2023-2024學年云南省昆明市西山區(qū)高二上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1云南省昆明市西山區(qū)2023-2024學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以或，所以或，又因為，所以，故選：C2.已知復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意知，，則，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限.故選：A3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B4.我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出.某市政府為了制定居民節(jié)約用水相關政策，抽樣調(diào)查了該市200戶居民月均用水量（單位：），繪制成頻率分布直方圖如圖1，則下列說法不正確的是（）A.圖中小矩形的面積為0.24B.該市居民月均用水量眾數(shù)約為C.該市大約有85%的居民月均用水量不超過D.這200戶居民月均用水量的中位數(shù)大于平均數(shù)【答案】D【解析】由，可得，所以，故A正確；由題意可知該市居民月均用水量眾數(shù)約為，故B正確；由題意可得該市居民月均用水量不超過的頻率為：，故C正確；設200戶居民月均用水量的中位數(shù)為，因為第一個矩形的面積為0.04，第二個矩形的面積為0.3，第三個矩形的面積為0.24，所以中位數(shù),則，這200戶居民月均用水量的平均數(shù)因為，所以這200戶居民月均用水量的中位數(shù)小于平均數(shù)，故D不正確．故選：D．5.已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，拋物線：（）的焦點與的右焦點重合，為上的點，三角形的周長為5，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】根據(jù)橢圓方程可得，的周長為，可得；所以的右焦點為，拋物線的焦點為，即，解得.故選：C6.已知定義在上的函數(shù)，滿足，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由，知函數(shù)關于點對稱，由，知函數(shù)關于直線對稱，所以函數(shù)的周期為.又，所以，，所以，又，所以，所以.故選：D7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，因為，且，解得或，所以，，所以.故選：A8.一支運輸車隊某天上午依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務，第一輛車于早上8時出發(fā)，以后每隔15分鐘發(fā)出一輛車.假設所有司機都連續(xù)開車，并都在中午12時停下來休息.每輛車行駛的速度都是80千米/小時，截止到12時這個車隊所有車輛一共行駛了2660千米，則該車隊一共發(fā)出（）輛車A.14 B.14或19 C.15 D.15或16【答案】A【解析】設共發(fā)出n輛車，第n輛車行駛時間為，其中.因第一輛車于早上8時出發(fā)，以后每隔15分鐘發(fā)出一輛車，則，即為等差數(shù)列.又設前n項和為，則.但注意到，，則.故選：A二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知正四面體的棱長等于2，則（）A.點到平面的距離為B.直線與所成角為C.直線與平面所成角的余弦值為D.若點分別為棱，的中點，則【答案】BCD【解析】對于AC選項，取三角形的中心為D，連接OD，連接AD至E，則平面ABC，則點到平面的距離為OD.又D為三角形重心，則E為CB中點，則，，故OD，故A錯誤；即為直線與平面所成角，則，故C正確；對于BD選項，如圖將正四面體放置于一正方體內(nèi)部，則正方體棱長.如圖，因，//，則四邊形為平行四邊形，則//，則直線與所成角即為與所成角，故夾角為，故B正確；因分別為正方體上下底面中心，則長度等于正方體棱長，故D正確.故選：BCD10.設，為橢圓：的左右頂點，，為的左、右焦點，點在上，則（）A.當橢圓與直線相切時，B.在橢圓上任意取一點，過作軸的垂線段，為垂足，動點滿足，則點的軌跡為圓C.若點不與，重合，則直線，的斜率之積為D.不存在點，使得【答案】AB【解析】A選項，由消去并化簡得，，得，解得，A選項正確B選項，設，由于，所以，代入并化簡得，所以點的軌跡是圓，B選項正確.C選項，設，，則，，所以C選項錯誤.D選項，，，當時，，所以D選項錯誤.故選：AB11.已知，點是平面內(nèi)一點，記，，則（）A.當，時，則在方向上的投影向量為B.當，時，為銳角的充要條件是C.當時，點、、三點共線D.當，時，動點經(jīng)過的重心【答案】ACD【解析】對于A選項，當，時，則在方向上的投影向量為，A對；對于B選項，當，時，角為銳角且、不共線，即，解得且，所以，為銳角的充要條件是，B錯；對于C選項，因為，即，所以，，即，又因為、有公共點，故點、、三點共線，C對；對于D選項，設線段的中點為，則，因為，則，此時，動點經(jīng)過的重心，D對.故選：ACD.12.已知直線：與圓：，若存在點，過點向圓引切線，切點為，，使得，則可能的取值為（）A.2 B.0 C. D.【答案】BCD【解析】因為即，令，解得，所以過定點，圓，圓心為，半徑為，由切線性質(zhì)可知：當時，，，因為存在使得，所以，記到的距離為，又因為，當最大時，此時，所以，所以，所以，解得，又因為，所以可取，故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設為等差數(shù)列的前項和.若，，則______.【答案】15【解析】，，又，解得，.故答案為：15.14.米斗是稱量糧食的量器，它有著吉祥的宮意，是豐饒富足的象征，是古代官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具.某課外興趣小組為了解米斗的幾何結(jié)構(gòu)，在通用技術教師的指導下，用木制榫卯結(jié)構(gòu)的方式制作了一個米斗如圖，上寬下窄呈方形，近似于一個正四棱臺，斗口邊長為3米，斗底邊長為2米，斗高3米，則該米斗能裝米______升（忽略木板厚度，1升立方米）.【答案】【解析】由題意可得，上底面面積，下底面面積，高，則米斗的體積，則該米斗能裝米升.故答案為：15.已知雙曲線：（，）的左、右焦點為，，過的直線與軸交于點，點在上，且滿足，，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】如圖，設，，，，其中.由，則，則.又，則，將A點坐標代入，可得則，又因，則.故答案為：16.已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點和三條對稱軸，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由，可得，根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知若在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點和三條對稱軸，可得，解得，所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題（共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在中，角，，對應邊分別為,,且.（1）求角；（2），，點在上，，求的長.解：（1）由題意知，，得，由余弦定理，得，即，所以，由，得.（2）由（1）知，，所以，即，由，解得，即，設，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，即，解得，所以.18.已知函數(shù)為奇函數(shù)，.（1）求的值；（2）若，，證明：.解：（1）由題意可知函數(shù)的定義域為，利用奇函數(shù)可知，解得，此時為奇函數(shù)；所以（2）易知，由可得，即滿足，易知在上是單調(diào)遞增，且，，即可得函數(shù)在區(qū)間上存在零點，所以，所以，由可令，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，；即可得.19.已知正項數(shù)列前項和為，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，則，即，且，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，則，當時，，當時，也滿足，則，所以，則.20.某電商專門生產(chǎn)某種電子元件，生產(chǎn)的電子元件除編號外，其余外觀完全相同，為了檢測元件是否合格，質(zhì)檢員設計了圖甲、乙兩種電路.（1）在設備調(diào)試初期，已知該電商試生產(chǎn)了一批電子元件共5個，只有2個合格，質(zhì)檢員從這批元件中隨機抽取2個安裝在甲圖電路中的，處，請用集合的形式寫出試驗的樣本空間，并求小燈泡發(fā)亮的概率；（2）通過設備調(diào)試和技術升級后，已知該電商生產(chǎn)的電子元件合格率為0.9，且在生產(chǎn)過程中每個電子元件是否合格互不影響，質(zhì)檢員從該電商生產(chǎn)的一批電子元件中隨機抽取3個安裝在乙圖電路中的，，處，求小燈泡發(fā)亮的概率.解：（1）由題意可得{（合格，合格），（合格，不合格），（不合格，不合格）}；設事件：小燈泡發(fā)亮，則，則，即小燈泡發(fā)亮的概率為.（2）當小燈泡亮的時候，元件一定是合格的，元件中至少有一個是合格的，第一種情況：元件合格，元件合格，元件不合格，則；第二種情況：元件合格，元件不合格，元件合格，；第三種情況：元件合格，元件合格，元件合格，；則小燈泡發(fā)亮的概率.21.已知平行四邊形如圖甲，，，沿將折起，使點到達點位置，且，連接得三棱錐，如圖乙.（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.解：（1）翻折前，因為四邊形為平行四邊形，，則，因為，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，故平面平面.（2）因為平面，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設，其中，則，，設平面法向量為，則，取，則，，所以，，易知平面的一個法向量為，則，整理可得，因為，解得，因此，線段上存在點，使二面角的余弦值為，且.22.已知拋物線：（）的焦點為，點，過的直線交于，兩點，當點的橫坐標為1時，點到拋物線的焦點的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）設直線，與的另一個交點分別為，，點，分別是，的中點，記直線，的傾斜角分別為，.求的最大值.解：（1）拋物線的準線為，由拋物線的定義知，，又，所以，所以拋物線C的方程為；（2）由（1）知，，設，則，設直線，由可得，，則，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，由斜率公式可得，，又因為直線OP、OQ的傾斜角分別為，所以，若要使最大，需使最大，則，設，則，當且僅當即時，等號成立，所以的最大值為.云南省昆明市西山區(qū)2023-2024學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以或，所以或，又因為，所以，故選：C2.已知復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意知，，則，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限.故選：A3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B4.我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出.某市政府為了制定居民節(jié)約用水相關政策，抽樣調(diào)查了該市200戶居民月均用水量（單位：），繪制成頻率分布直方圖如圖1，則下列說法不正確的是（）A.圖中小矩形的面積為0.24B.該市居民月均用水量眾數(shù)約為C.該市大約有85%的居民月均用水量不超過D.這200戶居民月均用水量的中位數(shù)大于平均數(shù)【答案】D【解析】由，可得，所以，故A正確；由題意可知該市居民月均用水量眾數(shù)約為，故B正確；由題意可得該市居民月均用水量不超過的頻率為：，故C正確；設200戶居民月均用水量的中位數(shù)為，因為第一個矩形的面積為0.04，第二個矩形的面積為0.3，第三個矩形的面積為0.24，所以中位數(shù),則，這200戶居民月均用水量的平均數(shù)因為，所以這200戶居民月均用水量的中位數(shù)小于平均數(shù)，故D不正確．故選：D．5.已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，拋物線：（）的焦點與的右焦點重合，為上的點，三角形的周長為5，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】根據(jù)橢圓方程可得，的周長為，可得；所以的右焦點為，拋物線的焦點為，即，解得.故選：C6.已知定義在上的函數(shù)，滿足，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由，知函數(shù)關于點對稱，由，知函數(shù)關于直線對稱，所以函數(shù)的周期為.又，所以，，所以，又，所以，所以.故選：D7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，因為，且，解得或，所以，，所以.故選：A8.一支運輸車隊某天上午依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務，第一輛車于早上8時出發(fā)，以后每隔15分鐘發(fā)出一輛車.假設所有司機都連續(xù)開車，并都在中午12時停下來休息.每輛車行駛的速度都是80千米/小時，截止到12時這個車隊所有車輛一共行駛了2660千米，則該車隊一共發(fā)出（）輛車A.14 B.14或19 C.15 D.15或16【答案】A【解析】設共發(fā)出n輛車，第n輛車行駛時間為，其中.因第一輛車于早上8時出發(fā)，以后每隔15分鐘發(fā)出一輛車，則，即為等差數(shù)列.又設前n項和為，則.但注意到，，則.故選：A二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知正四面體的棱長等于2，則（）A.點到平面的距離為B.直線與所成角為C.直線與平面所成角的余弦值為D.若點分別為棱，的中點，則【答案】BCD【解析】對于AC選項，取三角形的中心為D，連接OD，連接AD至E，則平面ABC，則點到平面的距離為OD.又D為三角形重心，則E為CB中點，則，，故OD，故A錯誤；即為直線與平面所成角，則，故C正確；對于BD選項，如圖將正四面體放置于一正方體內(nèi)部，則正方體棱長.如圖，因，//，則四邊形為平行四邊形，則//，則直線與所成角即為與所成角，故夾角為，故B正確；因分別為正方體上下底面中心，則長度等于正方體棱長，故D正確.故選：BCD10.設，為橢圓：的左右頂點，，為的左、右焦點，點在上，則（）A.當橢圓與直線相切時，B.在橢圓上任意取一點，過作軸的垂線段，為垂足，動點滿足，則點的軌跡為圓C.若點不與，重合，則直線，的斜率之積為D.不存在點，使得【答案】AB【解析】A選項，由消去并化簡得，，得，解得，A選項正確B選項，設，由于，所以，代入并化簡得，所以點的軌跡是圓，B選項正確.C選項，設，，則，，所以C選項錯誤.D選項，，，當時，，所以D選項錯誤.故選：AB11.已知，點是平面內(nèi)一點，記，，則（）A.當，時，則在方向上的投影向量為B.當，時，為銳角的充要條件是C.當時，點、、三點共線D.當，時，動點經(jīng)過的重心【答案】ACD【解析】對于A選項，當，時，則在方向上的投影向量為，A對；對于B選項，當，時，角為銳角且、不共線，即，解得且，所以，為銳角的充要條件是，B錯；對于C選項，因為，即，所以，，即，又因為、有公共點，故點、、三點共線，C對；對于D選項，設線段的中點為，則，因為，則，此時，動點經(jīng)過的重心，D對.故選：ACD.12.已知直線：與圓：，若存在點，過點向圓引切線，切點為，，使得，則可能的取值為（）A.2 B.0 C. D.【答案】BCD【解析】因為即，令，解得，所以過定點，圓，圓心為，半徑為，由切線性質(zhì)可知：當時，，，因為存在使得，所以，記到的距離為，又因為，當最大時，此時，所以，所以，所以，解得，又因為，所以可取，故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設為等差數(shù)列的前項和.若，，則______.【答案】15【解析】，，又，解得，.故答案為：15.14.米斗是稱量糧食的量器，它有著吉祥的宮意，是豐饒富足的象征，是古代官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具.某課外興趣小組為了解米斗的幾何結(jié)構(gòu)，在通用技術教師的指導下，用木制榫卯結(jié)構(gòu)的方式制作了一個米斗如圖，上寬下窄呈方形，近似于一個正四棱臺，斗口邊長為3米，斗底邊長為2米，斗高3米，則該米斗能裝米______升（忽略木板厚度，1升立方米）.【答案】【解析】由題意可得，上底面面積，下底面面積，高，則米斗的體積，則該米斗能裝米升.故答案為：15.已知雙曲線：（，）的左、右焦點為，，過的直線與軸交于點，點在上，且滿足，，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】如圖，設，，，，其中.由，則，則.又，則，將A點坐標代入，可得則，又因，則.故答案為：16.已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點和三條對稱軸，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由，可得，根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知若在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點和三條對稱軸，可得，解得，所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題（共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在中，角，，對應邊分別為,,且.（1）求角；（2），，點在上，，求的長.解：（1）由題意知，，得，由余弦定理，得，即，所以，由，得.（2）由（1）知，，所以，即，由，解得，即，設，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，即，解得，所以.18.已知函數(shù)為奇函數(shù)，.（1）求的值；（2）若，，證明：.解：（1）由題意可知函數(shù)的定義域為，利用奇函數(shù)可知，解得，此時為奇函數(shù)；所以（2）易知，由可得，即滿足，易知在上是單調(diào)遞增，且，，即可得函數(shù)在區(qū)間上存在零點，所以，所以，由可令，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，；即可得.19.已知正項數(shù)列前項和為，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，則，即，且，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，則，當時，，當時，也滿足，則，所以，則.20.某電商專門生產(chǎn)某種電子元件，生產(chǎn)的電子元件除編號外，其余外觀完全相同，為了檢測元件是否合格，質(zhì)檢員設計了圖甲、乙兩種電路.（1）在設備調(diào)試初期，已知該電商試生產(chǎn)了一批電子元件共5個，只有2個合格，質(zhì)檢員從這批元件中隨機抽取2個安裝在甲圖電路中的，處，請用集合的形式寫出試驗的樣本空間，并求小燈泡發(fā)亮的概率；（2）通過設備調(diào)試和技術升級后，已知該電商生產(chǎn)的電