù)的；(2)要有各種資源和使用有關(guān)資源的技術(shù)數(shù)據(jù)，創(chuàng)造新價(jià)值的數(shù)據(jù)；共同的特征（繼續(xù)）(3)存在可以量化的約束條件，這些約束條件可以用一組線(xiàn)性等式或線(xiàn)性不等式來(lái)表示;(4)要有一個(gè)達(dá)到目標(biāo)的要求，它可用決策變量的線(xiàn)性函數(shù)(稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù))來(lái)表示。按問(wèn)題的不同，要求目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)最大化或最小化。線(xiàn)性規(guī)劃的一般模型形式目標(biāo)函數(shù)約束條件存儲(chǔ)論

存儲(chǔ)論的基本概念確定性存貯模型隨機(jī)性存貯模型

存儲(chǔ)論的基本概念

一存儲(chǔ)問(wèn)題的提出

人們?cè)谏a(chǎn)和日常生活活動(dòng)中往往將所需的物資、用品和食物暫時(shí)地儲(chǔ)存起來(lái)，以備將來(lái)使用或消費(fèi)。這種儲(chǔ)存物品的現(xiàn)象是為了解決供應(yīng)(生產(chǎn))與需求(消費(fèi))之間的不協(xié)調(diào)的一種措施，這種不協(xié)調(diào)性一般表現(xiàn)為供應(yīng)量與需求量和供應(yīng)時(shí)期與需求時(shí)期的不一致性上，出現(xiàn)供不應(yīng)求或供過(guò)于求。人們?cè)诠?yīng)與需求這兩環(huán)節(jié)之間加入儲(chǔ)存這一環(huán)節(jié)，就能起到緩解供應(yīng)與需求之間的不協(xié)調(diào)，以此為研究對(duì)象，利用運(yùn)籌學(xué)的方法去解決最合理、最經(jīng)濟(jì)地儲(chǔ)存問(wèn)題。例如(1)水電站在雨季到來(lái)之前，水庫(kù)應(yīng)蓄水多少?(2)工廠(chǎng)生產(chǎn)需用原料，如沒(méi)有儲(chǔ)存一定數(shù)量的原料，會(huì)發(fā)生停工待料現(xiàn)象。(3)在商店里若存儲(chǔ)商品數(shù)量不足，會(huì)發(fā)生缺貨現(xiàn)象，失去銷(xiāo)售機(jī)會(huì)而減少利潤(rùn)；如果存量過(guò)多，一時(shí)售不出去，會(huì)造成商品積壓，占用流動(dòng)資金過(guò)多而且周轉(zhuǎn)不開(kāi)，這樣也會(huì)給商家造成經(jīng)濟(jì)損失。專(zhuān)門(mén)研究這類(lèi)有關(guān)存儲(chǔ)問(wèn)題的科學(xué)，構(gòu)成運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，叫作存儲(chǔ)論(inventory)，也稱(chēng)庫(kù)存論。本章所介紹的存儲(chǔ)問(wèn)題，模型并不復(fù)雜，原理也容易掌握，應(yīng)用這些原理可以從一個(gè)方面改善企業(yè)的經(jīng)營(yíng)管理，以達(dá)到節(jié)約資金，獲得更多利潤(rùn)的目的。二存儲(chǔ)論的基本概念1.需求對(duì)存儲(chǔ)來(lái)說(shuō)，由于需求，從存儲(chǔ)中取出一定的數(shù)量，使存儲(chǔ)量減少，這就是存儲(chǔ)的輸出。有的需求是間斷式的，有的需求是連續(xù)均勻的。圖1和圖2分別表示t時(shí)間內(nèi)的輸出量皆為

S-W，但兩者的輸出方式不同。圖1表示輸出是間斷的，圖2表示輸出是連續(xù)的。有的需求是確定性的，如鋼廠(chǎng)每月按合同賣(mài)給電機(jī)廠(chǎng)矽鋼片10噸。有的需求是隨機(jī)性的，如書(shū)店每日賣(mài)出去的書(shū)可能是1000本，也可能是800本。但是經(jīng)過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)以后，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)每日售書(shū)數(shù)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，稱(chēng)之為有一定的隨機(jī)分布的需求。圖1，22補(bǔ)充(訂貨或生產(chǎn))存儲(chǔ)由于需求而不斷減少，必須加以補(bǔ)充，否則最終將無(wú)法滿(mǎn)足需求。補(bǔ)充就是存儲(chǔ)的輸入。補(bǔ)充的辦法可能是向其他工廠(chǎng)購(gòu)買(mǎi)，從訂貨到貨物進(jìn)入“存儲(chǔ)”往往需要一段時(shí)間，我們把這段時(shí)間稱(chēng)為備貨時(shí)間（即工廠(chǎng)的生產(chǎn)時(shí)間和運(yùn)輸時(shí)間）。從另一個(gè)角度看，為了在某一時(shí)刻能補(bǔ)充存儲(chǔ)，必須提前訂貨，那么這段時(shí)間也可稱(chēng)之為提前時(shí)間(leadtime)。備貨時(shí)間可能很長(zhǎng)，也可能很短，可能是隨機(jī)性的，也可以是確定性的。存儲(chǔ)論要解決的問(wèn)題是：多少時(shí)間補(bǔ)充一次，每次補(bǔ)充的數(shù)量應(yīng)該是多少。決定多少時(shí)間補(bǔ)充一次以及每次補(bǔ)充數(shù)量的策略稱(chēng)為存儲(chǔ)策略。存儲(chǔ)策略的優(yōu)劣如何衡量呢?最直接的衡量標(biāo)準(zhǔn)，是計(jì)算該策略所耗用的平均費(fèi)用多少。為此有必要對(duì)費(fèi)用進(jìn)行詳細(xì)的分析。3費(fèi)用（主要包括以下費(fèi)用）(1)存儲(chǔ)費(fèi)C1，包括貨物占用資金應(yīng)付的利息以及使用倉(cāng)庫(kù)、保管貨物、貨物損壞變質(zhì)等支出的費(fèi)用。(2)訂貨費(fèi)，包括兩項(xiàng)費(fèi)用，一項(xiàng)是訂購(gòu)費(fèi)用C3(固定費(fèi)用，或一次性費(fèi)用)如手續(xù)費(fèi)、電信往來(lái)、派人員外出采購(gòu)等費(fèi)用。訂購(gòu)費(fèi)與訂貨次數(shù)有關(guān)，而與訂貨數(shù)量無(wú)關(guān)。另一項(xiàng)是可變費(fèi)用，它與訂貨數(shù)量及貨物本身的價(jià)格，運(yùn)費(fèi)等有關(guān)。如貨物單價(jià)為K元，訂購(gòu)費(fèi)用為C3元，訂貨數(shù)量為Q，則訂貨費(fèi)用為：C3+KQ。(3)生產(chǎn)費(fèi)，補(bǔ)充存儲(chǔ)時(shí)，如果不需向外廠(chǎng)訂貨，由本廠(chǎng)自行生產(chǎn)，這時(shí)仍需要支出兩項(xiàng)費(fèi)用。一項(xiàng)是準(zhǔn)備、結(jié)束費(fèi)用，如更換模、夾具需要工時(shí)，或添置某些專(zhuān)用設(shè)備等屬于這項(xiàng)費(fèi)用；它是一次性的費(fèi)用，或稱(chēng)為固定費(fèi)用，也用C3表示。另一項(xiàng)是與生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量有關(guān)的費(fèi)用如材料費(fèi)、加工費(fèi)等(可變費(fèi)用)。(4)缺貨費(fèi)C2，當(dāng)存儲(chǔ)供不應(yīng)求時(shí)所引起的損失。如失去銷(xiāo)售機(jī)會(huì)的損失、停工待料的損失以及不能履行合同而繳納罰款等。在不允許缺貨的情況下，在費(fèi)用上處理的方式是缺貨費(fèi)為無(wú)窮大。4存儲(chǔ)策略如前所述決定何時(shí)補(bǔ)充，補(bǔ)充多少數(shù)量的辦法稱(chēng)之為存儲(chǔ)策略，常見(jiàn)的策略有三種類(lèi)型。(1)t0循環(huán)策略，每隔t0時(shí)間補(bǔ)充存儲(chǔ)量Q。(2)(s,S)策略，每當(dāng)存儲(chǔ)量x＞s時(shí)不補(bǔ)充。當(dāng)x≤s時(shí)補(bǔ)充存儲(chǔ)。補(bǔ)充量Q=S-x(即將存儲(chǔ)量補(bǔ)充到S)。(3)(t,s,S)混合策略，每經(jīng)過(guò)t時(shí)間檢查存儲(chǔ)量x，當(dāng)x＞s時(shí)不補(bǔ)充。當(dāng)x≤s時(shí)，補(bǔ)充存儲(chǔ)量使之達(dá)到S。一個(gè)好的存儲(chǔ)策略，既可以使總費(fèi)用最小，又可避免因缺貨影響生產(chǎn)(或?qū)︻櫩褪バ庞?存儲(chǔ)模型的兩大類(lèi)型：一類(lèi)叫作確定性模型，即模型中的數(shù)據(jù)皆為確定的數(shù)值；另一類(lèi)叫作隨機(jī)性模型，即模型中含有隨機(jī)變量，而不是確定的數(shù)值。由于具體條件有差別，制定存儲(chǔ)策略時(shí)又不能忽視這些差別，因而模型也有多種類(lèi)型。本章將按確定性存儲(chǔ)模型及隨機(jī)性存儲(chǔ)模型兩大類(lèi)，分別介紹一些常用的存儲(chǔ)模型，并從中得出相應(yīng)的存儲(chǔ)策略。三確定性存儲(chǔ)模型

模型一：不允許缺貨，備貨時(shí)間很短假設(shè)：(1)缺貨費(fèi)用無(wú)窮大；(2)當(dāng)存儲(chǔ)降至零時(shí)，可以立即得到補(bǔ)充(即備貨時(shí)間或拖后時(shí)間很短，可以近似地看作零)；(3)需求是連續(xù)的、均勻的，設(shè)需求速度R(單位時(shí)間的需求量)為常數(shù)，則t時(shí)間的需求量為Rt；(4)每次訂貨量不變，訂購(gòu)費(fèi)不變(每次備貨量不變，裝配費(fèi)不變)；(5)單位存儲(chǔ)費(fèi)不變。分析模型一其存儲(chǔ)量的變化情況用右圖表示假定每隔t時(shí)間補(bǔ)充一次存儲(chǔ)，那么訂貨量必須滿(mǎn)足t時(shí)間的需求Rt，記訂貨量為Q，Q=Rt，訂購(gòu)費(fèi)為C3，貨物單價(jià)為K，則訂貨費(fèi)為C3+KRt；t時(shí)間的平均訂貨費(fèi)為t時(shí)間內(nèi)的平均存儲(chǔ)量為(此結(jié)果由上頁(yè)圖中利用幾何知識(shí)易得出，平均存儲(chǔ)量為三角形高的二分之一)單位時(shí)間內(nèi)單位物品的存儲(chǔ)費(fèi)用為C1，

t時(shí)間內(nèi)所需平均存儲(chǔ)費(fèi)用為1/2(RtC1）。

t時(shí)間內(nèi)總的平均費(fèi)用為C(t）對(duì)(1)式利用微積分求最小值的方法可求出令費(fèi)用最少時(shí)的訂貨時(shí)間和數(shù)量。經(jīng)濟(jì)批量公式因得即存儲(chǔ)論中著名的經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量(economicorderingquantity)公式。簡(jiǎn)稱(chēng)為E.O.Q公式，也稱(chēng)平方根公式，或經(jīng)濟(jì)批量(economiclotsize)公式。

所以，C(t0)為最小值由于Q0、t0皆與K無(wú)關(guān)，所以此后在費(fèi)用函數(shù)中略去KR這項(xiàng)費(fèi)用。如無(wú)特殊需要不再考慮此項(xiàng)費(fèi)用，(1)式改寫(xiě)為最佳費(fèi)用公式

將t0代入(4)式得出最佳費(fèi)用

從費(fèi)用曲線(xiàn)也可以求出t0，Q0，C0費(fèi)用曲線(xiàn)C(t)曲線(xiàn)的最低點(diǎn)(minC(t))的橫坐標(biāo)t0與存儲(chǔ)費(fèi)用曲線(xiàn)、訂購(gòu)費(fèi)用曲線(xiàn)交點(diǎn)橫坐標(biāo)相同。即例1某廠(chǎng)按合同每年需提供D個(gè)產(chǎn)品，不許缺貨。假設(shè)每一周期工廠(chǎng)需裝配費(fèi)C3元，存儲(chǔ)費(fèi)每年每單位產(chǎn)品為C1元，問(wèn)全年應(yīng)分幾批供貨才能使裝配費(fèi)，存儲(chǔ)費(fèi)兩者之和最少。解設(shè)全年分n批供貨，每批生產(chǎn)量Q=D/n，周期為1/n年(即每隔1/n年供貨一次)。公式公式說(shuō)明從例1中還看到這些公式在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還會(huì)有一點(diǎn)問(wèn)題，因?yàn)閠0(或Q0，n0)不一定是整數(shù)。假設(shè)t0=16.235(天)。很明顯，小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字對(duì)實(shí)際訂貨間隔的時(shí)間是沒(méi)有意義的，這時(shí)可以取近似的整數(shù)。取t0≈16或t0≈17都可以。為了精確起見(jiàn)，可以比較C(16)、C(17)的大小，再?zèng)Q定t0=16或t0=17。例2某軋鋼廠(chǎng)每月按計(jì)劃需產(chǎn)角鋼3000噸，每噸每月需存儲(chǔ)費(fèi)5.3元，每次生產(chǎn)需調(diào)整機(jī)器設(shè)備等，共需準(zhǔn)備費(fèi)2500元。若該廠(chǎng)每月生產(chǎn)角鋼一次，生產(chǎn)批量為3000噸。每月需總費(fèi)用5.3×1/2×3000+25000=10450(元/月)全年需費(fèi)用10450×12=125400(元/年)然后按E.O.Q公式計(jì)算每次生產(chǎn)批量計(jì)算批量和批次計(jì)算需要的數(shù)據(jù)兩次生產(chǎn)相隔的時(shí)間t0=（365/21.4）≈17(天)17天的單位存儲(chǔ)費(fèi)(5.3/30)×17=3.00(元/噸)，共需費(fèi)用5.3/30×17×1682+2500≈5025(元)。按全年生產(chǎn)21.5次(兩年生產(chǎn)43次)計(jì)算，全年共需費(fèi)用5025×21.5=108037(元/年)。兩者相比較，該廠(chǎng)在利用E.O.Q公式求出經(jīng)濟(jì)批量進(jìn)行生產(chǎn)即可每年節(jié)約資金125400－108037=17363(元)模型二：不允許缺貨，生產(chǎn)需一定時(shí)間

本模型的假設(shè)條件，除生產(chǎn)需要一定時(shí)間的條件外，其余皆與模型一的相同。設(shè)生產(chǎn)批量為Q，所需生產(chǎn)時(shí)間為T(mén)，則生產(chǎn)速度為P=Q/T。已知需求速度為R，(R＜P)。生產(chǎn)的產(chǎn)品一部分滿(mǎn)足需求，剩余部分才作為存儲(chǔ)，這時(shí)存儲(chǔ)變化如圖所示。在［0，T］區(qū)間內(nèi)，存儲(chǔ)以(P-R)速度增加，在［T，t］區(qū)間內(nèi)存儲(chǔ)以速度R減少。T與t皆為待定數(shù)。從上圖易知(P-R)T=R(t-T)，即PT=Rt(等式表示以速度P生產(chǎn)T時(shí)間的產(chǎn)品等于t時(shí)間內(nèi)的需求)，并求出公式公式例3某廠(chǎng)每月需甲產(chǎn)品100件，每月生產(chǎn)率為500件，每批裝配費(fèi)為50元，每月每件產(chǎn)品存儲(chǔ)費(fèi)為4元，求E.O.Q及最低費(fèi)用。解已知C3=50，C1=4，P=500，R=100，將各值代入公式(7)及(8)得例4某商店經(jīng)售甲商品成本單價(jià)500元，年存儲(chǔ)費(fèi)用為成本的20%，年需求量365件，需求速度為常數(shù)。甲商品的定購(gòu)費(fèi)為20元，提前期為10天，求E.O.Q及最低費(fèi)用。解此例題從表面上看，似乎應(yīng)按模型二處理。因?yàn)橥虾髸r(shí)間似乎與生產(chǎn)需一定時(shí)間意義差不多。其實(shí)不然，現(xiàn)將本題存儲(chǔ)變化情況用圖表示之(見(jiàn)下頁(yè)圖)，并與模型一、模型二的圖相比較，可看到與模型一完全相同。本題只需在存儲(chǔ)降至零時(shí)提前10天訂貨即可保證需求。計(jì)算訂貨點(diǎn)由于提前期為t1=0天，10天內(nèi)的需求為10單位甲商品，因此只要當(dāng)存儲(chǔ)降至10單位時(shí)，就要訂貨。一般設(shè)t1為提前期，R為需求速度，當(dāng)存儲(chǔ)降至L=Rt1的時(shí)候即要訂貨。L稱(chēng)為“訂購(gòu)點(diǎn)”(或稱(chēng)訂貨點(diǎn))。確定多少時(shí)間訂一次貨，雖可以用E.O.Q除以R得出to(to=Qo/R)，但求解的過(guò)程中并沒(méi)有求出to，只求出訂貨點(diǎn)L即可，這時(shí)存儲(chǔ)策略是：不考慮to，只要存儲(chǔ)降至L即訂貨，訂貨量為Qo，稱(chēng)這種存儲(chǔ)策略為定點(diǎn)定貨。相對(duì)地每隔to時(shí)間訂貨一次稱(chēng)為定時(shí)訂貨，每次訂貨量不變則稱(chēng)為定量訂貨。

模型三：允許缺貨，備貨時(shí)間很短模型一、模型二是在不允許缺貨的情況下推導(dǎo)出來(lái)的。本模型是允許缺貨，并把缺貨損失定量化來(lái)加以研究。由于允許缺貨，所以企業(yè)可以在存儲(chǔ)降至零后，還可以再等一段時(shí)間然后訂貨。這就意味著企業(yè)可以少付幾次訂貨的固定費(fèi)用，少支付一些存儲(chǔ)費(fèi)用。一般地說(shuō)當(dāng)顧客遇到缺貨時(shí)不受損失，或損失很小，而企業(yè)除支付少量的缺貨費(fèi)外也無(wú)其他損失，這時(shí)發(fā)生缺貨現(xiàn)象可能對(duì)企業(yè)是有利的。本模型的假設(shè)條件除允許缺貨外，其余條件皆與模型一相同。設(shè)單位時(shí)間單位物品存儲(chǔ)費(fèi)用為C1，每次訂購(gòu)費(fèi)為C3，缺貨費(fèi)為C2(單位缺貨損失)，R為需求速度。求最佳存儲(chǔ)策略，使平均總費(fèi)用最小(見(jiàn)下圖)。假設(shè)最初存儲(chǔ)量為S

公式公式公式公式將(10)式，(11)式代入C(t,S)由于模型三中允許缺貨

在允許缺貨情況下，存儲(chǔ)量只需達(dá)到S0即可，

顯然Q0＞S0，它們的差值表示在to時(shí)間內(nèi)的最大缺貨量。說(shuō)明在允許缺貨條件下，經(jīng)過(guò)研究而得出的存儲(chǔ)策略是：每隔to時(shí)間訂貨一次，訂貨量為Qo，用Qo中的一部分補(bǔ)足所缺貨物，剩余部分So進(jìn)入存儲(chǔ)。很明顯，在相同的時(shí)間段落里，允許缺貨的訂貨次數(shù)比不允許缺貨時(shí)訂貨次數(shù)減少了。例5已知需求速度R=100件，C1=4元，C2=1.5元，C3=50元，求S0及C0。解利用(12)式，(13)式即可計(jì)算模型一、二、三存儲(chǔ)策略之間的差別可以看到不允許缺貨生產(chǎn)需要時(shí)間很短條件下得出的存儲(chǔ)策略：最大存儲(chǔ)量S0=Q0在不允許缺貨、生產(chǎn)需一定時(shí)間條件下，得出存儲(chǔ)策略在允許缺貨、生產(chǎn)需時(shí)間很短條件下，得出存儲(chǔ)策略模型二、三只是以模型一的存儲(chǔ)策略乘上相應(yīng)的因子，這樣可以便于記憶，再有

都是同一個(gè)數(shù)值，這樣就得出它們之間的差別與內(nèi)在聯(lián)系。模型四：允許缺貨(需補(bǔ)足缺貨)、生產(chǎn)需一定時(shí)間假設(shè)條件除允許缺貨生產(chǎn)需一定時(shí)間外，其余條件皆與模型一相同，其存儲(chǔ)變化如圖所示分析圖?。?，t］為一個(gè)周期，設(shè)t1時(shí)刻開(kāi)始生產(chǎn)。［0,t2］時(shí)間內(nèi)存儲(chǔ)為零，B表示最大缺貨量。［t1,t2］時(shí)間內(nèi)除滿(mǎn)足需求外，補(bǔ)足［0,t1］時(shí)間內(nèi)的缺貨。［t2,t3］時(shí)間內(nèi)滿(mǎn)足需求后的產(chǎn)品進(jìn)入存儲(chǔ)，存儲(chǔ)量以(P-R)速度增加。S表示存儲(chǔ)量，t3時(shí)刻存儲(chǔ)量達(dá)到最大，t3時(shí)刻停止生產(chǎn)。［t3,t］時(shí)間存儲(chǔ)量以需求速度R減少。

由圖易知：

最大缺貨量B=Rt1，或B=(P-R)(t2-t1)；即Rt1=(P-R)(t2-t1)，得最大存儲(chǔ)量S=(P-R)(t3-t2)，或S=R(t-t3)即(P-R)(t3-t2)=R(t-t3)，得在［0，t］時(shí)間內(nèi)所需費(fèi)用：存儲(chǔ)費(fèi)：將(16)式代入消去t3，得在［0，t］時(shí)間內(nèi)所需費(fèi)用：缺貨費(fèi)：將(15)式代入消去t1，得在［0，t］時(shí)間內(nèi)所需費(fèi)用：裝配費(fèi)：C3

在［0,t］時(shí)間內(nèi)總平均費(fèi)用為：為了得到最佳公式，分別求偏導(dǎo)數(shù)：

推導(dǎo)由(18)式得，由(17)式得

推導(dǎo)：將(19)式代入上式消去t2得由(19)有公式S0(最大存儲(chǔ)量)B0(最大缺貨量)最小費(fèi)用：

四隨機(jī)性存儲(chǔ)模型隨機(jī)性存儲(chǔ)模型的重要特點(diǎn)是需求為隨機(jī)的，其概率或分布為已知。在這種情況下，前面所介紹過(guò)的模型已經(jīng)不能適用了。例如商店對(duì)某種商品進(jìn)貨500件，這500件商品可能在一個(gè)月內(nèi)售完，也有可能在兩個(gè)月之后還有剩余。商店如果想既不因缺貨而失去銷(xiāo)售機(jī)會(huì)，又不因滯銷(xiāo)而過(guò)多積壓資金，這時(shí)必須采用新的存儲(chǔ)策略可供選擇的策略主要有三種(1)定期訂貨，但訂貨數(shù)量需要根據(jù)上一個(gè)周期末剩下貨物的數(shù)量決定訂貨量。剩下的數(shù)量少，可以多訂貨。剩下的數(shù)量多，可以少訂或不訂貨。這種策略可稱(chēng)為定期訂貨法。(2)定點(diǎn)訂貨，存儲(chǔ)降到某一確定的數(shù)量時(shí)即訂貨，不再考慮間隔的時(shí)間。這一數(shù)量值稱(chēng)為訂貨點(diǎn)，每次訂貨的數(shù)量不變，這種策略可稱(chēng)之為定點(diǎn)訂貨法。(3)把定期訂貨與定點(diǎn)訂貨綜合起來(lái)的方法，隔一定時(shí)間檢查一次存儲(chǔ)，如果存儲(chǔ)數(shù)量高于一個(gè)數(shù)值s，則不訂貨。小于s時(shí)則訂貨補(bǔ)充存儲(chǔ)，訂貨量要使存儲(chǔ)量達(dá)到S，這種策略可以簡(jiǎn)稱(chēng)為(s,S)存儲(chǔ)策略。與確定性模型不同的特點(diǎn)還有：不允許缺貨的條件只能從概率的意義方面理解，如不缺貨的概率為0.9等。存儲(chǔ)策略的優(yōu)劣通常以贏利的期望值的大小作為衡量的標(biāo)準(zhǔn)。為了講清楚隨機(jī)性存儲(chǔ)問(wèn)題的解法，先通過(guò)一個(gè)例題介紹求解的思路。例6某商店擬在新年期間出售一批日歷畫(huà)片，每售出一千張可贏利700元。如果在新年期間不能售出，必須削價(jià)處理，作為畫(huà)片出售。由于削價(jià)，一定可以售完，此時(shí)每千張賠損400元。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，市場(chǎng)需求的概率見(jiàn)下表。每年只能訂貨一次，問(wèn)應(yīng)訂購(gòu)日歷畫(huà)片幾千張才能使獲利的期望值最大?解如果該店訂貨4千張，我們計(jì)算獲利的可能數(shù)值訂購(gòu)量為4千張時(shí)獲利的期望值：E[C(4)]=(-1600)×0.05+(-500)×0.10+600×0.25+1700×0.35+2800×0.15+2800×0.10=1315(元)上述計(jì)算法及結(jié)果列于下表

獲利期望值最大者標(biāo)有(*)記號(hào)，為1440元?？芍摰暧嗁?gòu)3000張日歷畫(huà)片可使獲利期望值最大。

從相反的角度考慮求解當(dāng)訂貨量為Q時(shí)，可能發(fā)生滯銷(xiāo)賠損(供過(guò)于求的情況)，也可能發(fā)生因缺貨而失去銷(xiāo)售機(jī)會(huì)的損失(求過(guò)于供的情況)。把這兩種損失合起來(lái)考慮，取損失期望值最小者所對(duì)應(yīng)的Q值。訂購(gòu)量為2千張時(shí)，損失的可能值：當(dāng)訂貨量為2千張時(shí)，缺貨和滯銷(xiāo)兩種損失之和的期望值E[C(2)]=(-800)×0.05+(-400)×0.10+0×0.25+(-700)×0.35+(-1400)×0.15+(-2100)×0.10=－745(元)按此算法列出下表。比較表中期望值以-485最大，即485為損失最小值。該店訂購(gòu)