高等數(shù)學(xué)Achap11對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分教學(xué)教案

1arclength第一節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分第十一章曲線積分與曲面積分實(shí)例勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和取極限取近似曲線形構(gòu)件的質(zhì)量近似值精確值一、問(wèn)題的提出2二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念1.定義設(shè)L為xOy面內(nèi)一條光滑曲線弧,在L上有界.作乘積并作和在L上任意插入一點(diǎn)列把L分成n個(gè)小段.設(shè)第i個(gè)小段的第i個(gè)小段上任意取定的①②③長(zhǎng)度為一點(diǎn),121,,,-nMMML如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值④這和的極限存在,則稱此極限為在曲線弧L對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分.3曲線形構(gòu)件的質(zhì)量即

積分和式被積函數(shù)

弧元素積分弧段記作2.存在條件對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分連續(xù),3.推廣對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為5

在一條光滑(或分段光滑)的是L上關(guān)于x的奇函數(shù)

是L上關(guān)于x的偶函數(shù)

L1是曲線L落在y軸一側(cè)的部分.在分析問(wèn)題和算題時(shí)常用的L關(guān)于y軸對(duì)稱,補(bǔ)充對(duì)稱性質(zhì)曲線L上連續(xù),則當(dāng)(或y)(或y)當(dāng)(或x軸)(或x)6例其中L是圓周解因積分曲線L關(guān)于被積函數(shù)x是L上被積函數(shù)因積分曲線L關(guān)于對(duì)稱性,計(jì)算得是L上y軸對(duì)稱,關(guān)于x的奇函數(shù)x軸對(duì)稱,關(guān)于y的奇函數(shù)7三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算定理其中則有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),解法化為參變量的定積分計(jì)算tttd)()(22yj￠+￠8注意對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求定積分的下限一定要小于上限!特殊情形(1)(2)tttd)()(22yj￠+￠9(3)推廣或此時(shí)需把它化為參數(shù)方程再按上述方法計(jì)算.?為參數(shù)),是兩個(gè)曲面的交線如果積分路徑L10例解對(duì)x積分?例解11練習(xí)在第一象限中所圍圖形的邊界.⌒提示解⌒⌒故12幾何意義四、幾何意義與物理意義弧長(zhǎng)解設(shè)下半圓周的參數(shù)方程則13例解由于有的方程中的x,y,z的地位完全對(duì)稱,

對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念

對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算公式五、小結(jié)(四步:分割、取近似、求和、取極限）(弧長(zhǎng)曲線給出幾種不同形式方程的計(jì)算公式)14curvilinearintegral第二節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分變力沿曲線所作的功常力沿直線所作的功分割實(shí)例？一、問(wèn)題的提出15求和取極限取近似取即16二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義

設(shè)L為xOy面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向光滑

用L上的點(diǎn):把L分成n個(gè)有向小弧段曲線弧,在L上有界.上任意取定的點(diǎn).L),,(222yxM17如果當(dāng)各小段長(zhǎng)度的最大值的極限總存在,

記作則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上或稱第二類曲線積分.對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分,即積分弧段被積函數(shù)18類似地定義稱在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分.2.存在條件在光滑曲線弧L上3.組合形式“點(diǎn)積”形式第二類曲線積分存在.連續(xù),其中4.物理意義⌒⌒195.推廣空間有向曲線弧Γ,類似的也有簡(jiǎn)寫(xiě)形式或者向量形式其中206.性質(zhì)LL1L2(2)則(1)線性性質(zhì)(3)有向曲線弧,則21

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).所以對(duì)坐標(biāo)的曲線積分應(yīng)該特別注意積分弧段的方向??！對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算思想是因此下限應(yīng)是起點(diǎn)的坐標(biāo),化為定積分計(jì)算.上限是終點(diǎn)的坐標(biāo).22定理連續(xù),且23(1)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算同樣是轉(zhuǎn)化為定積分。(2)轉(zhuǎn)化為定積分只要做兩個(gè)工作：

代換(將函數(shù)中的x,y

代換為曲線的參數(shù)方程)；定限(確定積分的上下限，與第一類曲線積分不同)。

(3)由于第二類曲線積分與方向有關(guān)，所以轉(zhuǎn)化為定積分必須是下限對(duì)應(yīng)于弧線的起點(diǎn)，上限對(duì)應(yīng)于終點(diǎn)，上限未必大于下限。(4)本公式也表示：可見(jiàn)：24特殊情形(1)則(2)則25(3)推廣26例解⌒⌒(1)(2)27

其中Γ是由點(diǎn)A(1,1,1)到點(diǎn)B(2,3,4)的直線段.直線AB的方程為解化成參數(shù)式方程為于是例A點(diǎn)對(duì)應(yīng)B點(diǎn)對(duì)應(yīng)ò+++++=10d3)31(d2)21(d)1(tttttt28

其中Γ是由點(diǎn)A(3,2,1)到點(diǎn)B(0,0,0)的直線段.練習(xí)29例(1)L是上半圓周反時(shí)針?lè)较?解A點(diǎn)對(duì)應(yīng)(2)L是x軸上由點(diǎn)到點(diǎn)的線段.

(1)中L的參數(shù)方程為B點(diǎn)對(duì)應(yīng)其中原式=)sin(d)cossin(tatata-+(2)L的方程為原式=30

其中L為例(1)拋物線y=x2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(2)拋物線x=y2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(3)(0,0)到(1,0)再到(1,1)的折線解所以y=x2

x=x

x

從0到1(1)積分弧段為可見(jiàn)，同一曲線積分，雖然路徑不同，但結(jié)果也可能相同，即此時(shí)積分結(jié)果和路徑無(wú)關(guān)同樣可計(jì)算(2)(3)，并且注意到積分結(jié)果？31例

的方向就是向量解質(zhì)點(diǎn)在M(x,y)處受到力的作用，的大小與M到原點(diǎn)的距離成正比，的方向恒指向原點(diǎn)，此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a,0)沿橢圓按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)到點(diǎn)B(0,b),求所做的功的反方向.其大小與此向量的模成正比由第二類曲線積分的物理意義所以假設(shè)其中k>0，為比例常數(shù)⌒⌒⌒⌒32橢圓的參數(shù)方程為起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為0，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為33補(bǔ)充在分析問(wèn)題和算題時(shí)常用的L在上半平面部分與P(x,y)為P(x,y)為其中L1是曲線L的上半平面的部分.類似地,對(duì)稱性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,當(dāng)平面曲線L是分段光滑的,關(guān)于下半平面部分的走向相反時(shí),x軸對(duì)稱,則y的偶函數(shù)y的奇函數(shù)的討論也有相應(yīng)的結(jié)論.對(duì)34四、兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè)有向平面曲線弧為則有向曲線弧L的切向量為))(),((tttyj￠￠=r35可用向量表示有向曲線元?jiǎng)t推廣空間曲線36例解

所以把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分.其中L為沿拋物線從點(diǎn)(0,0)到(1,1).37對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算兩類曲線積分之間的聯(lián)系五、小結(jié)四步:分割、取近似、求和、取極限思想:化為定積分計(jì)算對(duì)坐標(biāo)曲線積分的物理意義變力沿曲線所作的功關(guān)于曲線方向的性質(zhì)注意:

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)38第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用

1.區(qū)域連通性的分類

設(shè)D為平面區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域否則稱為則稱D為平面復(fù)連通區(qū)域.成的部分都屬于D,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍單連通區(qū)域,一、格林公式39格林定理(定理1)設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有2.格林公式公式(1)稱其中L是D的取正向的邊界曲線.格林公式.40當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),(1)

P、Q在閉區(qū)域D上一階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;(2)曲線L是封閉的,并且取正向.注規(guī)定邊界曲線L的正向區(qū)域D總在他的左邊.41(1)先對(duì)簡(jiǎn)單區(qū)域證明:證明若區(qū)域D既是又是即平行于坐標(biāo)軸的直線和L至多交于兩點(diǎn).42同理可證43(2)再對(duì)一般區(qū)域證明:積分區(qū)域的可加性若區(qū)域D由按段光(如圖)將D分成三個(gè)既是又是的區(qū)域滑的閉曲線圍成.4445格林公式的實(shí)質(zhì)之間的聯(lián)系.溝通了沿閉曲線的積分與二重積分46(1)計(jì)算平面面積3.簡(jiǎn)單應(yīng)用格林公式得閉區(qū)域D的面積格林公式及其應(yīng)用

例

求橢圓解由公式得D所圍成的面積.47.(2)簡(jiǎn)化曲線積分例其中L為圓周解由格林公式有對(duì)稱性的正向.對(duì)平面閉曲線上的對(duì)坐標(biāo)曲線積分,比較簡(jiǎn)單時(shí),常?？紤]通過(guò)格林公式化為二重積分來(lái)計(jì)算.48(3)簡(jiǎn)化二重積分則解令例為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域.格林公式491987年研究生考題,填空(3分)解由格林公式50解記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈,其中L為一條無(wú)重點(diǎn),分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線,L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?例令有51即L為不包圍原點(diǎn)的任一閉曲線.即L為包圍原點(diǎn)在內(nèi)的任一閉曲線.由格林公式應(yīng)用由格林公式,得作位于D內(nèi)圓周52注意格林公式的條件∴其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針?lè)较?3練習(xí)計(jì)算L是圓周:如把圓周寫(xiě)成參數(shù)方程:再將線積分化為定積分計(jì)算,用格林公式易求.答案:分析則過(guò)程較麻煩.9)4()1(22=-+-yx54B如果在區(qū)域G內(nèi)有二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件AL1L21.平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義否則與路徑有關(guān).則稱曲線積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),55定理2設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域,在G內(nèi)恒成立.函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則曲線積分在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)(或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零)的充要條件是2.平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件兩條件缺一不可56

其中L為例(1)拋物線y=x2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(2)拋物線x=y2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(3)(0,0)到(1,0)再到(1,1)的折線結(jié)果相同，即此時(shí)積分結(jié)果和路徑無(wú)關(guān)57三、二元函數(shù)的全微分求積考慮表達(dá)式如果存在一個(gè)函數(shù)使得則稱并將全微分式,為一原函數(shù).58由例可知:都是分別是上面的原函數(shù).全微分式.59定理3設(shè)開(kāi)區(qū)域G是一個(gè)單連通域,函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則

下面說(shuō)明一般怎樣在G內(nèi)恒成立.在G內(nèi)為某一函數(shù)的全微分的充要條件是等式求原函數(shù)判斷全微分式60必要性.

由設(shè)P、Q的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),因而即設(shè)存在某一函數(shù)證于是連續(xù).所以使得61充分性.設(shè)已知條件由定理2可知:當(dāng)起點(diǎn)M0(x0,y0)固定時(shí),在G內(nèi)恒成立.則于是把曲線積分寫(xiě)作:上述積分是x,y的函數(shù),記為即曲線積分在區(qū)域G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).M(x,y).起點(diǎn)為M0(x0,y0),終點(diǎn)為M(x,y)的此積分的值取決于終點(diǎn)62

可以證明函數(shù)u(x,y)的全微分就是:因?yàn)镻(x,y),Q(x,y)都是因此只要證明(1)偏導(dǎo)數(shù)定義,(3)積分中值定理.(2)曲線積分與路徑無(wú)關(guān),其中用到下面的知識(shí)點(diǎn):連續(xù)的.63D(x0,y1)或則64例問(wèn)是否為全微分式?用曲線積分求其一個(gè)原函數(shù).如是,解在全平面成立所以上式是全微分式.因而一個(gè)原函數(shù)是：全平面為單連通域，法一(x,y)65這個(gè)原函數(shù)也可用下法“分組”湊出:法二66因?yàn)楹瘮?shù)u滿足故從而所以,問(wèn)是否為全微分式?用曲線積分求其一個(gè)原函數(shù).如是,由此得y的待定函數(shù)法三Cyyyyò+-=-=2d2)(j=??yu=￠+)(yxeyj67解積分與路徑無(wú)關(guān)

1989年研究生考題,計(jì)算,5分設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān),具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),例即xyxy2)(=￠j68(1,0)法一法二692002研究生考題(數(shù)學(xué)一)8分內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),L是上半平面(y>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點(diǎn)為(a,b),終點(diǎn)為(c,d).記(1)證明曲線積分I與路徑L無(wú)關(guān);(2)當(dāng)ab=cd時(shí),求I的值.證因?yàn)樗栽谏习肫矫鎯?nèi)曲線積分I與路徑L無(wú)關(guān).(1)70解(2)由于曲線積分I與路徑L無(wú)關(guān),所以法一·),(ba),(bc·解(2)法二設(shè)F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù),則由此得71格林公式四、小結(jié)單(復(fù))連通區(qū)域的概念

格林公式的三個(gè)應(yīng)用格林公式的實(shí)質(zhì)的聯(lián)系.溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間注意使用條件72

與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題

條件在單連通開(kāi)區(qū)域D上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)命題成立.73第四節(jié)對(duì)面積的曲面積分surfaceintegral第十一章曲線積分與曲面積分實(shí)例光滑的,它的面密度為連續(xù)函數(shù)求它的質(zhì)量.一、概念的引入74或記為即如曲面是曲面元素被積函數(shù)則積分號(hào)寫(xiě)成積分曲面稱極限為函數(shù)對(duì)面積的曲面積分第一類曲面積分.閉曲面,752.存在條件在光滑曲面Σ上今后,假定的曲面積分存在.對(duì)面積連續(xù),3.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)òò+2d),,(SSzyxf76

補(bǔ)充設(shè)分片光滑的x的奇函數(shù)x的偶函數(shù)其中則曲面Σ關(guān)于yOz面對(duì)稱,4.對(duì)面積的曲面積分的幾何意義空間曲面Σ的面積:775.對(duì)面積的曲面積分的物理意義面密度為連續(xù)函數(shù)的質(zhì)量M為:其質(zhì)心坐標(biāo)為:78則按照曲面的不同情況分為以下三種：思想是:化為二重積分計(jì)算.(1)三、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法則(2)),(zxyy=),(zxyzxyyzxdd122++:S若曲面79則(3)確定投影域并寫(xiě)出

然后算出曲面面積元素;最后將曲面方程代入被積函數(shù),對(duì)面積的曲面積分時(shí),首先應(yīng)根據(jù)化為二曲面Σ選好投影面,曲面Σ的方程,重積分進(jìn)行計(jì)算.80例解投影域:所截得的部分.故對(duì)稱性yxdd2=81例計(jì)算其中是由平面及所圍四面體的整個(gè)邊界曲面.解

在平面及上的部分依次記為及

于是由于在所以所以82從而則83例所圍成的空間立體的表面.解的投影域都是對(duì)稱性84(左右兩片投影相同)將投影域選在注分成左、右兩片對(duì)稱性85計(jì)算曲面積分其中Σ是球面解Σ的方程方程是:方程是:投影域Σ記上半球面為下半球面為不是單值的.的值.例86對(duì)上半球得對(duì)下半球Σ是球面87所以極坐標(biāo)88計(jì)算其中Σ為球面之位于平面曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域Σ解練習(xí)上方的部分.89Σ因曲面Σ于是x3是x的奇函數(shù)，x2y是y的奇函數(shù).關(guān)于yOz面及xOz面對(duì)稱;

yxyxaadd222--=90例解積分曲面方程輪序?qū)ΨQ提示即三個(gè)變量輪換位置方程不變.具有輪換對(duì)稱性,中的變量x、y、z91

對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算

對(duì)面積的曲面積分的概念四、小結(jié)四步:分割、取近似、求和、取極限思想:化為二重積分計(jì)算;

對(duì)面積的曲面積分的幾何意義與物理意義曲面方程三種形式的計(jì)算公式92surfaceintegral第五節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分觀察以下曲面的側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)1.有向曲面

通常光滑曲面都有兩側(cè).(假設(shè)曲面是光滑的)一、預(yù)備知識(shí)93有兩側(cè)的曲面.規(guī)定(1)雙側(cè)曲面2.曲面的分類法向量的方向來(lái)區(qū)分曲面的兩側(cè).選定了側(cè)的曲面稱為有向曲面943.有向曲面在坐標(biāo)面上的投影設(shè)Σ是有向曲面.

假定的余弦上各點(diǎn)處的法向量與z軸的夾角有相同的符號(hào).

在有向曲面取一小塊

類似地,可定義在yOz面及zOx面的投影:在xOy面上的投影在xOy面上的投影區(qū)域的面積附以一定的實(shí)際上就是正負(fù)號(hào).95流向曲面一側(cè)的流量.流量實(shí)例(為平面A的單位法向量)(斜柱體體積)(1)流速場(chǎng)為常向量有向平面區(qū)域

A,求單位時(shí)間流過(guò)A的流體的質(zhì)量(假定密度為1).二、概念的引入96(2)

設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體給出,函數(shù)

流體的密度與速度均不隨時(shí)間而變化(假定密度為1)的速度場(chǎng)由當(dāng)不是常量,曲面求在單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量是速度場(chǎng)中的一片有向曲面,97

分割則該點(diǎn)流速為，法向量為98常向量,有向平面求和取近似該點(diǎn)處曲面Σ的單位法向量高底通過(guò)Σ流向指定側(cè)的流量kjiniiiirrrrgbacoscoscos++=),cos(||iiinvvrrr99取極限1001.定義三、概念與性質(zhì)定義101或稱被積函數(shù)積分曲面存在,則稱此極限為第二類曲面積分.記作即如曲面為封閉曲面:102類似可定義2.存在條件對(duì)坐標(biāo)的曲面積分存在.在有向光滑連續(xù),1033.組合形式4.物理意義如:上述流向Σ指定側(cè)的流量φ為:

也可寫(xiě)成有向曲面元向量的形式)dd,dd,dd(Sdyxxzzy=r1045.性質(zhì)(1)(2)(3)表示Σ相反的一側(cè),,的曲面積分性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)zxyz.也有類似的結(jié)果105上側(cè),四、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法設(shè)積分曲面Σ是由的曲面Σ在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)楹瘮?shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)R(x,y,z)在Σ上連續(xù).106對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的注側(cè).107

計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分時(shí):(1)認(rèn)定對(duì)哪兩個(gè)坐標(biāo)的積分,將曲面Σ表為這兩個(gè)變量的函數(shù),并確定Σ的投影域.(2)將Σ

的方程代入被積函數(shù),化為投影域上的二重積分.(3)根據(jù)Σ的側(cè)(法向量的方向)確定二重積分前的正負(fù)號(hào).108

例其中Σ是所圍成的正方體的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3

先計(jì)算由于平面都是母線平行于x軸的柱面,則在其上對(duì)坐標(biāo)y,z的積分為0.解三個(gè)坐標(biāo)面與平面外側(cè).Σ1109x=a面在yOz面上的投影為正,而x=0面在yOz面上的投影為負(fù).投影域均為:0≤y≤a,0≤z≤a,故由x,y,z的對(duì)等性知,所求曲面積分為3a4.后兩個(gè)積分值也等于a4.Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3Σ1110解投影域

例計(jì)算其中Σ是球面外側(cè)在的部分.111極坐標(biāo)112設(shè)有向曲面Σ是由方程函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)給出,五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系Σ在xOy是由方程面上投影區(qū)域?yàn)閷?duì)坐標(biāo)的曲面積分為R(x,y,z)在Σ上連續(xù).113曲面Σ的法向量的方向余弦為對(duì)面積的曲面積分為所以(注意取曲面的兩側(cè)均成立)114兩類曲面積分之間的聯(lián)系類似可得不論哪一側(cè)都成立.其中是有向曲面Σ在點(diǎn)處的法向量的方向余弦.115向量形式有向曲面元116解

例下側(cè).117118

例其中Σ解法一直接用對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算法.且其投影區(qū)域分別為由于Σ取上側(cè),在第一卦限部分的上側(cè).面的投影都是正的,119取上側(cè)òò-+--1010d)222(dxyxyxx法二利用兩類曲面積分的聯(lián)系計(jì)算.Σ取上側(cè),銳角.則法向量n與z軸正向的夾角為120yxzzSyxdd1d22++=121關(guān)于曲面?zhèn)鹊男再|(zhì)六、小結(jié)

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念四步:分割、取近似、求和、取極限思想:化為二重積分計(jì)算;

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物理意義注意:“一投,二代,三定號(hào)”

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)兩類曲線積分之間的聯(lián)系方法:122第六節(jié)高斯(Gauss)公式第十一章曲線積分與曲面積分

格林公式把平面上的閉曲線積分與本節(jié)的高斯公式表達(dá)了空間閉曲面上的曲面積分與曲面所圍空間區(qū)域上的三重積分的關(guān)系.所圍區(qū)域的二重積分聯(lián)系起來(lái).123一、高斯公式具有則有公式一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),或

高斯公式外側(cè),124

證明思路

分別證明以下三式,從而完成定理證明.只證其中第三式,其它兩式可完全類似地證明.125證設(shè)空間區(qū)域Ω母線平行于z軸的柱面.即邊界面三部分組成:(取下側(cè))(取上側(cè))(取外側(cè))由三重積分的計(jì)算法126投影法(先一后二法)

由曲面積分的計(jì)算法取下側(cè),取上側(cè),取外側(cè)

一投,二代,三定號(hào)127于是同理合并以上三式得}自己證高斯公式128由兩類曲面積分之間的關(guān)系知高斯公式為計(jì)算(閉)曲面積分提供了它能簡(jiǎn)化曲面積分的計(jì)算.一個(gè)新途徑,表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.高斯Gauss公式的實(shí)質(zhì)129解

球

例外側(cè).130使用Guass公式時(shí)易出的差錯(cuò):(1)搞不清是對(duì)什么變量求偏導(dǎo);(2)不滿足高斯公式的條件,用公式計(jì)算;(3)忽略了的取向,注意是取閉曲面的外側(cè).高斯公式131例解

外側(cè).?能否直接用點(diǎn)(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.可先用曲面方程將被積但是被積函數(shù)中的函數(shù)化簡(jiǎn)，高斯公式132有時(shí)可作輔助面,(將輔助面上的積分減去).化為閉曲面的曲面積分,然后利用高斯公式.對(duì)有的非閉曲面的曲面積分,例計(jì)算曲面積分之間下側(cè).的法向量的方向余弦.部分的解空間曲面Σ在xOy面上的曲面

不是為利用高斯公式.投影域?yàn)檠a(bǔ)封閉曲面,133由對(duì)稱性先二后一法134故所求積分為yxyxSdddd001d=++=135解(如圖)練習(xí)計(jì)算曲面積分1987年研究生考題,計(jì)算(10分)繞y軸旋轉(zhuǎn)曲面方程為一周所成的曲面,它的法向量與y軸正向的夾角繞y軸旋轉(zhuǎn)136取右側(cè).有

高斯公式柱坐標(biāo)137取右側(cè)故1381.

通量為向量場(chǎng)

設(shè)有一向量場(chǎng)則稱沿場(chǎng)中有向曲面Σ某一側(cè)的曲面積分:通量.穿過(guò)曲面Σ這一側(cè)的二、物理意義通量與散度通量的計(jì)算公式1392.散度設(shè)有向量場(chǎng)為場(chǎng)中任一點(diǎn),在P點(diǎn)的某鄰域內(nèi)作一包含P點(diǎn)在其內(nèi)的閉曲面它所圍成的小區(qū)域及其體積記為表示內(nèi)穿出的通量,若當(dāng)縮成P點(diǎn)時(shí),極限記為散度.存在,則該極限值就稱為向量場(chǎng)在P點(diǎn)處的即140散度的計(jì)算公式設(shè)均可導(dǎo),點(diǎn)處的散度為高斯公式高斯公式可寫(xiě)成141例向量場(chǎng)1989年研究生考題,填空(3分)解142高斯Gauss公式物理意義--通量與散度三、小結(jié)表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.高斯Gauss公式的實(shí)質(zhì)(注意使用的條件)143第七節(jié)斯托克斯(stokes)公式

第十一章曲線積分與曲面積分一、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯公式定理為分段光滑的空間有向閉曲線,是以邊界的分片光滑的有向曲面,具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有公式為GS144

即有其中方向余弦.是Σ指定一側(cè)的法向量145Γ的正向與Σ的側(cè)符合右手規(guī)則:

當(dāng)右手除拇指外的四指依Γ的繞行方向時(shí),右手法則拇指所指的方向與Σ上法向量的指向相同.是有向曲面Σ的正向邊界曲線.稱Γ146另一種形式便于記憶形式y(tǒng)xyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(??-??+??-??+??-??òòS147Stokes公式的實(shí)質(zhì)

表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.注意:

則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果∑

是xoy

坐標(biāo)平面上的一塊平面區(qū)域,148解法一按斯托克斯公式,計(jì)算曲線積分例其中被三坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界,它的正向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則.有149按斯托克斯公式,

法二有150解則計(jì)算曲線積分例其中截立方體:的表面所得的截痕,若從Ox軸的正向看去,取逆時(shí)針?lè)较?取Σ為平面的上側(cè)被Γ所圍成的部分.Σ在xOy面上的投影為151即1521.環(huán)流量的定義circulationcurl環(huán)流量.二、物理意義---環(huán)流量與旋度設(shè)向量場(chǎng)按所取方向的沿曲線稱為向量場(chǎng)