2024-2025學年廣東省佛山市南海區(qū)高一上學期學業(yè)水平測試12月數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市南海區(qū)2024-2025學年高一上學期學業(yè)水平測試12月數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則.故選：B.2.設(shè)命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，為，.故選：D.3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，在0,+∞上的單調(diào)遞增，又因為f1且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，則根據(jù)零點存在性質(zhì)定理知的零點所在的區(qū)間是.故選：C.4.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則，所以.故選：A.5.已知函數(shù)，則（）A.5 B.0 C. D.4【答案】B【解析】.故選：B.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當時，，故排除CD；而的定義域為，且，所以是奇函數(shù)，所以排除A.故選：B.7.人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：dB）與聲音強度（單位：滿足.一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為54dB，在有40人的課堂上講課時，老師聲音的強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的10倍，則老師聲音的等級約為（）A.108dB B.81dB C.72dB D.63dB【答案】D【解析】設(shè)一般兩人小聲交談時聲音強度，則，即，所以，即老師聲音的等級約為63dB.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，有恒成立，若，則滿足的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由，可知，，即，設(shè)函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)，所以，是上的奇函數(shù)，因為，所以，，，即，即，則.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.9.下列條件中可以作為“”的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.或【答案】ACD【解析】設(shè)該條件所表示的集合為，因為其是“”的一個必要不充分條件，則，對比選項知ACD，符合題意，B不合題意.故選：ACD.10.已知，為非零實數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A、D：當時，且，錯；B：由，則，整理可得，對；C：由單調(diào)遞增，且，故，對.故選：BC.11.若存在兩個不相等的實數(shù)，，使，，均在函數(shù)的定義域內(nèi)，且滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)具有性質(zhì)的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A選項，定義域為R，且，對任意的、且，，即，A選項中函數(shù)不滿足條件；對于B選項，的定義域為R，取，，則，而，即存在，B選項中的函數(shù)滿足條件；對于C選項，假設(shè)具有性質(zhì)，則存在，使得，則，即，若同號，則，即，所以，得，顯然不成立；若異號，則，即，將上述方程看作關(guān)于的二次方程，解得，此時滿足，C選項中的函數(shù)滿足條件；對于D選項，因為，取，所以，，則存在，所以D選項中的函數(shù)滿足條件.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】6【解析】.13.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，寫出滿足條件的實數(shù)的一個值______.【答案】3（答案不唯一）【解析】因為函數(shù)，在0,+∞上單調(diào)遞增，所以2m-3>0m當時，此時，滿足題意.14.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為，，…，，則______.【答案】【解析】由于函數(shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，設(shè)，則，則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故和的交點關(guān)于對稱，則，設(shè).兩式加，可得，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當時，，，得，則，或，所以，.（2）若，則，當時，，得，當時，，解得：，綜上可知，.16.給定函數(shù)，.（1）在同一直角坐標系中畫出函數(shù)，的圖象；（2），用表示，中最大者，記為，求不等式的解集.解：（1）如圖.（2）因為，所以Mx=當時，，即，所以，當時，，即，所以，當時，，即，所以，所以不等式的解集為.17.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義加以證明;（3）解不等式.解：（1）由題設(shè)，即恒成立，所以.（2）在上的單調(diào)遞增，證明如下：由（1）知，令，則，由，故，故在上的單調(diào)遞增，得證.（3）由題設(shè)及（2）知：，則或，所以或，解集為.18.學校和學校相距20km，現(xiàn)計劃在學校外以為直徑的半圓弧（不含，兩點）上選擇一點建造一家污水處理廠.其對學校的影響度與所選地點到學校的距離有關(guān)，對學校的影響度與所選地點到學校的距離的平方成反比，比例系數(shù)為1；對學校的影響度與所選地點到學校的距離的平方成反比，比例系數(shù)為.對學校和學校的總影響度為學校和學校的影響度之和.記點到學校的距離為km，建在處的污水處理廠對學校和學校的總影響度為.統(tǒng)計調(diào)查表明：當在的中點時，對學校和學校的總影響度為0.085.（1）將表示成的函數(shù)；（2）判斷半圓?。ú缓?，兩點）上是否存在一點，使得建在此處的污水處理廠對學校和學校的總影響度最??？若存在，求出該點到學校的距離，以及總影響度的最小值；若不存在，說明理由.解：（1）由為直徑，得，所以，由已知得，又當垃圾處理廠是的中點時，對城和城的總影響度為，即時，，代入上式得，解得，所以表示成的函數(shù)為：.（2），令，，則，又，當且僅當時，即時，等號成立，所以，當時，等號成立，所以弧上存在一點，該點到城的距離為km時，建在此處的垃圾處理廠對城市和城的總影響度最小為.19.已知正實數(shù)集，定義稱為的商集，用來表示集合中元素的個數(shù).（1）若，求集合；（2）若，求的最小值；（3）試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解：（1）由，結(jié)合商集的定義有.（2）設(shè)，當時，，當時，有個，所以的個數(shù)最多為.但是，在這些比值中，有的可能相等，如時，中存在，也可能互不相等，如時，中沒有相同的元素.所以中元素個數(shù)不大于，即，所以，即，所以，所以的最小值為15.（3），證明如下：顯然，當時，.當時，，即.由上，，當時，，最大為，對于，為定值時，重復(fù)最多，（以下為常數(shù)）的個數(shù)為個，重復(fù)個，的個數(shù)為個，重復(fù)個，的個數(shù)為個，重復(fù)個，的個數(shù)為個，重復(fù)個，，的個數(shù)為個，重復(fù)個，的個數(shù)為個，重復(fù)個，所以最小為，綜上，.廣東省佛山市南海區(qū)2024-2025學年高一上學期學業(yè)水平測試12月數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則.故選：B.2.設(shè)命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，為，.故選：D.3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，在0,+∞上的單調(diào)遞增，又因為f1且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，則根據(jù)零點存在性質(zhì)定理知的零點所在的區(qū)間是.故選：C.4.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則，所以.故選：A.5.已知函數(shù)，則（）A.5 B.0 C. D.4【答案】B【解析】.故選：B.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當時，，故排除CD；而的定義域為，且，所以是奇函數(shù)，所以排除A.故選：B.7.人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：dB）與聲音強度（單位：滿足.一般兩人小聲交談時，聲音的等級約為54dB，在有40人的課堂上講課時，老師聲音的強度約為一般兩人小聲交談時聲音強度的10倍，則老師聲音的等級約為（）A.108dB B.81dB C.72dB D.63dB【答案】D【解析】設(shè)一般兩人小聲交談時聲音強度，則，即，所以，即老師聲音的等級約為63dB.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，有恒成立，若，則滿足的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由，可知，，即，設(shè)函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)，所以，是上的奇函數(shù)，因為，所以，，，即，即，則.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.9.下列條件中可以作為“”的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.或【答案】ACD【解析】設(shè)該條件所表示的集合為，因為其是“”的一個必要不充分條件，則，對比選項知ACD，符合題意，B不合題意.故選：ACD.10.已知，為非零實數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A、D：當時，且，錯；B：由，則，整理可得，對；C：由單調(diào)遞增，且，故，對.故選：BC.11.若存在兩個不相等的實數(shù)，，使，，均在函數(shù)的定義域內(nèi)，且滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)具有性質(zhì)的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A選項，定義域為R，且，對任意的、且，，即，A選項中函數(shù)不滿足條件；對于B選項，的定義域為R，取，，則，而，即存在，B選項中的函數(shù)滿足條件；對于C選項，假設(shè)具有性質(zhì)，則存在，使得，則，即，若同號，則，即，所以，得，顯然不成立；若異號，則，即，將上述方程看作關(guān)于的二次方程，解得，此時滿足，C選項中的函數(shù)滿足條件；對于D選項，因為，取，所以，，則存在，所以D選項中的函數(shù)滿足條件.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】6【解析】.13.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，寫出滿足條件的實數(shù)的一個值______.【答案】3（答案不唯一）【解析】因為函數(shù)，在0,+∞上單調(diào)遞增，所以2m-3>0m當時，此時，滿足題意.14.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為，，…，，則______.【答案】【解析】由于函數(shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，設(shè)，則，則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故和的交點關(guān)于對稱，則，設(shè).兩式加，可得，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當時，，，得，則，或，所以，.（2）若，則，當時，，得，當時，，解得：，綜上可知，.16.給定函數(shù)，.（1）在同一直角坐標系中畫出函數(shù)，的圖象；（2），用表示，中最大者，記為，求不等式的解集.解：（1）如圖.（2）因為，所以Mx=當時，，即，所以，當時，，即，所以，當時，，即，所以，所以不等式的解集為.17.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義加以證明;（3）解不等式.解：（1）由題設(shè)，即恒成立，所以.（2）在上的單調(diào)遞增，證明如下：由（1）知，令，則，由，故，故在上的單調(diào)遞增，得證.（3）由題設(shè)及（2）知：，則或，所以或，解集為.18.學校和學校相距20km，現(xiàn)計劃在學校外以為直徑的半圓?。ú缓?，兩點）上選擇一點建造一家污水處理廠.其對學校的影響度與所選地點到學校的距離有關(guān)，對學校的影響度與所選地點到學校的距離的平方成反比，比例系數(shù)為1；對學校的影響度與所選地點到學校的距離的平方成反比，比例系數(shù)為.對學校和學校的總影響度為學校和學校的影響度之和.記點到學校的距離為km，建在處的污水處理廠對學校和學校的總影響度為.統(tǒng)計調(diào)查表明：當在的中點時，對學校和學校的總影響度為0.085.（1）將表示成的函數(shù)；（2）判斷半圓?。ú缓?，兩點）上是否存在一點，使得建在此處的污水處理廠對學校和學校的總影響度最小？若存在，求出該點到學校的距離，以及總影響度的最小值；若不存在，說明理由.解：（1）由為直徑，得，所以，由已知得，又當垃圾處理廠是的中點時，對城和城的總影響度為，即時，，代入上式得，解得，所以表示成的函數(shù)為：.（2），令，，則，又，當且僅當時，即時，等號成立，所以，當時，等號成立，所以弧上存在一點，該點到城的距離為km時，建在此處的垃圾處理廠對城市和城的總影響度最小為.19.已知正實數(shù)集，定義稱為的商集，用來表示集合中元素的個數(shù).（1）