2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版)_第1頁
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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】由或,所以,所以.故選:C.2.已知函數(shù),且,則()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】令,解得,所以,因為,所以.故選:B.3.命題“任意,則”的否定是()A.任意,則 B.存在,則C.存在,則 D.任意,則【答案】C【解析】全稱量詞命題“任意,則”的否定是存在量詞命題“存在,則”.故選:C.4.若,則下列結(jié)論不正確的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得.對于A,因,則,故得,即A正確;對于B,因,由可得,故B正確;對于C,因,則故,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,因,故,則C正確;對于D,不妨取,顯然滿足,但,即D錯誤.故選:D.5.設(shè)函數(shù),且,則等于()A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】設(shè),則為奇函數(shù),所以.又,所以.所以.故選:B.6.已知奇函數(shù)滿足,且在上單調(diào)遞增,則是解集是()A. B.C. D.【答案】A【解析】因是奇函數(shù),所以f-x=-f所以,可轉(zhuǎn)化為,又因f1=0,且在上單調(diào)遞增,所以在上為,在上為,根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,所以在上為,在上為,所以,可知與異號,所以解集為.故選:A.7.已知函數(shù)滿足,且,則的值為()A. B. C. D.3【答案】A【解析】由題意取令,可得,令,可得,所以,令,可得,所以f1=0,令,可得,所以.故選:A.8.已知,且,則的最小值為()A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】因為,是正數(shù)且,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,故的最小值為.故選:A.二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.對于給定的實數(shù),關(guān)于實數(shù)的不等式的解集不可能為()A. B. C.或 D.【答案】BD【解析】因為,①當(dāng)時,不等式的解集為,②當(dāng)時,不等式變?yōu)?,方程的根為或,?dāng)時,不等式的解集為或,當(dāng)時,不等式的解集為,當(dāng)且時,不等式的解集為或,綜上所述,當(dāng)或時,不等式的解集為,當(dāng)時,不等式的解集為或,當(dāng)且時,不等式的解集為或.故選:BD.10.高斯是德國的天才數(shù)學(xué)家,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多,如高斯函數(shù)y=x,其中不超過實數(shù)的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分,記作x.如,,,記函數(shù),則()A. B.的值域為0,1C.在0,3上有3個零點 D.,方程有兩個實根【答案】AD【解析】對A:,故A正確;對B:當(dāng)時,,;當(dāng)時,,;當(dāng)時,,;…依次類推,可得函數(shù)的圖象如下:所以函數(shù)的值域為:,故B錯;對C:根據(jù)圖象,在0,3上,只有,即在0,3上有2個零點,故C錯;對D:,函數(shù)與的圖象有兩個交點,如下圖:所以,方程有兩個實根,故D正確.故選:AD.11.對于定義在上的函數(shù),下列說法正確的是()A.若是奇函數(shù),則的圖象關(guān)于點對稱B.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則為偶函數(shù)C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,則【答案】BCD【解析】對于A,因是奇函數(shù),其圖象關(guān)于點對稱,而的圖象可由的圖象向左平移1個單位得到,故的圖象關(guān)于點對稱,故A錯誤;對于B,由fx-1的圖象關(guān)于直線對稱,因fx-1的圖象可由的圖象向右平移一個單位得到,故的圖象關(guān)于直線即軸對稱,故為偶函數(shù),即B正確;對于C,對于,設(shè),則,因在上單調(diào)遞增,且,故,即時,函數(shù)的最小值為,故C正確;對于D,不妨設(shè),則,因,易得,故是奇函數(shù),又的最大值為,最小值為,故,又,則有,故D正確.故選:BCD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點,則f(3)=______.【答案】3【解析】設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xa,因為過(,),所以f()=,∴=()a,2=()a,a=,∴f(3)=3=.13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________.【答案】(端點開閉都正確)【解析】由,可得,解得,所以函數(shù)的定義域為,設(shè),,外函數(shù)為上的增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間即為內(nèi)函數(shù)的減區(qū)間,函數(shù)的對稱軸為,其開口向下,故其減區(qū)間為(端點開閉都正確).14.關(guān)于的一元二次方程恰有兩個整數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】恰有兩個整數(shù)解,方程有兩個不相等的實數(shù)根,,解得,,且方程兩根可寫為,時,,,此時不等式至少有4個整數(shù)解,不合題意;時,,,此時不等式有兩個整數(shù)解1和2,符合題意;時,,.當(dāng)時,,即,解得,;當(dāng)時,不等式最多一個整數(shù)解,不合題意.綜上,.四、解答題:本題共5小題,共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知不等式的解集為,集合.(1)當(dāng)時,求;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)由,所以.當(dāng)時,.所以.(2)由,,所以.故實數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù)的定義域為.(1)求實數(shù)的取值集合;(2)設(shè)集合,若是的必要不充分條件,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)由題意得不等式的解集為,當(dāng)時,恒成立,滿足題意;當(dāng)時,則由解集為可得,解得:,綜上可得:.(2)由是的必要不充分條件可得:是的真子集,當(dāng)時,滿足題意,此時有,解得:;當(dāng)時,則,解得,綜上可得的取值范圍是.17.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,大力發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)業(yè),提升特色農(nóng)產(chǎn)品的知名度,邀請了一家廣告牌制作公司設(shè)計一個寬為米、長為米的長方形展牌,其中,其面積為平方米.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出的取值范圍;(2)如何設(shè)計展牌的長和寬,才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.解:(1)由寬為米、長為米的長方形展牌,得,整理得,由,得,即,解得,所以關(guān)于的函數(shù)解析式是,.(2)展牌的周長,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,此時,所以設(shè)計展牌的長為9米和寬為3米,才能使展牌的周長最小,最小值為24米.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且.(1)求,的值;(2)判斷并證明函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;(3)若,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)是定義在上的奇函數(shù),且,,解得,,經(jīng)檢驗,,滿足題意,.(2)在上單調(diào)遞增,證明如下:在上任取,,令,則,,,,,,,在上單調(diào)遞增.(3),,,解得.實數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不需證明);(2)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值;(3)當(dāng)時,函數(shù)在上既有最大值又有最小值,是否存在正整數(shù),使恒成立?若存在,請求出的最小值;若不存在,請說明理由.解:(1)當(dāng)時,可得,去絕對值后可得,易知函數(shù)關(guān)于對稱,所以其在上單調(diào)遞增,函數(shù)關(guān)于對稱,所以其在上單調(diào)遞增,又易知兩函數(shù)在處的函數(shù)值相等,圖象如下圖所示:可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間.(2)時,可得,當(dāng)時,,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;又;因此可知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.(3)當(dāng)時,,若,則,由二次函數(shù)性質(zhì)可得,在上單調(diào)遞增,若,則,由二次函數(shù)性質(zhì)可得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;又函數(shù)在上既有最大值又有最小值,所以最大值為,最小值為,當(dāng),令,解得;當(dāng),令,解得;因此區(qū)間中需包含區(qū)間,且兩邊范圍不超出和,畫出示意圖如下:即滿足,因此可得;所以,又,可得恒成立即可;顯然,所以的最小值為3.江蘇省無錫市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】由或,所以,所以.故選:C.2.已知函數(shù),且,則()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】令,解得,所以,因為,所以.故選:B.3.命題“任意,則”的否定是()A.任意,則 B.存在,則C.存在,則 D.任意,則【答案】C【解析】全稱量詞命題“任意,則”的否定是存在量詞命題“存在,則”.故選:C.4.若,則下列結(jié)論不正確的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得.對于A,因,則,故得,即A正確;對于B,因,由可得,故B正確;對于C,因,則故,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,因,故,則C正確;對于D,不妨取,顯然滿足,但,即D錯誤.故選:D.5.設(shè)函數(shù),且,則等于()A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】設(shè),則為奇函數(shù),所以.又,所以.所以.故選:B.6.已知奇函數(shù)滿足,且在上單調(diào)遞增,則是解集是()A. B.C. D.【答案】A【解析】因是奇函數(shù),所以f-x=-f所以,可轉(zhuǎn)化為,又因f1=0,且在上單調(diào)遞增,所以在上為,在上為,根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,所以在上為,在上為,所以,可知與異號,所以解集為.故選:A.7.已知函數(shù)滿足,且,則的值為()A. B. C. D.3【答案】A【解析】由題意取令,可得,令,可得,所以,令,可得,所以f1=0,令,可得,所以.故選:A.8.已知,且,則的最小值為()A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】因為,是正數(shù)且,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,故的最小值為.故選:A.二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.對于給定的實數(shù),關(guān)于實數(shù)的不等式的解集不可能為()A. B. C.或 D.【答案】BD【解析】因為,①當(dāng)時,不等式的解集為,②當(dāng)時,不等式變?yōu)?,方程的根為或,?dāng)時,不等式的解集為或,當(dāng)時,不等式的解集為,當(dāng)且時,不等式的解集為或,綜上所述,當(dāng)或時,不等式的解集為,當(dāng)時,不等式的解集為或,當(dāng)且時,不等式的解集為或.故選:BD.10.高斯是德國的天才數(shù)學(xué)家,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多,如高斯函數(shù)y=x,其中不超過實數(shù)的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分,記作x.如,,,記函數(shù),則()A. B.的值域為0,1C.在0,3上有3個零點 D.,方程有兩個實根【答案】AD【解析】對A:,故A正確;對B:當(dāng)時,,;當(dāng)時,,;當(dāng)時,,;…依次類推,可得函數(shù)的圖象如下:所以函數(shù)的值域為:,故B錯;對C:根據(jù)圖象,在0,3上,只有,即在0,3上有2個零點,故C錯;對D:,函數(shù)與的圖象有兩個交點,如下圖:所以,方程有兩個實根,故D正確.故選:AD.11.對于定義在上的函數(shù),下列說法正確的是()A.若是奇函數(shù),則的圖象關(guān)于點對稱B.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則為偶函數(shù)C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,則【答案】BCD【解析】對于A,因是奇函數(shù),其圖象關(guān)于點對稱,而的圖象可由的圖象向左平移1個單位得到,故的圖象關(guān)于點對稱,故A錯誤;對于B,由fx-1的圖象關(guān)于直線對稱,因fx-1的圖象可由的圖象向右平移一個單位得到,故的圖象關(guān)于直線即軸對稱,故為偶函數(shù),即B正確;對于C,對于,設(shè),則,因在上單調(diào)遞增,且,故,即時,函數(shù)的最小值為,故C正確;對于D,不妨設(shè),則,因,易得,故是奇函數(shù),又的最大值為,最小值為,故,又,則有,故D正確.故選:BCD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.12.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點,則f(3)=______.【答案】3【解析】設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xa,因為過(,),所以f()=,∴=()a,2=()a,a=,∴f(3)=3=.13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________.【答案】(端點開閉都正確)【解析】由,可得,解得,所以函數(shù)的定義域為,設(shè),,外函數(shù)為上的增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間即為內(nèi)函數(shù)的減區(qū)間,函數(shù)的對稱軸為,其開口向下,故其減區(qū)間為(端點開閉都正確).14.關(guān)于的一元二次方程恰有兩個整數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】恰有兩個整數(shù)解,方程有兩個不相等的實數(shù)根,,解得,,且方程兩根可寫為,時,,,此時不等式至少有4個整數(shù)解,不合題意;時,,,此時不等式有兩個整數(shù)解1和2,符合題意;時,,.當(dāng)時,,即,解得,;當(dāng)時,不等式最多一個整數(shù)解,不合題意.綜上,.四、解答題:本題共5小題,共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知不等式的解集為,集合.(1)當(dāng)時,求;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)由,所以.當(dāng)時,.所以.(2)由,,所以.故實數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù)的定義域為.(1)求實數(shù)的取值集合;(2)設(shè)集合,若是的必要不充分條件,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)由題意得不等式的解集為,當(dāng)時,恒成立,滿足題意;當(dāng)時,則由解集為可得,解得:,綜上可得:.(2)由是的必要不充分條件可得:是的真子集,當(dāng)時,滿足題意,此時有,解得:;當(dāng)時,則,解得,綜上可得的取值范圍是.17.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,大力發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)業(yè),提升特色農(nóng)產(chǎn)品的知名度,邀請了一家廣告牌制作公司設(shè)計一個寬為米、長為米的長方形展牌,其中,其面積為平方米.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出的取值范圍;(2)如何設(shè)計展牌的長和寬,才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.解:(1)由寬為米、長為米的長方形展牌,得,整理得,由,得,即,解得,所以關(guān)于的函數(shù)解析式是,.(2)展牌的周長,當(dāng)且僅當(dāng)

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