第三屆“釣魚杯”高中數(shù)學(xué)競賽暨2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬（無答案）

暨2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬命題人：微分憂傷，積分希望注意事項：1.本試卷滿分160分，分為選擇題60分+填空題20分+解答題70分+附加題10分。2.答卷前，請將自己的學(xué)校（全稱）、高中畢業(yè)年份、QQ昵稱、電子郵箱填寫在答題卡上。3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的。1.已知：x+y+z=1，x2+y2+z2=2，x3+y3+z3=3，則x5+y5+z5的值為A.5B.6C.8D.92.m個人中存在兩個人生日相同的概率最接近50%的m值是A.10B.20C.50D.1003.n個人編號1~n，n件快遞編號1~n，人的編號和快遞的編號一一對應(yīng)，記n個人全部拿錯快遞的概率為pn，則limPn的值為n→∞A.B.C.D.4.圓內(nèi)均勻隨機地取三個點，三點確定的新圓在舊圓內(nèi)的概率是A.0.4B.0.45C.0.5D.0.65.下面哪個式子進行因式分解后的各個最簡因式的各項系數(shù)的絕對值不全是1A.x39?1B.x57?1C.x91?1D.x105?16.n∈[1,1000000]且n∈N+，能滿足n3等于三個自然數(shù)的立方之和的n占全部n的比例在以下哪個區(qū)間A.[0%,30%)B.[30%,70%)C.[70%,99%)D.[99%,100%]7.已知直線方程為=1，n∈則該直線的軌跡的包絡(luò)線與坐標(biāo)軸圍成的面積是A.B.C.D.8.已知n∈N+，記滿足(n17+9,(n+1)17+A.11B.31C.51D.71二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。9.設(shè)非負整數(shù)a,b,C滿足：?u,v∈I0,11,u<v,?n∈N+S.t.u<{an2+bn+C}<v，這里{x}表示實數(shù)x的小數(shù)部分，即x與不大于x的最大整數(shù)的差.下列四組(a,b,C)中，符合要求的是A.(0,3,1)B.(4,0,3)C.(2,2,2)D.(3,1,7)10.記復(fù)數(shù)z的實部和虛部分別為Rez和Imz，定義復(fù)數(shù)w=(z1+z1)2.已知z滿足Rez2+2RezImz+2Imz2+Rez+Imz=1，則w的模長可能是A.0B.1C.6D.711.下列四個命題中，真命題有A.設(shè)x,y,z≥?1,x+y+z=1，則9xyz2+8xyz(x2+y2+z2)+1≥30xyz.B.存在正整數(shù)列{an}，使得只有有限個正整數(shù)k，滿足ak+1>k2ak?1.C.存在積為1的正實數(shù)a,b,C,d，滿足a?1+b?1+C?1+d?1+9(a+b+C+d)?1=6.D.對任意實數(shù)a1,a2,…,an和正實數(shù)b1,b2,…,bn,C，在一個n行n列的方格表中的位于第i行j列的方格里填入aiaj(bi+bj)?C，則所有方格的數(shù)之和非負.12.設(shè)函數(shù)00，定義f(x=fx，對正整數(shù)n，fnx為fn?1x的導(dǎo)函數(shù)，令Bn=下列結(jié)論中正確的是A.B122111=0.C.?x∈R,n∈N+,?+tanx+1≥三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.設(shè)n為1~1000的整數(shù)，n除以7,11,13的余數(shù)分別為x,y,z，則n用含有x,y,z的表達式表示為▲.14.設(shè)拋物線的方程是x2=4y，當(dāng)拋物線在x軸上作無滑動的滾動時，求焦點形成的軌跡的方程▲.15.網(wǎng)上有一張圖流傳甚廣，如右圖所示.已知兩個二階矩陣，左邊矩陣的每個元素都是不超過99的正整數(shù)，右邊矩陣的每個元素都是不超過9的正整數(shù)，求按照這種方法計算結(jié)果正確的概率是▲.16.數(shù)論娘和代數(shù)娘都是幾何娘的好朋友，她們?nèi)齻€在玩猜生日的游戲，幾何娘的生日是m月n日，數(shù)論娘和代數(shù)娘都知道幾何娘的生日是下列10組日期中的一天，幾何娘把m值告訴了數(shù)論娘，把n值告訴了代數(shù)娘，幾何娘問她們是否知道她的生日是哪一天.數(shù)論娘說：如果我不知道的話，代數(shù)娘肯定也不知道.代數(shù)娘說：本來我也不知道，但是現(xiàn)在我知道了.數(shù)論娘說：哦，那我也知道了.請根據(jù)以上對話推斷出幾何娘的生日是▲.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本題滿分10分）=1Xk2≥sec=1XkXk+1cosθk)，其中X1=Xn+1，n≥3，Σ=1θk=π,θk∈18.（本題滿分12分）(1)已知四面體Ω是任意四面體，設(shè)a,b,c,d,e,f分別是四面體的六條邊，直接寫出四面體體積V關(guān)于a,b,c,d,e,f的表達式.(2)設(shè)θij是四面體Ω的內(nèi)二面角，則對任意實數(shù)X1,X2,X3,X4,求證:Σ=1Xk2≥2Σ≤i<j≤4XiXjcosθij.19.（本題滿分12分）(1)已知{Fn}是斐波那契數(shù)列，F(xiàn)1=F2=1，求Σ的值.(2)考慮數(shù)列滿足X0=1，Xn=是否有{Xn}為整數(shù)數(shù)列，如果是，請給出證明；如果不是，請舉一個反例.20.（本題滿分12分）(1)證明π<2+3(不得直接代入數(shù)值計算).(2)已知θ1+θ2+θ3+θ4=π,求2sinθ1+3sinθ2+5sin21.（本題滿分12分）記球體半徑為r，我們熟知：二維球體(圓)的體積(面積)是V2=π?r2，三維球體的體積是π?r3.現(xiàn)已知：n維球體體積和rn成正比，記Vn=an?rn(定義一維球體的體積為：V1=(1)求a4的值和{an}的通項公式.(2)求滿足r=1的所有正偶數(shù)維度球體的體積的數(shù)值之和.22.（本題滿分12分）設(shè)z∈C,a∈?1,1,n∈N+.定義多項式fnz=Σ=0Cakn?kzk.,n=5時，解方程：fnz=