工程力學(xué) 課件 第16章 梁的彎曲變形

工程力學(xué)

EngineeringMechanics全國高等教育自學(xué)考試指導(dǎo)委員會第16章梁的彎曲變形工程力學(xué)

EngineeringMechanics16.1梁的撓度和橫截面的轉(zhuǎn)角16.2梁的撓曲線近似微分方程梁的彎曲變形對工程中承受彎曲的桿件，

(a)強(qiáng)度條件工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力(b)剛度條件變形方面滿足要求梁的彎曲變形16.1梁的撓度和橫截面的轉(zhuǎn)角xwxOwl撓曲線

對稱彎曲時，梁的軸線將變?yōu)橐粭l在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線，稱為梁的撓曲線。撓度

橫截面的形心沿與軸線垂直方向的線位移，稱為該截面的撓度，用w

表示。轉(zhuǎn)角橫截面相對其原來的位置轉(zhuǎn)過的角度，稱為此截面的轉(zhuǎn)角，

用θ

表示。梁的彎曲變形16.1梁的撓度和橫截面的轉(zhuǎn)角

x軸：變形前的梁軸(向右為正)

w

軸：垂直于x

軸向上的軸(向上為正)

梁各截面處的撓度w

是x的函數(shù)，表達(dá)式為

w=w(x)稱為梁的撓曲線方程。撓度轉(zhuǎn)角的正負(fù)號規(guī)定在圖示坐標(biāo)系中撓度：向上為正轉(zhuǎn)角：逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎龘锨€方程xwxOwl梁的彎曲變形16.1梁的撓度和橫截面的轉(zhuǎn)角xwxOwl撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系在小變形情況下?lián)锨€上任意一點(diǎn)處切線的斜率或其一階導(dǎo)數(shù)等于該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。撓度的單位：m，cm，mm。轉(zhuǎn)角的單位：rad。梁的彎曲變形16.2梁的撓曲線近似微分方程xwxOwl純彎曲情況下剪力對變形影響很小，忽略，上式仍成立。在橫力彎曲中，彎矩和曲率都隨截面位置而變化。橫力彎曲梁的彎曲變形16.2梁的撓曲線近似微分方程則撓曲線近似微分方程平面曲線w

=w(x)

的曲率表達(dá)式小變形情況下梁的彎曲變形16.2梁的撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程正負(fù)號：依賴于所選取的坐標(biāo)軸、彎矩正負(fù)號的規(guī)定wxOwxO取正號，撓曲線的近似微分方程應(yīng)寫為線彈性小變形條件下梁的彎曲變形計算的基本微分方程這節(jié)課就講到這里。同學(xué)們根據(jù)這次課學(xué)習(xí)到的內(nèi)容和閱讀教材，完成教材上的習(xí)題。第16章梁的彎曲變形工程力學(xué)

EngineeringMechanics16.3用積分法求彎曲變形16.4用疊加法求彎曲變形梁的彎曲變形16.2梁的撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程正負(fù)號：依賴于所選取的坐標(biāo)軸、彎矩正負(fù)號的規(guī)定wxOwxO取正號，撓曲線的近似微分方程應(yīng)寫為線彈性小變形條件下梁的彎曲變形計算的基本微分方程梁的彎曲變形16.3用積分法求彎曲變形轉(zhuǎn)角方程積分常數(shù)C、D由

(a)位移的邊界條件(某些截面的已知轉(zhuǎn)角和撓度)和

(b)分段交界截面處的位移連續(xù)條件確定。撓曲線方程撓曲線近似微分方程梁的彎曲變形16.3用積分法求彎曲變形l邊界條件簡支梁懸臂梁l梁的彎曲變形16.3用積分法求彎曲變形位移連續(xù)條件撓度、轉(zhuǎn)角都是連續(xù)的，

在撓曲線上任意點(diǎn)，

撓度和轉(zhuǎn)角分別有唯一確定的值alABC(分段梁)梁的彎曲變形16.3用積分法求彎曲變形梁的彎曲變形梁的彎曲變形梁的彎曲變形梁的彎曲變形梁的彎曲變形16.4用疊加法求彎曲變形用積分法求梁的變形的缺點(diǎn)(1)如果梁上的載荷很多，就要分段建立彎矩方程。

分段越多，積分常數(shù)也越多，

確定積分常數(shù)的運(yùn)算繁瑣。(2)在實(shí)際的工程問題中，梁上的載荷通常比較復(fù)雜，但常常只需要計算某些特定截面的轉(zhuǎn)角和撓度。因此，一般不采用積分法，而采用疊加法計算梁的變形。梁的彎曲變形16.4用疊加法求彎曲變形疊加原理（力的獨(dú)立作用原理）

梁的支反力、剪力和彎矩、正應(yīng)力和剪應(yīng)力以及撓度、轉(zhuǎn)角等，都與梁的載荷成正比。每個載荷單獨(dú)產(chǎn)生的上述各量，都不受其他載荷作用的影響。若梁內(nèi)應(yīng)力不超過材料比例極限，且符合小變形疊加法當(dāng)梁上有幾個載荷共同作用時，某一橫截面的轉(zhuǎn)角或撓度等于各個載荷單獨(dú)作用時該截面的轉(zhuǎn)角或撓度的代數(shù)和。梁上幾個載荷同時作用時產(chǎn)生的上述各量，

等于各載荷分別單獨(dú)作用所產(chǎn)生相應(yīng)各量的代數(shù)和。梁的彎曲變形16.4用疊加法求彎曲變形這節(jié)課就講到這里。同學(xué)們根據(jù)這次課學(xué)習(xí)到的內(nèi)容和閱讀教材，完成教材上的習(xí)題。第16章梁的彎曲變形工程力學(xué)

EngineeringMechanics16.5梁的剛度條件16.6簡單的靜不定梁問題梁的彎曲變形16.5梁的剛度條件梁的變形不能超過規(guī)定的許可范圍——梁的剛度。

(1)橋式吊車大梁在起吊重物時，若梁的撓度偏大，會行駛困難，造成振動。(2)齒輪軸的彎曲變形過大，造成嚙合不良，軸與軸承配合不好，傳動不平穩(wěn)，增加軸與軸承之間的磨損。(3)軋輥機(jī)的輥軸，若彎曲變形過大，生產(chǎn)出的產(chǎn)品就會厚薄不均，成為廢品。梁的彎曲變形16.5梁的剛度條件梁的變形不能超過規(guī)定的許可范圍——梁的剛度。梁的剛度條件剛度校核的目的為控制梁的變形，使最大撓度和最大轉(zhuǎn)角在規(guī)定許可范圍內(nèi)，故梁的剛度條件為和是規(guī)定的許用撓度與許用轉(zhuǎn)角梁的彎曲變形16.5梁的剛度條件梁的變形不能超過規(guī)定的許可范圍——梁的剛度。梁的剛度條件利用彎曲剛度條件，可進(jìn)行

梁的剛度校核、截面尺寸設(shè)計和確定許可載荷等計算。處理工程中梁的彎曲問題，通常須同時考慮強(qiáng)度條件與剛度條件。梁的彎曲變形16.5梁的剛度條件梁的變形不能超過規(guī)定的許可范圍——梁的剛度。梁的剛度條件梁的彎曲變形16.6簡單的靜不定梁問題靜不定梁未知量數(shù)目與獨(dú)立靜力平衡方程數(shù)目之差，稱為靜不定次數(shù)。靜不定梁就是在原來靜定梁的基礎(chǔ)上增加約束，

靜不定梁比相應(yīng)的靜定梁提高了強(qiáng)度和剛度。梁的約束力中未知量數(shù)目多于獨(dú)立靜力平衡方程的數(shù)目，

因而僅憑靜力平衡方程不能確定全部反力。這種梁稱為靜不定梁。梁的彎曲變形16.6簡單的靜不定梁問題多余約束在維持平衡必須約束的基礎(chǔ)上額外增加的約束。多余約束多余約束多余約束(限制轉(zhuǎn)動)多余約束梁的彎曲變形16.6簡單的靜不定梁問題變形比較法解簡單靜不定梁的步驟可歸納為：（1）根據(jù)未知約束力數(shù)目和有效平衡方程數(shù)目，判定梁的靜不定次數(shù)；（2）解除多余約束，代之以相應(yīng)的未知約束力，得到原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)；（3）根據(jù)多余約束的性質(zhì)與特點(diǎn)，建立變形協(xié)調(diào)條件的位移表達(dá)式；（4）在相當(dāng)系統(tǒng)的多余約束處，分別計算由已知外載荷和未知約束力產(chǎn)生的相應(yīng)位移，并根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程；（5）由補(bǔ)充方程解出未知約束力，并由靜力學(xué)平衡方程確定其他約束力；（6）按要求進(jìn)行其他計算，諸如內(nèi)力、應(yīng)力與位移等。梁的彎曲變形16.6簡單的靜不定梁問題ACBla(b)梁的彎曲變形例如圖(a)所示外伸梁，在外伸端C

處受集中力F

作用，梁的EI、l、a

均為已知。試用疊加法計算截面C

處的撓度與轉(zhuǎn)角。梁在任一截面的總撓度或總轉(zhuǎn)角，等于梁各段單獨(dú)發(fā)生變形時在該截面引起的撓度或轉(zhuǎn)角的總和。解(a)ACBwC1wC2laACB(c)la1.令A(yù)B

段不變形，只考慮BC

段的變形ACBla(b)梁的彎曲變形例如圖(a)所示外伸梁，在外伸端C

處受集中力F

作用，梁的EI、l、a

均為已知。試用疊加法計算截面C

處的撓度與轉(zhuǎn)角。梁在任一截面的總撓度或總轉(zhuǎn)角，等于梁各段單獨(dú)發(fā)生變形時在該截面引起的撓度或轉(zhuǎn)角的總和。解(a)ACBwC1wC2laACB(c)la2.令BC

段不變形，只考慮AB

段的變形ACBla(b)梁的彎曲變形例如圖(a)所示外伸梁，在外伸端C

處受集中力F

作用，梁的EI、l、a

均為已知。試用疊加法計算截面C

處的撓度與轉(zhuǎn)角。(a)ACBwC1wC2laACB(c)la2.令BC

段不變形，只考慮AB

段的變形1.令A(yù)B

段不變形，只考慮BC

段的變形3.計算截面C

處的總撓度與總轉(zhuǎn)角（真實(shí)方向向下）ACBla(b)梁的彎曲變形例如圖(a)所示外伸梁，在外伸端C

處受集中力F

作用，梁的EI、l、a

均為已知。試用疊加法計算截面C

處的撓度與轉(zhuǎn)角。(a)ACBwC1wC2laACB(c)la2.令BC

段不變形，只考慮AB

段的變形1.令A(yù)B

段不變形，只考慮BC

段的變形3.計算截面C

處的總撓度與總轉(zhuǎn)角（真實(shí)轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r針轉(zhuǎn)向）梁的彎曲變形例懸臂梁受力如圖(a)所示，試求梁截面B

的撓度及轉(zhuǎn)角。梁的彎曲剛度為EI。將均布載荷與集中力分開后，如圖(b)和(c)所示。解ABl(a)ABl(b)ABl(c)均布載荷q

作用下梁的彎曲變形例懸臂梁受力如圖(a)所示，試求梁截面B

的撓度及轉(zhuǎn)角。梁的彎曲剛度為EI。將均布載荷與集中力分開后，如圖(b)和(c)所示。解ABl(a)ABl(b)ABl(c)集中力F=ql

作用下梁的彎曲變形例懸臂梁受力如圖(a)所示，試求梁截面B

的撓度及轉(zhuǎn)角。梁的彎曲剛度為EI。將均布載荷與集中力分開后，如圖(b)和(c)所示。解均布載荷q

作用下集中力F=ql

作用下疊加后得ABl(a)ABl(b)ABl(c)梁的彎曲變形例懸臂梁受力如圖(a)所示，試求梁截面B

的撓度及轉(zhuǎn)角。梁的彎曲剛度為EI。將均布載荷與集中力分開后，如圖(b)和(c)所示。解均布載荷q

作用下集中力F=ql

作用下疊加后得ABl(a)ABl(b)ABl(c)ACBxwabl解

1.支座反力2.彎矩方程3.撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：例設(shè)梁的彎曲剛度EI

為常數(shù)。求梁的撓曲線梁的彎曲變形ACBablxwAC段：CB段：梁的彎曲變形ACBxwabl梁的彎曲變形AC段：CB段：邊界條件ACBxwabl連續(xù)條件梁的彎曲變形AC段：CB段：ACBxwabl梁的彎曲變形AC段：CB段：設(shè)a>b，則在ACBxwabl可用中點(diǎn)處撓度作為梁的最大撓度，誤差不超過3%。梁的彎曲變形設(shè)a>b，則在ACBxwabl梁的彎曲變形lABq(1)確定彎矩方程(2)確定轉(zhuǎn)角和撓度方程例試用積分法求圖示梁的轉(zhuǎn)角方程與撓曲線方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。設(shè)梁的彎曲剛度EI為常數(shù)。解梁的彎曲變形(3)確定積分常數(shù)()()lABq例如圖所示梁的彎曲剛度EI

為常數(shù)。試計算支座B

的約束力。(1)1次靜不定梁。(2)解除B

處多余約束，代之以反力FB

。ABlq靜定基相當(dāng)系統(tǒng)(3)確定B

處的撓度：q

單獨(dú)作用下：()B

處的

FB

單獨(dú)作用下：()FBABlq解(4)確定幾何方程：()(5)求解梁的彎曲變形例一簡支梁，跨度中點(diǎn)受集中載荷F

作用。已知F=35kN，跨度l=4m，許用應(yīng)力，許用撓度，材料的彈性模量E=