【湖南卷】【公眾號(hào)：試卷共享圈】湖南省邵陽(yáng)市邵東市創(chuàng)新高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月創(chuàng)高杯考試數(shù)學(xué)試卷

創(chuàng)新高級(jí)中學(xué)2024年下學(xué)期高二創(chuàng)高杯考試（科目：數(shù)學(xué)）（命題人：楊遠(yuǎn)帆）注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息;2．在本卷答題無(wú)效請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上;3.卷Ⅰ請(qǐng)用2B鉛筆填涂在對(duì)應(yīng)位置中；4.考試結(jié)束后請(qǐng)將答題卡交回即可.考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分卷I（選擇題共計(jì)58分）一、選擇題（本題共計(jì)8小題，每題5分，共計(jì)40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，則的方程為（）A. B. C. D.2.已知數(shù)列滿足，則（）A.23 B. C.3 D.23.已知，則向量與的夾角是（）A.30° B.60° C.90° D.120°4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為棱上任意一點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C. D.6.在等差數(shù)列中，，則A.12 B.14 C.16 D..187.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形(為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.8.，函數(shù)的最小值為（）A.2 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線距離為1，則直線的方程可以是（）A. B. C. D.10.已知曲線C：，下列說(shuō)法正確是（）A.若，則C雙曲線B.若且，則C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C.若，則C不可能表示圓D.若，則C為兩條直線11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)到平面的距離為B.直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為C.若線段的中點(diǎn)為，則一定平行于平面D.四面體的體積為三、填空題（本題共計(jì)3小題，每題5分，共計(jì)15分）

12.數(shù)列的前項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．13.在棱長(zhǎng)為1正方體中，為線段的中點(diǎn)，則到平面的距離為_(kāi)_____；14.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則______.四、解答題（本題共計(jì)5小題，15題13分，16、17題每題15分，18、19題每題17分，共計(jì)77分）15.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)和直線，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)的軌跡與直線有公共點(diǎn)，求的取值范圍.17.如圖，已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）在棱（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18.設(shè)集合，其中．若對(duì)任意的向量，存在向量，使得，則稱A是“T集”．（1）設(shè)，判斷M，N否為“T集”．若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知A是“T集”．若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列，求A；19.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，分別為的左，右焦點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)與的右焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線上異于的一點(diǎn).（i）若，求直線的方程；（ii）設(shè)斜率分別為，求的值.

創(chuàng)新高級(jí)中學(xué)2024年下學(xué)期高二創(chuàng)高杯考試（科目：數(shù)學(xué)）（命題人：楊遠(yuǎn)帆）注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息;2．在本卷答題無(wú)效請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上;3.卷Ⅰ請(qǐng)用2B鉛筆填涂在對(duì)應(yīng)位置中；4.考試結(jié)束后請(qǐng)將答題卡交回即可.考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分卷I（選擇題共計(jì)58分）一、選擇題（本題共計(jì)8小題，每題5分，共計(jì)40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可求得，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得，可求橢圓方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，所以，解得，所以橢圓方程為，又點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：B.2.已知數(shù)列滿足，則（）A.23 B. C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系直接求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，．故選：C3.已知，則向量與的夾角是（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出即可求解.【詳解】因?yàn)椋韵蛄颗c的夾角是.故選：C.4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】充分必要條件的判斷：把兩個(gè)命題分別作為條件和結(jié)論，判定由條件能否推出結(jié)論即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；當(dāng)與直線平行時(shí)，，則∴或，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，，，整理后與重合，故舍去，∴，滿足必要條件；∴“”是“直線與直線平行”的充要條件故選：C5.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為棱上任意一點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】基底法結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律和正方體的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，在正方體中，為棱上任意一點(diǎn)，則，，所以.故選：A.6.等差數(shù)列中，，則A.12 B.14 C.16 D..18【答案】D【解析】【分析】先由等差數(shù)列的概念得到公差d，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)得到即可.【詳解】等差數(shù)列中，，故答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題，對(duì)于等比等差數(shù)列的小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項(xiàng)和公比或者公差，其二是觀察各項(xiàng)間的腳碼關(guān)系，即利用數(shù)列的基本性質(zhì).7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形(為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，求出和，再根據(jù)求解、，即可求得雙曲線方程.【詳解】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，，所以漸近線的斜率，因?yàn)?，解得，所以雙曲線的方程為：.故選：D8.，函數(shù)的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩點(diǎn)之間的距離及點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，和直線，到l的距離分別為，易知，顯然.當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得等號(hào).故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則直線的方程可以是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】將圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，根據(jù)圓心到直線距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題知，圓，圓心為，半徑為，因?yàn)閳A上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以圓心到直線的距離，對(duì)于A，圓心為到直線的距離，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓心為到直線的距離，故B正確；對(duì)于C，圓心為到直線的距離，故C正確；對(duì)于D，圓心為到直線的距離，故D正確；故選：BCD10.已知曲線C：，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則C為雙曲線B.若且，則C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C.若，則C不可能表示圓D.若，則C為兩條直線【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷AD，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷B，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷C.【詳解】若，則C為雙曲線，所以A正確；若且，則，，所以C為焦點(diǎn)在x軸上橢圓，所以B正確；若，當(dāng)時(shí)，C是單位圓，所以C不正確；若，則C為雙曲線，所以D不正確.故選：AB11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)到平面距離為B.直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為C.若線段的中點(diǎn)為，則一定平行于平面D.四面體的體積為【答案】AC【解析】【分析】建系，求平面的法向量.對(duì)于A：利用空間向量求點(diǎn)到面的距離；對(duì)于B：利用空間向量求線面夾角；對(duì)于C：利用空間向量證明線面平行；對(duì)于D：結(jié)合錐體體積公式求結(jié)論.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，對(duì)于選項(xiàng)A：點(diǎn)到平面的距離為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面所成角的正弦的取值范圍為，所以直線與平面所成角的余弦的取值范圍為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知：，則，可得，可知，且平面，所以一定平行于平面，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意知，所以四面體的體積為，故D錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題（本題共計(jì)3小題，每題5分，共計(jì)15分）

12.數(shù)列的前項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】利用遞推關(guān)系當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，再驗(yàn)證時(shí)的情形即可得出結(jié)果．【詳解】∵，∴時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推關(guān)系、數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.在棱長(zhǎng)為1正方體中，為線段的中點(diǎn)，則到平面的距離為_(kāi)_____；【答案】【解析】【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的一個(gè)法向量，再利用點(diǎn)到面的距離公式求解即可.【詳解】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，當(dāng)，面的一個(gè)法向量為，則到平面的距離.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法求點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.14.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則______.【答案】【解析】【分析】可設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義及是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得，，，求得.再在中，用勾股定理，得到關(guān)于的方程，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可.【詳解】解：設(shè)，，由，，又，，又，，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，即，，在中，，，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)、考查離心率的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.四、解答題（本題共計(jì)5小題，15題13分，16、17題每題15分，18、19題每題17分，共計(jì)77分）15.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【答案】（1）（2）45【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式求基本量，即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）由，應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為，由題設(shè)有，解得，，所以.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，.所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為45.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)和直線，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)的軌跡方程；（2）若點(diǎn)的軌跡與直線有公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1），軌跡方程為；（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)斜率之積和中點(diǎn)坐標(biāo)得到方程組，求出，設(shè)Px,y，直接法求出點(diǎn)的軌跡方程為；（2）圓心12,0到的距離小于等于半徑，列出不等式，求出答案【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，解得，故，設(shè)Px,y，則，整理得，故點(diǎn)的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】與直線有公共點(diǎn)，則圓心12,0到的距離小于等于半徑，即，解得或，的取值范圍是或.17.如圖，已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）在棱（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，通過(guò)證明平面，從而建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，說(shuō)明即可；（2）求出平面法向量和平面的法向量，利用平面與平面的夾角為建立等式，求解即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，,因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫制矫?，平面平面，所以平面，又底面為矩形，則.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，已知是的中點(diǎn).則，可知，，由四邊形為平行四邊形，得，設(shè)平面的法向量n=x,y,z則，取，得，則平面的一個(gè)法向量,故，則.且平面，則平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè).設(shè).因?yàn)?，所?于是有.所以.又.設(shè)平面法向量，則即,所以平面的一個(gè)法向量為.平面的一個(gè)法向量為.則，化簡(jiǎn)得.所以無(wú)實(shí)數(shù)解，不存在這樣的點(diǎn).18.設(shè)集合，其中．若對(duì)任意的向量，存在向量，使得，則稱A是“T集”．（1）設(shè)，判斷M，N是否為“T集”．若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知A是“T集”．若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列，求A；【答案】（1）是“集”，不是“集”，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)“T集”的定義判斷即可；（2）寫(xiě)出等差數(shù)列通項(xiàng)，得到向量的坐標(biāo)，再分類(lèi)討論即可.【小問(wèn)1詳解】是