2023-2024學年福建省三明市五地五校聯考高一（下）期中數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年福建省三明市五地五校聯考高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數z滿足z=2+i1?i，則z在復平面內對應的點所在的象限為(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列說法中正確的是(

)A.直四棱柱是長方體

B.棱錐的側面只能是三角形

C.通過圓臺側面一點，有無數條母線

D.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周所圍成的旋轉體為圓錐3.已知向量a=(x,3)，b=(3,?1)，且a⊥b，則xA.?1 B.?9 C.9 D.14.設△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若a=3，b=3，A=π3，則A.π6 B.5π6 C.π6或5π5.四邊形OABC直觀圖為如圖矩形O1A1B1C1，其中O1AA.8 B.10 C.12 D.166.如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分別為BC，CD的中點，G為EF的中點，則AG=(

)

A.23AB+13AD B.17.河水的流速為2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度駛向對岸，則小船的靜水速度大小為(

)A.10m/s B.226m/s C.48.若對于一些橫縱坐標均為整數的向量，它們的模相同，但坐標不同，則稱這些向量為“等模整向量”，例如向量a=(1,3)，b=(?3,?1)，即為“等模整向量”，那么模為5的“等模整向量”有A.4個 B.6個 C.8個 D.12個二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在△ABC中，下列命題正確的是(

)A.AB+BC+CA=0

B.若(AB+AC)?(AB?AC)=0，則△ABC為等腰三角形

C.若AM=10.下列是關于互不相同的直線m，n，l和平面α，β的四個命題，其中錯誤的命題是(

)A.m?α，l∩α=A，點A?m，則l與m是異面直線

B.m?α，n?β，則m與n是異面直線

C.α∩β=l，m?α，n?β，且m∩n=P，則P∈l

D.m?α，n?β，則“m與n相交”與“α與β相交”等價11.如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結論正確的是(

)A.圓錐的側面積為2πR2 B.圓柱與球的表面積之比為32

C.圓柱的側面積與球的表面積相等 D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在復數范圍內，方程x2+2x+3=0的根為______．13.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(?1,2)，B(1,1)，C(?3,1).則AB的中點坐標為______；當實數m=______時，(mOC+OB14.如圖所示，為了測量A、B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A、B兩處島嶼的距離為______海里．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復數z=a?1+ai(a∈R)，i為虛數單位．

(1)若z是純虛數，求a；

(2)若|z|=5，求z?；

(3)在(1)的條件下，復數w滿足|w?z|=1，寫出復數16.(本小題15分)

已知向量a與b的夾角θ=2π3，且|a|=3，|b|=2．

(1)求a?b，|a+b|，b17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosC+c=2b．

(1)求角A的大??；

(2)D在邊AC上，

(i)若D是邊AC的中點，c=1，BD=3，求a；

(ii)若AB=8，CD=2,cos∠BDC=18.(本小題17分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1=1，∠CAB=90°．

(1)求該直三棱柱的表面積S與體積V．

(2)若把兩個這樣的直三棱柱拼成一個大棱柱．

(i)19.(本小題17分)

古希臘數學家托勒密對凸四邊形(凸四邊形是指沒有角度大于180°的四邊形)進行研究，終于有重大發(fā)現：任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四點共圓時等號成立.且若給定凸四邊形的四條邊長，四點共圓時四邊形的面積最大.根據上述材料，解決以下問題：

如圖，在凸四邊形ABCD中，

(1)若AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD(圖1)，求線段BD長度的最大值；

(2)若AB=2，BC=6，AD=CD=4(圖2)，求四邊形ABCD面積取得最大值時，角A的大小，并求出四邊形ABCD面積的最大值

參考答案1.A

2.B

3.D

4.A

5.C

6.C

7.B

8.C

9.BC

10.BD

11.BCD

12.?1±13.(0,32)14.2015.解：(1)復數z=a?1+ai(a∈R)，

若z為純虛數，

則a?1=0a≠0，解得a=1；

(2)|z|=5，

則(a?1)2+a2=5，解得a=2或a=?1，

當a=2時，z=1+2i，z?=1?2i，

當a=?1時，z=?2?i，z?=?2+i；

(3)由(1)可知，z=i16.解：(1)已知向量a與b的夾角θ=2π3，且|a|=3，|b|=2，

則a?b=|a|?|b|cos2π3=3×2×(?12)=?3，

|a+b|=a2+2a?b+b217.解：(1)因為2acosC+c=2b，由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB，

又sinB=sin(A+C)，

∴2sinAcosC+sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，

∴sinC=2cosAsinC，

∵sinC≠0，

∴cosA=12，

又A∈(0,π)，

∴A=π3；

(2)(i)由(1)在△ABD中，由余弦定理有AB2+AD2?2AB?ADcos∠BAD=BD2，

∵c=1，BD=3，D是邊AC的中點，AD=12b，整理得：b2?2b?8=0，解得b=?2(舍去)或b=4，

∴a=b2+c2?2bccos60°=13；

18.解：(1)S表=2×12×1×1+1×(1+1+2)=3+2，

S△ABC=12×1×1=12，

V=S△ABC??=12×1×1=12．

(2)(i)4種．

組合1：

組合2：

組合3：

組合4：

以上選兩種即可．

(ii)19.解：(1)AB=2，BC=1，∠ACD=π2，AC=CD，

可得AD=2CD，

由題意可得AB×CD+BC×AD≥AC×BD，

即AB×CD+BC×2CD≥CD×BD，

即2+2≥BD，

即BD的最大值為22；

(2)如圖2，連接BD，因