4年級全冊數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

第一釬加乘原理

作業(yè)完成情況

知識梳理

加法原理：完成一件工作共有N類方法。在第一類方法中有m種不同的方法，在第二類

方法中有叱種不同的方法，……，在第N類方法中有m0種不同的方法，那么完成這件工作

共有N=mi+m2+nbH-----Fm“種不同方法。

運(yùn)用加法原理計數(shù)，關(guān)鍵在于合理分類，不重不漏。要求每一類中的每一種方法都可以

獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同（即分類不重）；完成此任務(wù)的任

何一種方法，都屬于某一類（即分類不漏）。合理分類也是運(yùn)用加法原理解決問題的難點(diǎn)，不

同的問題，分類的標(biāo)準(zhǔn)往往不同，需要積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)。

乘法原理：完成一件工作共需N個步驟：完成第一個步驟有m種方法，完成第二個步驟

有叱種方法，…，完成第N個步驟有m“種方法，那么，完成這件工作共有叫Xnk義…Xm“

種方法。

運(yùn)用乘法原理計數(shù)，關(guān)鍵在于合理分步。完成這件工作的N個步驟，各個步驟之間是相

互聯(lián)系的，任何一步的一種方法都不能完成此工作，必須連續(xù)完成這N步才能完成此工作；

各步計數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此工作的方法也不同。

這兩個基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)，教學(xué)時要先通過生活中淺顯的實(shí)例,如購物問題、

行程問題、搭配問題等，幫助孩子理解兩個原理，再讓孩子學(xué)習(xí)運(yùn)用原理解決問題。

運(yùn)用兩個原理解決的都是比較復(fù)雜的計數(shù)問題，在解題時要細(xì)心、耐心、有條理地分析

問題。計數(shù)時要注意區(qū)分是分類問題還是分步問題，正確運(yùn)用兩個原理。靈活機(jī)動地分層重

復(fù)使用或綜合運(yùn)用兩個原理，可以巧妙解決很多復(fù)雜的計數(shù)問題。小學(xué)階段只學(xué)習(xí)兩個原理

的簡單應(yīng)用。

教學(xué)重-唯點(diǎn)

兩種原理的基礎(chǔ)內(nèi)容的記憶和計算的方法。

二：兩種計數(shù)原理的區(qū)分和綜合應(yīng)用。

-4

3特色講解

【題目】：1

用1角、2角和5角的三種人民幣（每種的張數(shù)沒有限制）組成1元錢，有

多少種方法？

【解析】：

運(yùn)用加法原理，把組成方法分成三大類：

①只取一種人民幣組成1元，有3種方法：10張1角；5張2角；2張5角。

②取兩種人民幣組成1元，有5種方法：1張5角和5張1角；一張2角和

8張1角；2張2角和6張1角；3張2角和4張1角；4張2角和2張1角。

③取三種人民幣組成1元，有2種方法：1張5角、1張2角和3張1角的;

1張5角、2張2角和1張1角的。

【題目】：2

各數(shù)位的數(shù)字之和是24的三位數(shù)共有多少個？

【解析】：

一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字，最大只能是9,24可分拆為：24=9+9+7；24=9

+8+7；24=8+8+8o運(yùn)用加法原理，把組成的三位數(shù)分為三大類：

①由9、9、8三個數(shù)字可組成3個三位數(shù)：998、989、899；

②由9、8、7三個數(shù)字可組成6個三位數(shù)：987、978、897、879、798、78

9；

③由8、8、8三個數(shù)字可組成1個三位數(shù)：888o

所以組成三位數(shù)共有：3+6+1=10（個）。

所以共有組成方法：3+5+2=10（種）。

【題目】：3

有一批長度分別為1,2,3,4,5,6,7和8厘米的細(xì)木條若干，從中選取

適當(dāng)?shù)?根木條作為三條邊可以圍成多少個不同的三角形？

【解析】：

圍三角形的依據(jù)：三根木條能圍成三角形，必須滿足任意兩邊之和大于第三

邊。要滿足這個條件，需要且只需要兩條較短邊的和大于最長邊就可以了。

這道題的計數(shù)比較復(fù)雜，需要分層重復(fù)運(yùn)用加法原理。

根據(jù)三角形三邊長度情況，我們先把圍成的三角形分為兩大類：

第一大類：圍成三角形的三根木條，至少有兩根木條等長（包括三根等長

的）。

由題目條件，圍成的等腰三角形腰長可以為1、2、3、4、5、6、7、8厘米,

根據(jù)三角形腰長，第一大類又可以分為8小類，三邊長依次是：

①腰長為1的三角形1個：1、1、1。

②腰長為2的三角形3個：2、2、1；2、2、2；2、2、3。

③腰長為3的三角形5個：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、

④腰長為4的三角形7個:4、2；...4、4、7o

⑤腰長為5的三角形8個:5、2；...5、5、8o

同理，腰長為6、7、8厘米的三角形都是8個。

第一大類可圍成的不同的三角形：1+3+5+7+8X4=48（個）。

第二大類：圍成三角形的三根木條，任意兩根木條的長度都不同。

根據(jù)最長邊的長度，我們再把第二大類圍成的三角形分為五小類（最長邊不

可能為是3厘米、2厘米、1厘米）：

①最長邊為8厘米的三角形有9個，三邊長分別為：8、7、6；8、7、5；8、

7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、40

②最長邊為7厘米的三角形有6個，三邊長分別為：7、6、5；7、6、4；7、

6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。

③最長邊為6厘米的三角形有4個，三邊長分別為：6、5、4；6、5、3；6、

5、2；6、4、3o

④最長邊為5厘米的三角形有2個，三邊長分別為：5、4、3；5、4、2。

⑤最長邊為4厘米的三角形有1個，三邊長為：4、3、2o

第二大類可圍成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（個）。

所以，這一題共可以圍成不同的三角形：48+22=70（個）。

【題目】：4

一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)在有10把鑰匙和10把鎖全部都搞亂了，最多要

試驗(yàn)多少次才能全部配好鎖和相應(yīng)的鑰匙？

【解析】：

要求“最多”多少次配好鎖和鑰匙，就要從最糟糕的情況開始考慮：第1

把鑰匙要配到鎖，最多要試9次（如果9次配對失敗，第10把鎖就一定是這把

鑰匙，不用再試）；同理，第2把鑰匙最多要試8次；……第9把鎖最多試1

次，最好一把鎖不用試。

所以，最多試驗(yàn)次數(shù)為:9+8+7……+2+1=45（次）。

【題目】：5

某人到食堂去買飯菜，食堂里有4種葷菜，3種蔬菜，2種湯。他要各買一

樣，共有多少種不同的買法？

【解析】：

運(yùn)用乘法原理，把買飯菜分為三步走：

第一步：選湯有2種方法。

第二步：選葷菜有4種方法。

每種選湯方法對應(yīng)的都有4種選葷菜的方法，湯和葷菜共有2個4種，即8

種不同的搭配方法。

第三步：選蔬菜有3種方法。

葷菜和湯有8種不同的搭配方法，每種搭配方法，對應(yīng)的都有3種選蔬菜的

方法與其二次搭配，共有8個3種，即24種不同搭配方法。

如下圖所示:

蔬菜A

蔬菜B

蔬菜C

蔬菜A

蔬菜B

蔬菜C

蕉菜A

蔬菜B

蕉菜C

蔬菜A

蔬菜B

推菜C

蔬菜A

蔬菜B

蔬菜C

蔬菜A

蔬菜B

蔬菜C

蔬菜A

蔬菜B

薇菜C

族菜A

蔬菜B

蔬菜C

所以，共有不同的買法：2X4X3=24（種）。

【題目】：6

用數(shù)字0,3,8,9能組成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？

【解析】：

運(yùn)用乘法原理，把組數(shù)過程分為三個步驟：

第一步：確定三位數(shù)百位上數(shù)字，有3種選法（最高位不能為0）。

第二步：確定十位上數(shù)字，有3種選法。

從上面四個數(shù)字中確定任意一個不為0的數(shù)字放在百位上，十位上都會剩下

三個數(shù)字供選擇。因此，對應(yīng)百位上數(shù)字的每種選法，十位上數(shù)字都有3種不同

的選擇方法，兩個數(shù)字共有3個3種，即9種不同的組成方法。

第三步：確定個位上數(shù)字，有2種選法。

從上面四個數(shù)字中去掉百位和十位上數(shù)字任意一種組成，個位上都會剩下2

個不同的數(shù)字供選擇。因此，對應(yīng)百位和十位上數(shù)字的任意一種組成方法，個位

上都有2種不同的選擇方法，三個數(shù)字共有9個2種，即18中不同的組成方法。

所以，能組成的不重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)為：3X3X2=18（個）。

當(dāng)堂練習(xí)

1.從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有

3班，輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？

答案：一天中乘坐火車有4種走法，乘坐汽車有3種走法，乘坐輪船有2種走法，所以一天

中從甲地到乙地共有：4+3+2=9（種）不同走法。

2.旗桿上最多可以掛兩面信號旗，現(xiàn)有紅色、藍(lán)色和黃色的信號旗各一面，如果用掛信號旗

表示信號，最多能表示出多少種不同的信號？

答案：根據(jù)掛信號旗的面數(shù)可以將信號分為兩類。第一類是只掛一面信號旗，有紅、黃、藍(lán)

3種；第二類是掛兩面信號旗，有紅黃、紅藍(lán)、黃藍(lán)、黃紅、藍(lán)紅、藍(lán)黃6種。所以一共可

以表示出不同的信號

3+6=9（種）。

3.兩次擲一枚骰子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？

答案：兩次的數(shù)字之和是偶數(shù)可以分為兩類，即兩數(shù)都是奇數(shù)，或者兩數(shù)都是偶數(shù)。

因?yàn)轺蛔由嫌腥齻€奇數(shù)，所以兩數(shù)都是奇數(shù)的有3X3=9（種）情況；同理，兩數(shù)都是

偶數(shù)的也有9種情況。根據(jù)加法原理，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有9+9=18（種）。

4.用五種顏色給右圖的五個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問：

共有多少種不同的染色方法？

答案：本題與上一講的例4表面上十分相似，但解法上卻不相同。因?yàn)樯弦恢v例4中，區(qū)域

A與其它區(qū)域都相鄰，所以區(qū)域A與其它區(qū)域的顏色都不相同。本例中沒有一個區(qū)域與其它

所有區(qū)域都相鄰，如果從區(qū)域A開始討論，那么就要分區(qū)域A與區(qū)域E的顏色相同與不同兩

種情況。

當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色相同時，A有5種顏色可選；B有4種顏色可選；C有3種顏色可選;

D也有3種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時不同的染色方法有

5X4X3X3=180（種）。

當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色不同時，A有5種顏色可選；E有4種顏色可選；B有3種顏色

可選；C有2種顏色可選；D有2種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時不同的染色方法有

5X4X3X2X2=240（種）。

再根據(jù)加法原理，不同的染色方法共有

180+240=420（種）。

5.用1,2,3,4這四種數(shù)碼組成五位數(shù)，數(shù)字可以重復(fù)，至少有連續(xù)三位是1的五位數(shù)有

多少個？

答案:將至少有連續(xù)三位數(shù)是1的五位數(shù)分成三類：連續(xù)五位是1、恰有連續(xù)四位是1、恰

有連續(xù)三位是1。

連續(xù)五位是1,只有11111一種；

恰有連續(xù)四位是1,有而天與而兩種情況，其中A可以是2,3,4

中任一個，所以有3+3=6（種）；

恰有連續(xù)三位是1,有FT?,BAm,.Al11C三種情況,其中A,C可

以是2,3,4之一，B可以是1,2,3,4之一

之一。所以對于TTi碗3X4（種），

對于BA111有4X3（種），對于用111C有3X3（種），合起來有

3X4+4X3+3X3=33（種）。

由加法原理，這樣的五位數(shù)共有

1+6+33=40（種）o

在例5中，我們先將這種五位數(shù)分為三類，以后在某些類中又分了若干種情況，其中使

用的都是加法原理。

6.右圖中每個小方格的邊長都是1。一只小蟲從直線AB上的0點(diǎn)出發(fā)，沿著橫線與豎線爬

行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到0點(diǎn)）。如果小蟲爬行的總

長是3,那么小蟲有多少條不同的爬行路線？

答案：如果小蟲爬行的總長是2,那么小蟲從AB上出發(fā)，回到AB上，其不同路線有6條（見

左下圖）；小蟲從與AB相鄰的直線上出發(fā)，回到AB上，其不同路線有4條（見右下圖）。

實(shí)際上，小蟲爬行的總長是3。小蟲爬行的第一步有四種情況:

向左，此時小蟲還在AB上，由上面的分析，后兩步有6條路線；

同理，向右也有6條路線；

向上，此時小蟲在與AB相鄰的直線上，由上面的分析，后兩步有4條路線;

同理，向下也有4條路線。

根據(jù)加法原理，共有不同的爬行路線

6+6+4+4=20（條）

B

1.小明要登上10級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上10級臺階共有多少種不

同的登法？

答案：登上第1級臺階只有1種登法。登上第2級臺階可由第1級臺階上去，或者從平地跨

2級上去，故有2種登法。登上第3級臺階可從第1級臺階跨2級上去，或者從第2級臺階

上去，所以登上第3級臺階的方法數(shù)是登上第1級臺階的方法數(shù)與登上第2級臺階的方法數(shù)

之和，共有1+2=3（種）……一般地，登上第n級臺階，或者從第（n-1）級臺階跨一級

上去，或者從第（n-2）級臺階跨兩級上去。根據(jù)加法原理，如果登上第（n-1）級和第（n

-2）級分別有a種和b種方法，則登上第n級有（a+b）種方法。因此只要知道登上第1

級和第2級臺階各有幾種方法，就可以依次推算出登上以后各級的方法數(shù)。由登上第1級有

1種方法，登上第2級有2種方法，可得出下面一串?dāng)?shù)：

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。

其中從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和?登上第10級臺階的方法數(shù)對應(yīng)這

串?dāng)?shù)的第10個，即89。也可以在圖上直接寫出計算得出的登上各級臺階的方法數(shù)（見下圖）。

2.在左下圖中，從A點(diǎn)沿實(shí)線走最短路徑到B點(diǎn)，共有多少條不同路線？

答案：題目要求從左下向右上走，所以走到任一點(diǎn)，例如右上圖中的D點(diǎn)，不是經(jīng)過左邊的

E點(diǎn)，就是經(jīng)過下邊的F點(diǎn)。如果到E點(diǎn)有a種走法（此處a=6）,到F點(diǎn)有b種走法（此

處b=4）,根據(jù)加法原理，到D點(diǎn)就有（a+b）種走法（此處為6+4=10）。我們可以從左

下角A點(diǎn)開始，按加法原理，依次向上、向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)（見右上圖），最后得到

共有35條不同路線。

3.左下圖是某街區(qū)的道路圖。從A點(diǎn)沿最短路線到B點(diǎn)，其中經(jīng)過C點(diǎn)和D點(diǎn)的不同路線共

有多少條？

答案：本題可以同例2一樣從A標(biāo)到B,也可以將從A到B分為三段，先是從A到C,再從

C到D,最后從D到Bo如右上圖所不，從A到C有3種走法，從C至!|D有4種走法，從D

到B有6種走法。因?yàn)閺腁到B是分幾步走的，所以應(yīng)該用乘法原理，不同的路線共有

3X4X6=72（條）。

4.沿左下圖中箭頭所指的方向從A到B共有多少種不同的走法？

答案：如右上圖所示，先標(biāo)出到C點(diǎn)的走法數(shù)，再標(biāo)出到D點(diǎn)和E點(diǎn)的走法數(shù)，然后標(biāo)出到

F點(diǎn)的走法數(shù)，最后標(biāo)出到B點(diǎn)的走法數(shù)。共有8種不同的走法。

5.有15根火柴，如果規(guī)定每次取2根或3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？

答案：為了便于理解，可以將本題轉(zhuǎn)變?yōu)椤吧?5級臺階，每次上2級或3級，共有多少種

上法？”所以本題的解題方法與例1類似（見下表）。

個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面第3個數(shù)與前面第2個數(shù)之和。取完15根火柴共有28種不同取

法。

C

1.小明要登15級臺階，每步登1級或2級臺階，共有多少種不同登法?

答案：987種。

2.小明要登20級臺階，每步登2級或3級臺階，共有多少種不同登法?

答案：114種

3.有一堆火柴共10根，每次取走1?3根，把這堆火柴全部取完有多少種不同取法，

答案：274種。提示：取走1根有1種方法，取走2根有2種方法，取走3根有4種方法。

將1,2,4作為數(shù)列的前三項，從第4項起每項都是它前三項的和，得到

1,2,4,7,13,24,44,81,149,274。

4.在下圖中，從A點(diǎn)沿最短路徑到B點(diǎn)，共有多少條不同的路線？

B

答案：56條。

5.左下圖是某街區(qū)的道路圖，C點(diǎn)和D點(diǎn)正在修路不能通過，那么從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短

路線有多少條？

人42人4人6人

答案：48條（見下圖）。

266x呷

I1一

?-—

1一40

T1,

A二130

O37

I11T-1'8

一

2二

34-6—

T—

-1—F

111r

6.右上圖是八間房子的示意圖，相鄰兩間房子都有門相通。從A點(diǎn)穿過房間到達(dá)B處，如果

只能從小號碼房間走向大號碼房間，那么共有多少種不同的走法？

答案：55種.

當(dāng)堂檢測

1、如果兩個四位數(shù)的差等于8921,那么就說這兩個四位數(shù)組成一個數(shù)對，問這

樣的數(shù)對共有多少個？

答案:從兩個極端來考慮這個問題：最大為9999-1078=8921,最小為9921T

000=8921,所以共有9999-9921+1=79個，或1078To00+1=79個

2、一本書從第1頁開始編排頁碼，共用數(shù)字2355個，那么這本書共有多少頁？

答案:按數(shù)位分類：一位數(shù)：1?9共用數(shù)字1*9=9個；二位數(shù)：10?99共用數(shù)

字2*90=180個;

三位數(shù)：100?999共用數(shù)字3*900=2700個，所以所求頁數(shù)不超過999頁，三

位數(shù)共有：2355-9-180=2166,2166+3=722個，所以本書有722+99=821頁。

3、上、下兩冊書的頁碼共有687個數(shù)字，且上冊比下冊多5頁，問上冊有多

少頁？

答案:一位數(shù)有9個數(shù)字，二位數(shù)有180個數(shù)字，所以上、下均過三位數(shù)，利用

和差問題解決:和為687,差為3*5=15,大數(shù)為：(687+15)+2=351個(351-18

9)+3=54,54+99=153頁。

4、從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這10個數(shù)中，任取5個數(shù)相加的和與

其余5個數(shù)相加的和相乘，能得到多少個不同的乘積。

答案:從整體考慮分兩組和不變：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55從極端考慮分成

最小和最大的兩組為(1+2+3+4+5)+(6+7+8+9+10)=15+40=55最接近的兩組為2

7+28所以共有27-15+1=13個不同的積。

另從15到27的任意一數(shù)是可以組合的。

5、將所有自然數(shù),自1開始依次寫下去得到：12345678910H1213……，試

確定第206788個位置上出現(xiàn)的數(shù)字。

答案:與前面的題目相似，同一個知識點(diǎn)：一位數(shù)9個位置，二位數(shù)180個位

置，三位數(shù)2700個位置，四位數(shù)36000個位置，還剩：206788-9-180-2700-3600

0=167899,1678994-5=335794所以答案為33579+100=33679的第4個數(shù)字7.

6、用1分、2分、5分的硬幣湊成1元，共有多少種不同的湊法？

答案:分類再相加：只有一種硬幣的組合有3種方法；1分和2分的組合：其中

2分的從1枚到49枚均可，有49種方法；1分和5分的組合：其中5分的從1枚到19

枚均可，有19種方法；2分和5分的組合：其中5分的有2、4、6、……、18共9種

方法；1、2、5分的組合：因?yàn)?=1+2*2,10=2*5,15=1+2*7,20=2*10,....,9

5=1+2*47,共有2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+44+47=46

1種方法，共有3+49+19+9+461=541種方法。

當(dāng)堂總結(jié)

家庭作業(yè)

1.南京去上?？梢猿嘶疖?、乘飛機(jī)、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛

機(jī)、8班汽車和4班輪船，那么共有多少種不同的走法？

答案：38種。

2.光明小學(xué)四、五、六年級共訂300份報紙，每個年級至少訂99份報紙。問：共有多

少種不同的訂法？

答案：10種。提示：沒有年級訂99份時，只有三個年級各訂100份一種訂法；只有一個年

級訂99份時，另外兩個年級分別訂100份和101份，有6種訂法；有兩個年級訂99份時，

另外一個年級訂102份，有3種訂法。

3.將10顆相同的珠子分成三份，共有多少種不同的分法？

答案：8種。

4.在所有的兩位數(shù)中，兩位數(shù)碼之和是偶數(shù)的共有多少個？

答案：45個。提示：兩個數(shù)碼都是奇數(shù)的有5X5（個），兩個數(shù)碼都是偶數(shù)的有4X5

（個）。

5.用五種顏色給右圖的五個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色,相鄰的區(qū)域染不同的顏色。

問：共有多少種不同的染色方法？

答案：420種。

解：如右圖所示，按A,B,C,D,E順序染色。若B,D顏色相同，則有

5X4X3X1X3=180（種）；

若B,D顏色不同，則有

5X4X3X2X2=240（種）。

共有不同的染色方法180+240=420（種）。

6.用1,2,3這三種數(shù)碼組成四位數(shù)，在可能組成的四位數(shù)中，至少有連續(xù)兩位是2

的有多少個？

答案：21個。提示：與例5類似，連續(xù)四位都是2的只有1種，恰有連續(xù)三位是2的有4

種，恰有連續(xù)兩位是2的有16種。

7.下圖中每個小方格的邊長都是1。有一只小蟲從0點(diǎn)出發(fā)，沿圖中格線爬行，如果它

爬行的總長度是3,那么它最終停在直線AB上的不同爬行路線有多少條？

AB

0

答案：10條。提示：第一步向下有5條，第一步向上有1條，第一步向左或向右各有2條。

8.在下面的圖中（單位：厘米）

51281

ABCD

F

G

H

I

求：（1）一共有幾個長方形？

（2）所有這些長方形面積的和是多少？

解（1）AE這條線段上有多少條線段就是長有多少種取法，很明顯得出長有10種取法;

同理，寬也有10種取法。

一共有（10X10=）100（個）長方形。

解（2）長的長度有10種：5、12、8、1、17、20、9、25、21、26,寬的長度也有10

種：2、4、7、3、6、11、10、13、14、16。所有這些長方形的面積和=（5+12+8+1+17+20+9+25+21+26）

X（2+4+7+3+6+11+10+13+14+16）=144X86=12384（平方厘米）

第一釬加來原理

作業(yè)完成情況

知識梳理

加法原理：完成一件工作共有N類方法。在第一類方法中有叫種不同的方法，在第二類

方法中有叱種不同的方法，……，在第N類方法中有叫種不同的方法，那么完成這件工作

共有N=mi+m2+m3H種不同方法。

運(yùn)用加法原理計數(shù)，關(guān)鍵在于合理分類，不重不漏。要求每一類中的每一種方法都可以

獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同（即分類不重）：完成此任務(wù)的任

何一種方法，都屬于某一類（即分類不漏）。合理分類也是運(yùn)用加法原理解決問題的難點(diǎn)，不

同的問題，分類的標(biāo)準(zhǔn)往往不同，需要積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)。

乘法原理：完成一件工作共需N個步驟：完成第一個步驟有nh種方法，完成第二個步驟

有叱種方法，…，完成第N個步驟有m“種方法，那么，完成這件工作共有nhXmzX…Xm”

種方法。

運(yùn)用乘法原理計數(shù)，關(guān)鍵在于合理分步。完成這件工作的N個步驟，各個步驟之間是相

互聯(lián)系的，任何一步的一種方法都不能完成此工作，必須連續(xù)完成這N步才能完成此工作；

各步計數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此工作的方法也不同。

這兩個基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)，教學(xué)時要先通過生活中淺顯的實(shí)例,如購物問題、

行程問題、搭配問題等，幫助孩子理解兩個原理，再讓孩子學(xué)習(xí)運(yùn)用原理解決問題。

運(yùn)用兩個原理解決的都是比較復(fù)雜的計數(shù)問題，在解題時要細(xì)心、耐心、有條理地分析

問題。計數(shù)時要注意區(qū)分是分類問題還是分步問題，正確運(yùn)用兩個原理。靈活機(jī)動地分層重

復(fù)使用或綜合運(yùn)用兩個原理，可以巧妙解決很多復(fù)雜的計數(shù)問題。小學(xué)階段只學(xué)習(xí)兩個原理

的簡單應(yīng)用。

教學(xué)重-難皮

一：兩種原理的基礎(chǔ)內(nèi)容的記憶和計算的方法。

兩種計數(shù)原理的區(qū)分和綜合應(yīng)用。

特色講解

【題目】：1

用1角、2角和5角的三種人民幣（每種的張數(shù)沒有限制）組成1元錢，有

多少種方法?

【題目】：2

各數(shù)位的數(shù)字之和是24的三位數(shù)共有多少個？

【題目】：3

有一批長度分別為1,2,3,4,5,6,7和8厘米的細(xì)木條若干，從中選取

適當(dāng)?shù)?根木條作為三條邊可以圍成多少個不同的三角形？

【題目】：4

一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)在有10把鑰匙和10把鎖全部都搞亂了，最多要

試驗(yàn)多少次才能全部配好鎖和相應(yīng)的鑰匙？

【題目】：5

某人到食堂去買飯菜，食堂里有4種葷菜，3種蔬菜，2種湯。他要各買一

樣，共有多少種不同的買法？

【題目】：6

用數(shù)字0,3,8,9能組成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？

力\

當(dāng)堂練習(xí)

A

1.從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有

3班，輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？

2.旗桿上最多可以掛兩面信號旗，現(xiàn)有紅色、藍(lán)色和黃色的信號旗各一面，如果用掛信號旗

表示信號，最多能表示出多少種不同的信號？

3.兩次擲一枚骰子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？

4.用五種顏色給右圖的五個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問:

共有多少種不同的染色方法？

A

C

BD

E

5.用1,2,3,4這四種數(shù)碼組成五位數(shù)，數(shù)字可以重復(fù)，至少有連續(xù)三位是1的五位數(shù)有

多少個？

6.右圖中每個小方格的邊長都是1。一只小蟲從直線AB上的0點(diǎn)出發(fā)，沿著橫線與豎線爬

行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到0點(diǎn)）。如果小蟲爬行的總

長是3,那么小蟲有多少條不同的爬行路線？

B

1.小明要登上10級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上10級臺階共有多少種不

同的登法？

2.在左下圖中，從A點(diǎn)沿實(shí)線走最短路徑到B點(diǎn)，共有多少條不同路線？

3.左下圖是某街區(qū)的道路圖。從A點(diǎn)沿最短路線到B點(diǎn)，其中經(jīng)過C點(diǎn)和D點(diǎn)的不同路線共

有多少條？

4.沿左下圖中箭頭所指的方向從A到B共有多少種不同的走法?

5.有15根火柴，如果規(guī)定每次取2根或3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法?

C

1.小明要登15級臺階,每步登1級或2級臺階，共有多少種不同登法?

2.小明要登20級臺階,每步登2級或3級臺階，共有多少種不同登法？

3.有一堆火柴共10根,每次取走1?3根，把這堆火柴全部取完有多少種不同取法,

4.在下圖中，從A點(diǎn)沿最短路徑到B點(diǎn)，共有多少條不同的路線？

5.左下圖是某街區(qū)的道路圖，C點(diǎn)和D點(diǎn)正在修路不能通過，那么從A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短

路線有多少條？

1-2-6-6-1a-48B

I?????

j-j—彳-O-12-3(0

「第7-『28

,?_3-4-5-6

A^1-I-I-I-1

6.右上圖是八間房子的示意圖，相鄰兩間房子都有門相通。從A點(diǎn)穿過房間到達(dá)B處，如果

只能從小號碼房間走向大號碼房間，那么共有多少種不同的走法？

當(dāng)堂檢測

1、如果兩個四位數(shù)的差等于8921,那么就說這兩個四位數(shù)組成一個數(shù)對，問這

樣的數(shù)對共有多少個？

2、一本書從第1頁開始編排頁碼，共用數(shù)字2355個，那么這本書共有多少頁？

3、上、下兩冊書的頁碼共有687個數(shù)字，且上冊比下冊多5頁，問上冊有多

少頁？

4、從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這10個數(shù)中，任取5個數(shù)相加的和與

其余5個數(shù)相加的和相乘，能得到多少個不同的乘積。

5、將所有自然數(shù)，自1開始依次寫下去得到：12345678910H1213……，試

確定第206788個位置上出現(xiàn)的數(shù)字。

6、用1分、2分、5分的硬幣湊成1元，共有多少種不同的湊法?

當(dāng)堂總結(jié)

家庭作業(yè)

1.南京去上海可以乘火車、乘飛機(jī)、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛

機(jī)、8班汽車和4班輪船，那么共有多少種不同的走法?

2.光明小學(xué)四、五、六年級共訂300份報紙，每個年級至少訂99份報紙。問：共有多

少種不同的訂法？

3.將10顆相同的珠子分成三份，共有多少種不同的分法?

4.在所有的兩位數(shù)中，兩位數(shù)碼之和是偶數(shù)的共有多少個？

5.用五種顏色給右圖的五個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色,相鄰的區(qū)域染不同的顏色。

問：共有多少種不同的染色方法？

6.用1,2,3這三種數(shù)碼組成四位數(shù)，在可能組成的四位數(shù)中，至少有連續(xù)兩位是2

的有多少個？

7.下圖中每個小方格的邊長都是1。有一只小蟲從0點(diǎn)出發(fā)，沿圖中格線爬行，如果它

爬行的總長度是3,那么它最終停在直線AB上的不同爬行路線有多少條？

8.在下面的圖中（單位：厘米）

51281

ABCD

F

G

H

I

第二耕圖形什核

作業(yè)完成情況

知識梳理

幾何圖形計數(shù)問題往往沒有顯而易見的順序，而且要數(shù)的對象通常是重疊交

錯的，要準(zhǔn)確計數(shù)就需要一些智慧了.實(shí)際上，圖形計數(shù)問題，通常采用一種簡

單原始的計數(shù)方法一一枚舉法.具體而言，它是指把所要計數(shù)的對象一一列舉出

來，以保證枚舉時無一重復(fù)、.無一遺漏，然后計算其總和.正確地解答較復(fù)雜

的圖形個數(shù)問題，有助于培養(yǎng)同學(xué)們思維的有序性和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

教學(xué)重-雄點(diǎn)

簡單圖形計數(shù)的方法。

二：復(fù)雜圖形計數(shù)的方法和找規(guī)律的方法。

特色講解

例（1）數(shù)出右圖中總共有多少個角

分析：在NAOB內(nèi)有三條角分線0C1、0C2、0C3,/AOB被這三條角分線分成

4個基本角，那么NAOB內(nèi)總共有多少個角呢？首先有這4個基本角，其次

是包含有2個基本角組成的角有3個（即NA0C2、ZC10C3,ZC20B）,然

后是包含有3個基本角組成的角有2個（即NA0C3、ZC10B）,最后是包含

有4個基本角組成的角有1個（即NAOB）,所以NAOB內(nèi)總共有角：

4+3+2+1=10（個）

解：4+3+2+1=10（個）

答：圖中總共有10個角。

例（2）數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個三角形？

分析：①要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個分點(diǎn)，各分成

3條基本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個分點(diǎn)，各分成4條基本線段.

所以圖中總共有線段是：

（3+2+1）X5+（4+3+2+1）X3=30+30=60（條）.

②要數(shù)有多少個三角形，先看在aAGH中，在GH上有3個分點(diǎn)，分成基本小三

角形有4個.所以在aAGH中共有三角形4+3+2+1=10（個）.在AAMN與AABC中，三

角形有同樣的個數(shù)，所以在aABC中三角形個數(shù)總共：

(4+3+2+1)X3=10X3=30(個)

解：：①在aABC中共有線段是：

(3+2+1)X5+(4+3+2+1)X3=30+30=60(條)

②在4ABC中共有三角形是：

(4+3+2+1)X3=10X3=30(個)

答：在aABC中共有線段60條，共有三角形30個。

例（3）數(shù)一數(shù)圖中長方形的個數(shù)

分析：AB邊上分成的線段有：5+4+3+2+1=15.

BC邊上分成的線段有：3+2+l=6.

解：共有長方形：

（5+4+3+2+1）X（3+2+1）=15X6=90（個）

答：共有長方形90個。

例（4）數(shù)一數(shù)圖中有多少個正方形（其中每個小方格都是邊長為1個長度單位的正方

形）

分析：為敘述方便，我們規(guī)定最小正方形的邊長為1個長度單位，又稱為基本線段,

圖中共有五類正方形.

①以一條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：

6X5=30（個）.

②以二條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：

5X4=20（個）.

③以三條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：

4X3=12（個）.

④以四條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：

3X2=6（個）.

⑤以五條基本線段為邊的正方形個數(shù)共有：

2X1=2（個）.

解：正方形總數(shù)為：

6X5+5X4+4X3+3X2+2X1

=30+20+12+6+2=70（個）

例（5）數(shù)一數(shù)圖中三角形的個數(shù)

分析：這樣的圖形只能分類數(shù)，可以采用類似數(shù)正方形的方法，從邊長為一條基本線

段的最小三角形開始.

I.以一條基本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數(shù)為：

W①上=1+2+3+4=10（個）.

②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：

W①下=1+2+3=6（個）.

II.以兩條基本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：

W②上=1+2+3=6（個）.

②尖朝下的三角形只有一個，記為W②下=1（個）.

III.以三條基本線段為邊的三角形：

①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數(shù)為：

W③上=1+2=3（個）.

②尖朝下的三角形零個，記為W③下=0（個）.

W.以四條基本線段為邊的三角形，只有一個，記為：

W④上=1（個）.

解：所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27（個）.

答：三角形的總數(shù)是個。

例（6）數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個三角形？

分析：分析這是個對稱圖形，我們可按如下三步順序來數(shù)：

第一步：大矩形ABCD可分為四個相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD,每

個小矩形內(nèi)所包含的三角形個數(shù)是相同的.

第二步：每兩個小矩形組合成的圖形共有四個，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD,

每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.

第三步：每三個小矩形占據(jù)的部分圖形共有四個：如aABD、AADC>△ABC、△

DBC,每一個這樣的圖形中所包含的三角形個數(shù)是相同的.

最后把每一步中每個圖形所包含三角形個數(shù)求出相加再乘以4就是整個圖形中

所包含的三角形的個數(shù).

解：：I.在小矩形AEOH中：

①由一個三角形構(gòu)成的有8個.

②由兩個三角形構(gòu)成的三角形有5個.

③由三個或三個以上三角形構(gòu)成的三角形有5個.

這樣在一個小矩形內(nèi)有17個三角形.

H.在由兩個小矩形組合成的圖形中，如矩形AEGD,共有5個三角形.

HI.由三個小矩形占據(jù)的部分圖形中，如AABC,共有2個三角形.

所以整個圖形共有三角形個數(shù)是：

(8+5+5+5+2)X=25X4=100(個)

答：圖中一共有100個三角形。

當(dāng)堂練習(xí)

一、填空題：

1.右圖一共有（）個長方形？

答案：一共有321個.

解：①上橫大長方形內(nèi)有長方形：

（8+7+6+5+4+3+2+1）x（1+2）=108（個）;⑴

②下橫大長方形內(nèi)有長方形：

（7x6+2）x（3x2+2）=63（個）;

③豎大長方形內(nèi)有長方形：

（5x4+2）x（7x6+2）=210（個）；

④中間重復(fù)的長方形共有：

（5x4+2）x（3x2+2）x2=60（個）.

⑤圖中共有長方形：108+63+210-60=321（個）.

2.右圖一共有（）個長方形？

答案：一共有64個.

3.右圖一共有（）個長方形？

答案：一共有107個.

解：（1+2+3+4）x（1+2+3）=60（個）;

（1+2+3）x（1+2+3）=36（個）;

1+2=3（個）;

（1+2）x4+2=14（個）;

圖中共有長方形：60+36-3+14=107（個）.

4.右圖一共有（）個正方形?

答案：一共有18個.

解：分三類計算，邊長是1的正方形有

2+4=13（個），邊長為2的正方形有4（個），邊長為3的正方形有1個.

因此，圖中共有正方形13+4+1=18（個）.

5.右圖一共有（）個長方形？

答案：一共有79個.

解：在大長方形中共有長方形：（3+2+l）x（3+2+l）=36（個）.

在小長方形中共有長方形：（3+2+1）x（3+2+1）=36（個）.

在兩個長方形中增加的長方形有：8（個）.

在大長方形和小長方形中重復(fù)計算了的長方形個數(shù)為1個.

所以,這個圖中長方形的個數(shù)為：36+36+8-1=79（個）.

6.右圖一共有（）個平行四邊形？

答案：右圖一共有（150）個平行四邊形.

（5x4+2）x（6x5+2）=150（個）.

點(diǎn)金術(shù):與算平行四邊形的方法一樣.

7.右圖一共有（）個梯形？

答案：一共有（90）個.

（6x5+2）x（4x3+2）=90（個）.

8.右圖一共有（）個正方形？

答案：一共有（55）個.

解:分類進(jìn)行統(tǒng)計，得

邊長為1的正方形有5x5=25（個）;

邊長為2的正方形有4x4=16（個）;

邊長為3的正方形有3x3=9（個）；

邊長為4的正方形有2x2=4（個）;

邊長為5的正方形有l(wèi)x1=1（個）.

圖中共有正方形：25+16+9+4+1=55（個）.

9.右圖一共有（）個正方形？

答案：一共有60個.

解:分類進(jìn)行統(tǒng)計，得

邊長為1的正方形有4x7=28（個）；

邊長為2的正方形有3x6=18（個）；

邊長為3的正方形有2x5=10（個）;

邊長為4的正方形有1x4=4（個）.

圖中共有正方形：4x7+3x6+2x5+1x4=60（個）.

10.右圖一共有（）個正方形?

答案：右圖一共有（110）個正方形.

解：圖中A3CD是一個4x10方格，其中正方

形的個數(shù)是：

4x10+3x9+2x8+lx7=90（個）;

圖中CEPN是一個4x6方格，其中正方形

(10)

的個數(shù)是：

4x6+3x5+2x4+1x3=50（個）；

在上面的兩項統(tǒng)計中，CDMN內(nèi)的正方形被重復(fù)計算了一次，應(yīng)

該扣除.因CDMN是4x4方格，其中正方形的個數(shù)是：

4x4+3x3+2x2+1x1=30（個）.

所以，圖中正方形的個數(shù)是：90+50-30=110（個）.

二、解答題：

11.下圖共有幾個正方形?

答案：一共有95個.

解：①中間部分的正方形有：

5卬42+32+22+12=55（個）;

②上、下部分的正方形有：

（4+2+1）x2=14（個）;

③左、右部分的正方形有：

（9+2+2）x2=26（個）.

共有正方形：55+14+26=95（個）.

12.下圖共有幾個正方形?

答案：共有46個.

解：①正擺著的正方形有：

4x3+3x2+2x1=20（個）;

②斜擺著的正方形有：

a.最小的正方形有17個；

兒由4個小正方形組成的正方形有8個，

c.由9個小正方形組成的正方形有1個.

③圖中共有正方形：20+17+8+1=46（個）.

13.在一個圖案中有100個矩形、100個菱形和40個正方形,這個圖案中至

少有多少個平行四邊形？

答案：至少有160個.

解：因?yàn)榫匦巍⒘庑?、正方形都是平行四邊形，且正方形既是矩形也?/p>

菱形,所以，至少有平行四邊形：100+100-40=160（個）.

14.三個同樣的正方形框架,擺放在適當(dāng)?shù)奈恢?最多可以數(shù)出多少個正方形

來？

答案：最多有7個.

解：最多有7個正方形.擺法如右圖.

B

一、填空題

1.下圖中長方形(包括正方形)總個數(shù)是—

答案：90

利用例1和例4公式可直接計算：

(5+4+3+2+1)X(3+2+1)

=15X6

=90(個)

［注］注意，由長方形、正方形的意義可知，正方形一定是長方形，但反之不然.故求長

方形個數(shù)時,不必把正方形分開考慮.

2.下圖中有正方形個,三角形個，平行四邊形__個，梯形

一個.

答案：3個正方形；18個三角形；6個平行四邊形；8個梯形.

3.下圖中共出現(xiàn)了個長方形.

答案：18

根據(jù)這個圖形的特點(diǎn)，我們先數(shù)出下圖(1)中長方形的個數(shù)為(2+1)義

(2+1)=9個；然后在圖⑴的內(nèi)部添上一個長方形得到圖(2).這時新產(chǎn)生的長方

形有(2+l)X(2+l)=9個.至此已將圖(1)還原為題圖，同時題圖中的長方形已全

部數(shù)完.因此,原圖中共有長方形.

(2+1)X(2+1)+(2+1)X(2+1)=18(個).

⑴⑵

4.先把正方形平均分成8個三角形.再數(shù)一數(shù),它一共有個大小不同

的三角形.

答案：16

具體分法如下圖所示.基中小三角形有8個，由兩個小三角形組成的三角形

有4個，由四個小三角形組成的三角形有4個,所以共有三角形8+4+4=16（個）.

5.圖形中有個三角形.

答案：72/\/\

把圖中最以二用尚?.為捻鼠然后按含有幾個基數(shù)的三角形分類進(jìn)行解答.

含一個基數(shù)的三角形，共有16個；含兩個基數(shù)的三角形，共有24個；含四

個基數(shù)的三角形，共有20個；含八個基數(shù)的三角形，共有8個；含十六個基數(shù)

的三角形，共有4個.因此，整個圖形中共有

16+24+20+8+4=72（個）三角形.

6.如下圖，一個三角形分成36個小三角形.把每個小三角形涂上紅色或藍(lán)色,

兩個有公共邊的小三角形