《電路與信號分析》課件第5章

5.1正弦量5.2正弦量的相量表示5.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型5.4阻抗與導(dǎo)納5.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率5.7諧振電路5.8三相電路習(xí)題5第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

5.1正弦量

5.1.1正弦量的三要素

電路中按正弦規(guī)律變化的電壓或電流，統(tǒng)稱為正弦量。正弦量是最基本的周期信號，它是任何其它周期信號和非周期信號的基本元素。正弦量既可以用正弦函數(shù)表示，也可以用余弦函數(shù)表示，本書統(tǒng)一采用余弦函數(shù)表示標準正弦量。在選定參考方向和計時起點的情況下，正弦量的瞬時值可表示為

f(t)=Fmcos(ωt+j)(5-1)

將任意時刻t代入f(t)表達式，即可計算出該時刻的瞬時值。通常瞬時值用小寫字母表示。正弦量可以從變化的快慢、變化的大小、變化的起點來說明其變化規(guī)律。由式(5-1)可看出，描述一個正弦信號可以用頻率、振幅和初相三個物理量來表征，它們統(tǒng)稱為正弦量的三要素，下面分別介紹正弦量的三要素。

1.周期、頻率和角頻率

正弦量完成一個循環(huán)所需的時間稱為周期，用字母T表示，單位是秒(s)；正弦量每秒鐘內(nèi)變化的次數(shù)稱為頻率，用字母f表示，單位是赫茲(Hz)；在式(5-1)中，ω表示正弦量單位時間變化的弧度數(shù)，稱為角頻率，用字母ω表示，單位是弧度/秒(rad/s)。由于正弦量一個周期對應(yīng)著2πrad，故角頻率ω、周期T、頻率f的關(guān)系為

(5-2)

我國電力部門所提供的交流電的頻率是50Hz，它的周期為0.02s，角頻率為314rad/s。

2.振幅和有效值

正弦量瞬時值中最大的值稱為振幅，通常用帶下標m的大寫字母表示，它是一個正常數(shù)，例如式(5-1)中的Fm?？梢钥闯稣伊康恼穹_定了它的幅度變化范圍。

在工程技術(shù)中我們通常需要一個特定的值來表征正弦量的大小。因為正弦量的瞬時值時刻在變化，任何瞬間的值不能代表整個正弦量的大小；正弦量的平均值在一個周期內(nèi)為0，也不合適；振幅只能表明正弦量達到極值一瞬間的大小，同樣不合適，因此引入有效值來表征正弦量的大小。正弦量的有效值是利用電流的熱效應(yīng)來規(guī)定的：在一個周期時間內(nèi)，如果一個正弦交流電流和一個直流電流，在相等的時間t內(nèi)通過同一電阻R所產(chǎn)生的熱量相同，則就稱這個直流值為正弦電流的有效值，用大寫字母表示。根據(jù)焦耳－楞次定律，當周期電流信號i(t)流過電阻R時，一個周期T內(nèi)電阻所消耗的能量為

(5-3)直流電流I流過電阻R時，在相同的時間T內(nèi)，該電阻消耗的能量為

(5-4)

如果上述兩種情況中，電阻R消耗的能量相同，即

(5-5)

那么電流I就定義為周期電流信號的有效值，又稱方均根值。當周期電流為正弦電流時，將i(t)=Imcos(ωt+ji)代入式

(5-5)，可得正弦電流的有效值I為

(5-6)

同理可得正弦電壓u(t)=Umcos(ωt+ju)的有效值U為

(5-7)由式(5-6)、式(5-7)可得：正弦量的有效值等于其振幅值的

，與角頻率和初相無關(guān)，因此正弦量也可以表達為

3.相位和初相

正弦量是隨時間而變化的，要確定一個正弦量，除頻率(或周期、角頻率)和振幅(或有效值)外，還必須確定計時起點。所取計時起點不同，正弦量的初始值就不同，達到幅值或某一特定值所需的時間也就不同。

在式(5-1)中，ωt+j稱為正弦量的相位或相位角，它反映了正弦量的變化進程。當相位隨時間連續(xù)變化時，正弦量的瞬時值也隨之連續(xù)變化。當t=0時，ωt+j=j，j稱為初相位或初相位角，簡稱初相，通常規(guī)定|j|≤π。人為地設(shè)定初相j=0的正弦量稱為參考正弦量。參考正弦量的選擇是任意的，但在同一個電路中，只能選擇一個正弦量作為參考正弦量。

綜上所述，一個正弦量可以由其三要素：頻率(或周期、角頻率)、振幅(或有效值)和初相三個物理量來表征。圖5-1所示為式(5-1)正弦量在初相大于0及小于0兩種情況下的波形。

圖5-1正弦量f(t)波形圖(a)j>0；(b)j<05.1.2同頻正弦量的相位差

設(shè)有兩個同頻的正弦量

f1(t)=F1mcos(ωt+j1)

f2(t)=F2mcos(ωt+j2)

則定義它們的相位差為

θ=(ωt+j1)-(ωt+j2)=j1－j2(5-8)分析式(5-8)，可知相位差有如下幾種情況：

(1)超前：若θ>0，即j1>j2，則稱f1(t)超前f2(t)或f2(t)滯后f1(t)；

(2)滯后：若θ<0，即j1<j2，則稱f1(t)滯后f2(t)或f2(t)超前f1(t)；

(3)同相：若θ=0，即j1=j2，則稱f1(t)與f2(t)同相；

(4)反相：若θ=±π，即j1－j2=±π，則稱f1(t)與f2(t)反相；

(5)正交：若，即j1－j2=，則稱f1(t)與f2(t)正交。注意：由于正弦量是相位按2π弧度循環(huán)變化的周期函數(shù)，為避免混淆超前與滯后關(guān)系，通常規(guī)定|θ|≤π。對不在該取值范圍內(nèi)的相位差，可通過θ±2π變換到該取值范圍。同頻正弦量不同相位差的波形如圖5-2所示。圖5-2同頻正弦量的相位差(a)j1>j2；(b)j1<j2；(c)j1=j2，同相；(d)j1－j2=±π，反相；(e)j1－j2=，正交

例5-1已知正弦電流i(t)=20cos(314t+60°)A，電壓u(t)=10sin(314t－30°)V。試分別畫出它們的波形圖，并求出它們的有效值、頻率及相位差。

解電壓可轉(zhuǎn)換為

i(t)、u(t)的波形如圖5-3所示，其有效值為圖5-3

i(t)、u(t)的波形

i(t)、u(t)的頻率為

i(t)、u(t)的相位差為

θ=ju－ji=－120°－60°=－180°

即i(t)、u(t)反相。

5.2正弦量的相量表示

由于任意一個正弦量可以由其三要素頻率(或周期、角頻率)、振幅(或有效值)和初相三個物理量來唯一確定，而通常在正弦穩(wěn)態(tài)分析中，激勵頻率是已知的，響應(yīng)和激勵均為同頻正弦量，故只需求出振幅和初相。相量法正是利用這一特點，用相量表示正弦量的振幅和初相，從而將求解電路的微分方程變換為復(fù)數(shù)代數(shù)方程，簡化了正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析計算。5.2.1復(fù)數(shù)及其運算

如圖5-4所示，復(fù)平面上任意一點A代表一個復(fù)數(shù)。在數(shù)學(xué)上虛部的單位是用符號“i”來表示，而在電路中“i”是代表電流，所以這里我們采用符號“j”來表示虛部單位。圖5-4復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)有如下表達形式：

(1)復(fù)數(shù)的直角坐標形式：

A=a+jb

式中a、b分別為復(fù)數(shù)A的實部和虛部，即

a=Re［A］,

b=Im［A］

上式Re與Im分別是取實部和虛部的運算符號。

(2)復(fù)數(shù)的三角形式：

A=rcosθ+jrsinθ

式中r稱為復(fù)數(shù)A的模；θ稱為復(fù)數(shù)A的幅角，取值范圍為|θ|≤π。

(3)復(fù)數(shù)的指數(shù)形式：

A=rejθ

(4)復(fù)數(shù)的極坐標形式：

A=r∠θ

由圖5-4可知幾種形式之間的關(guān)系：復(fù)數(shù)的運算包括加、減、乘、除四種，為了便于運算，需將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和極坐標形式進行轉(zhuǎn)換。

(1)加、減運算。設(shè)A1=a1+jb1，A2=a2+jb2，則

A=A1±A2=(a1+a2)+j(b1±jb2)

在復(fù)平面上可按“平行四邊形法則”或“三角形法則”求復(fù)數(shù)的加、減運算。

(2)乘、除運算。復(fù)數(shù)的乘、除運算用指數(shù)形式或極坐標形式比較方便。設(shè)

則5.2.2正弦量的相量表示法

設(shè)正弦電流為

根據(jù)歐拉公式可得

故

(5-9)式中

(5-10)

式(5-9)中，ejωt是一個隨時間變化的復(fù)數(shù)，它在復(fù)平面上是以原點為中心，以角速度ω旋轉(zhuǎn)的單位矢量，稱其為旋轉(zhuǎn)因子。

式(5-10)中，是一個表征正弦電流有效值和初相的復(fù)常數(shù)，稱其為正弦電流的有效值相量。也可以用振幅相量表示正弦量的振幅和初相，如

(5-11)同理可定義正弦電壓相量。設(shè)正弦電壓為

則有

(5-12)

(5-13)有效值相量與振幅相量的關(guān)系為

式(5-10)～式(5-13)建立了在給定角頻率下，電流(電壓)相量與相應(yīng)正弦量的一一對應(yīng)關(guān)系，可表示為

注意，相量與相應(yīng)的正弦量是對應(yīng)關(guān)系，不是相等關(guān)系，不能認為相量等于正弦量。

例5-2若正弦電流i1(t)=5cos(314t+60°)A，i2(t)=－10sin(314t+60°)A，i3(t)=－4cos(314t+60°)A。試寫出這三個正弦量的振幅相量，并畫出它們的相量圖。

解

(1)由i1(t)=5cos(314t+60°)A，可直接寫出

(2)由i2(t)=－10sin(314t+60°)=10cos(314t+150°)A，可直接寫出

(3)由i3(t)=－4cos(314t+60°)=4cos(314t－120°)A，可直接寫出

三個電流的相量圖如圖5-5所示，由相量圖可以了解三個電流之間的相位關(guān)系：i1(t)滯后i2(t)90°；i3(t)超前i2(t)90°；i1(t)和i3(t)相位差為180°，反相。圖5-5例5-2圖

例5-3已知有效值相量，

，f=50Hz。試寫出相應(yīng)的三個正弦量。

解由f=50Hzω=2πf=314rad/s，故5.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型

5.3.1基爾霍夫定律的相量形式

1.基爾霍夫電流定律(KCL)的相量形式

圖5-6(a)所示一正弦電路中的部分電路，稱為時域電路。設(shè)連接在節(jié)點A上的n條支路電流均為同頻正弦電流，即則根據(jù)KCL有

即

也就是

(5-14)式中。由于式(5-14)對任意時刻t均成立，有

(5-15)

式(5-15)即為KCL的相量形式。它表示在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，流出(或流入)任意節(jié)點(或封閉面)各支路電流相量的代數(shù)和為零。圖5-6(b)、(c)稱為電路相量模型。圖5-6基爾霍夫電流定律的相量形式

2.基爾霍夫電壓定律(KVL)的相量形式

同理可知KVL定律的相量形式為

(5-16)

式中，。由于式(5-15)對任意時刻t均成立，式(5-16)即為KVL的相量形式。它表示在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，任意閉和回路的各支路電壓相量的代數(shù)和為零。

注意，式(5-15)、式(5-16)表示的是相量的代數(shù)和為零，不要認為是有效值或振幅代數(shù)和為零。

例5-4圖5-7(a)所示為電路中的一個節(jié)點，已知i1(t)=10cos(ωt+60°)A，i2(t)=5sinωtA。求i3(t)。

解首先寫出已知電流的相量形式根據(jù)KCL的相量形式，由，故

因此i3(t)=6.2cos(ωt+36.2°)A，相量圖如圖5-7(b)所示。圖5-7例5-4圖

例5-5在圖5-8(a)所示電路中，已知u1(t)=10cosωtV，u2(t)=10cos(ωt－120°)V，u3(t)=10cos(ωt+120°)V。試求u12(t)、u23(t)、u31(t)。圖5-8例5-5圖

解首先寫出相應(yīng)電壓的相量形式

由KVL的相量形式得由正弦量與相量的一一對應(yīng)關(guān)系，可得

相量圖如圖5-8(b)所示。5.3.2電路元件伏安關(guān)系的相量形式

1.電阻元件

在圖5-9(a)所示電阻元件的時域模型中，根據(jù)歐姆定律有

uR(t)=R·iR(t)(5-17)

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，令

(5-18)

(5-19)將式(5-18)、式(5-19)代入式(5-17)，可得

因為上式對任意t均成立，由此可得

(5-20)

式(5-20)即為正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電阻元件伏安關(guān)系的相量形式。設(shè)根據(jù)式(5-20)可得出

UR=R·IR或URm=R·IRm(5-21)及

juR=jiR(5-22)

由式(5-21)、式(5-22)可得，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電阻元件上的電壓、電流是同頻同相的正弦量，并且它們的有效值和振幅之間關(guān)系符合歐姆定律。電阻元件的相量模型如圖5-9(c)所示，圖5-9(d)是電阻電壓和電流的相量圖，由于電壓和電流同相，故其相量在同一條直線上。圖5-9電阻元件(a)時域模型；(b)波形圖；(c)相量模型；(d)相量圖

2.電感元件

在圖5-10(a)所示電感元件的時域模型中，根據(jù)電感元件的伏安關(guān)系有

(5-23)

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，令

(5-24)

(5-25)將式(5-24)、式(5-25)代入式(5-23)，可得

因為上式對任意t均成立，由此可得

(5-26)式(5-26)即為正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電感元件伏安關(guān)系的相量形式。設(shè)

根據(jù)式(5-26)可得出

(5-27)及

(5-28)由式(5-27)、式(5-28)可得，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，在相位上電感電壓超前電流，在數(shù)值上電壓與電流有效值(振幅)之比為ωL。在電路理論中，將ωL稱為電感元件的電抗，簡稱感抗，單位為歐姆(Ω)，記為XL；感抗的倒數(shù)稱為電納，簡稱感納，單位為西門子(S)，記為BL，即

XL=ωL(5-29)

(5-30)由定義可知感抗XL與頻率成正比，當ω=0時，XL=0，故在直流電路中，電感相當于短路。利用感抗和感納的定義，式

(5-26)又可以寫成

(5-31)

電感元件的相量模型如圖5-10(c)所示，圖5-10(d)是電感電壓和電流的相量圖，根據(jù)式(5-28)可知電壓超前電流，故電壓相量超前電流相量。圖5-10電感元件(a)時域模型；(b)波形圖；(c)相量模型；(d)相量圖

3.電容元件

在圖5-11(a)所示電容元件的時域模型中，根據(jù)電容元件的伏安關(guān)系有

(5-32)

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，令

(5-33)

(5-34)將式(5-33)、式(5-34)代入式(5-32)，得

因為上式對任意t均成立，由此可得

(5-35)式(5-35)即為正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電容元件伏安關(guān)系的相量形式。設(shè)

根據(jù)式(5-35)可得出

(5-36)

及

(5-37)圖5-11電容元件(a)時域模型；(b)波形圖；(c)相量模型；(d)相量圖由式(5-36)、式(5-37)可得，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，在相位上

電容電流超前電壓，在數(shù)值上電壓與電流有效值(振幅)之

比為。在電路理論中，將稱為電容元件的電抗，簡稱

容抗，單位為歐姆(Ω)，記為XC；容抗的倒數(shù)稱為電容的電納，簡稱容納，單位為西門子(S)，記為BC，即

(5-38)

(5-39)由定義可知容抗XC與頻率成反比，當ω=0時，XC=∞，故在直流電路中，電容相當于開路。利用容抗和容納的定義，式(5-35)又可以寫成

(5-40)

電容元件相量模型如圖5-11(c)所示，圖5-11(d)是電容電壓和電流的相量圖，根據(jù)式(5-37)可知電流超前電壓，故電流相量超前電壓相量。對于一個正弦穩(wěn)態(tài)電路，將電路中所有電壓和電流(包括電源和各支路電壓、電流)都用對應(yīng)的相量代替，將所有的電路元件都用相應(yīng)的相量模型代替，即可得原時域電路對應(yīng)的相量模型。

例5-6在圖5-12(a)所示電路中，已知R=0.5Ω，L=1mH，C=2×10－3F，iS(t)=10

cos103tA。試求電壓u(t)。

解由已知條件可知ω=103rad/s，即圖5-12例5-6圖作圖5-12(a)所示電路的相量模型如圖5-12(b)所示，利用KVL的相量形式及元件R、L、C的伏安關(guān)系得

故

u(t)=10cos(103t+45°)V

5.4阻抗與導(dǎo)納

5.4.1阻抗和導(dǎo)納的定義

在圖5-13(a)中，N0表示一個無源二端網(wǎng)絡(luò)，在正弦穩(wěn)態(tài)下，其端口的電流和電壓是同頻正弦量，分別用其相量

和表示，則定義端口電壓相量和電流相量之比為二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗，記為Z；端口電流相量和電壓相量之比為二端網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納，記為Y。即

(5-41)

式中，阻抗Z、導(dǎo)納Y的圖形符號分別如圖5-13(b)、(c)所示。圖5-13二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗與導(dǎo)納阻抗Z既可用直角坐標形式表示，又可用極坐標形式表示，即

(5-42)

式中，R是阻抗的實部，稱為阻抗的電阻分量；X是阻抗的虛

部，稱為阻抗的電抗分量;|Z|=稱為阻抗的模；θZ=ju－ji稱為阻抗角。同理，導(dǎo)納Y既可用直角坐標形式表示，又可用極坐標形式表示，即

(5-43)

式中，G是導(dǎo)納的實部，稱為導(dǎo)納的電導(dǎo)分量；B是導(dǎo)納的虛

部，稱為導(dǎo)納的電納分量;|Y|=稱為導(dǎo)納的模；θY=ji－ju

稱為導(dǎo)納角。由式(5-42)可知，N0可以用一個電阻元件和一個電抗元件相串聯(lián)的電路等效，如圖5-13(d)所示。當X>0時，θZ>0，二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓超前電流，網(wǎng)絡(luò)呈感性，電抗元件可等效為一個電感元件；當X<0時，θZ<0，二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓滯后電流，網(wǎng)絡(luò)呈容性，電抗元件可等效為一個電容元件；當X=0時，θZ=0，二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓與電流同相，網(wǎng)絡(luò)呈阻性，二端網(wǎng)絡(luò)可等效為一個電阻元件。

由式(5-43)可知，N0可以用一個電導(dǎo)元件和一個電納元件相并聯(lián)的電路等效，如圖5-13(e)所示。當B<0時，θY<0，二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓超前電流，網(wǎng)絡(luò)呈感性，電納元件可等效為一個電感元件；當B>0時，θY>0，二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓滯后電流，網(wǎng)絡(luò)呈容性，電納元件可等效為一個電容元件；當B=0時，θY=0，二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓與電流同相，網(wǎng)絡(luò)呈阻性，二端網(wǎng)絡(luò)可等效為一個電阻元件。

綜上所述，一個二端網(wǎng)絡(luò)既可用阻抗，也就是電阻與電抗相串聯(lián)的電路等效，也可用導(dǎo)納，也就是電導(dǎo)與電納相并聯(lián)的電路等效。因為阻抗和導(dǎo)納都是角頻率的函數(shù)，故隨著角頻率的改變，其等效電路也會改變。圖5-13(f)稱為阻抗三角形，圖5-13(g)稱為導(dǎo)納三角形，它們分別表示出阻抗和導(dǎo)納實部、虛部、模和幅角之間的兩組關(guān)系，即

(5-44)

(5-45)對于同一個二端網(wǎng)絡(luò)，導(dǎo)納與阻抗互為倒數(shù)關(guān)系，即

從上式可看出，一般情況下，R與G、X與B不是倒數(shù)關(guān)系。5.4.2阻抗(導(dǎo)納)的串聯(lián)和并聯(lián)

阻抗串聯(lián)和并聯(lián)的計算，在形式上與電阻串聯(lián)和并聯(lián)電路相似。對于n個阻抗串聯(lián)的電路，其等效阻抗等于n個阻抗之和，即

(5-46)

式中，Zk=Rk+jXk；為等效阻抗的電阻分量；

為等效阻抗的電抗分量。在阻抗串聯(lián)電路中，各個阻抗的電壓分配為

(5-47)

式中，為第k個阻抗Zk上的電壓；為總電壓。同理，對于n個導(dǎo)納并聯(lián)的電路，其等效導(dǎo)納等于n個導(dǎo)納之和，即

(5-48)

式中，Yk=Gk+jBk；為等效導(dǎo)納的電導(dǎo)分量；

為等效導(dǎo)納的電納分量。在導(dǎo)納并聯(lián)電路中，各個導(dǎo)納的電流分配為

(5-49)

式中，為第k個導(dǎo)納Yk上的電流；為總電流。

在兩個阻抗并聯(lián)的電路中，等效阻抗計算經(jīng)常采用如下公式：

(5-50)

例5-7已知圖5-14(a)所示電路。求在ω=1rad/s，ω=

4rad/s兩種電源角頻率下的最簡串聯(lián)等效電路。

解

(1)當ω=1rad/s時

據(jù)此作出相應(yīng)的相量模型如圖5-14(b)所示，則(Ω)圖5-14例5-7圖由此可見，當ω=1rad/s時，電路呈容性，可等效為R=

1.8Ω電阻與一個XC=0.15Ω的電容相串聯(lián)，如圖5-14(d)所示，其中電容參數(shù)。

(2)當ω=4rad/s時

據(jù)此作出相應(yīng)的相量模型如圖5-14(c)所示，則

由此可見，當ω=4rad/s時，電路呈感性，可等效為R=

1.2Ω電阻與一個XL=0.6Ω的電感相串聯(lián)，如圖5-14(e)所示，其中電感參數(shù)。(Ω)5.4.3

RLC串聯(lián)電路

圖5-15(a)所示為典型的RLC串聯(lián)電路，其相量模型如圖5-15(b)所示。

由電路的相量模型及KVL相量形式可得

(5-51)

根據(jù)阻抗的定義，等效阻抗為

(5-52)圖5-15

RLC串聯(lián)電路即RLC串聯(lián)電路的阻抗Z等于三個元件阻抗之和，其中阻抗的電阻分量就是串聯(lián)電阻R，電抗分量等于感抗和容抗的差。由式(5-52)可得

(5-53)

當X=XL－XC>0時，θZ>0，RLC串聯(lián)電路端口電壓超前電流，電路呈感性，電路可等效為一個電阻與電感元件相串聯(lián)，等效電感的感抗XLeq=XL－XC；當X=XL－XC<0時，θZ<0，RLC串聯(lián)電路端口電壓滯后電流，電路呈容性，電路可等效為一個電阻與電容元件相串聯(lián)，等效電容的容抗XCeq=XC－XL；當X=XL－XC=0時，θZ=0，RLC串聯(lián)電路端口電壓與電流同相，電路呈阻性，電路可等效為一個電阻。由式(5-51)可得

(5-54)

式(5-54)表明端口電壓相量等于等效阻抗中電阻和電抗電壓相量的和。圖5-15(c)和(d)分別給出以電流相量為參考正弦量，電路呈感性和容性兩種情況下的相量圖。圖中、、組成一個直角三角形，通常稱為電壓三角形。5.4.4

GCL并聯(lián)電路

圖5-16(a)所示為典型的GCL并聯(lián)電路，其相量模型如圖

5-16(b)所示。

由電路的相量模型及KCL相量形式可得

(5-55)

根據(jù)導(dǎo)納的定義，等效導(dǎo)納為

(5-56)圖5-16

GCL并聯(lián)電路即GCL并聯(lián)電路的導(dǎo)納Y等于三個元件導(dǎo)納之和，其中導(dǎo)納的電導(dǎo)分量就是并聯(lián)電導(dǎo)G，電納分量等于容納和感納的差。由式(5-56)可得

(5-57)當B=BC－BL>0時，θY>0，GCL并聯(lián)電路端口電壓滯后電流，電路呈容性，電路可等效為一個電導(dǎo)與電容元件相并聯(lián)，等效電容的容納BCeq=BC－BL；當B=BC－BL<0時，θY<0，GCL并聯(lián)電路端口電壓超前電流，電路呈感性，電路可等效為一個電導(dǎo)與電感元件相并聯(lián)，等效電感的感納BLeq=BL－BC；當B=BC－BL=0時，θY=0，GCL并聯(lián)電路端口電壓與電流同相，電路呈阻性，電路可等效為一個電導(dǎo)。由式(5-55)可得

(5-58)

式(5-58)表明端口電流相量等于等效導(dǎo)納中電導(dǎo)和電納電流相量的和。圖5-16(c)和(d)分別給出以端口電壓相量為參考正弦量，電路呈容性和感性兩種情況下的相量圖。圖中、、

組成一個直角三角形，通常稱為電流三角形。

例5-8圖5-17(a)所示為正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知各電壓相量的有效值分別為：UC=15V，UL=12V，UR=4V。求端口電壓有效值U。

解作出圖5-17(a)所示電路的相量模型如圖5-17(b)所示，設(shè)總的電抗元件上電壓有效值為UX，在RLC串聯(lián)電路中，、

、組成一個電壓三角形，則它們的有效值存在下列關(guān)系：圖5-17例5-8圖由于、的相位差為180°，即反相，故

UX=|UL－UC|=|12－15|=3V

所以

5.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法

由于電路分析的依據(jù)是KVL、KCL和元件的伏安關(guān)系，它們在電阻電路中的形式與正弦穩(wěn)態(tài)電路中的相量形式完全相同。因而電阻電路中的各種分析方法、等效變換和定理等都可推廣到正弦穩(wěn)態(tài)電路中，區(qū)別在于用電壓和電流相量和代替電阻電路中的電壓u和i，用阻抗Z和導(dǎo)納Y代替電阻R和電導(dǎo)G，用電路的相量模型代替電路的時域模型。應(yīng)用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的步驟如下：

(1)將時域電路變換為相量模型；

(2)利用KVL、KCL和元件的伏安關(guān)系及各種分析方法、等效變換和定理建立激勵與響應(yīng)的復(fù)代數(shù)方程，求出響應(yīng)相量；

(3)將響應(yīng)相量變換為正弦量。

下面以幾個例題說明相量分析法的應(yīng)用。

例5-9試求圖5-18所示各電路的輸入阻抗Z和導(dǎo)納Y。

解

(a)由串、并聯(lián)關(guān)系得圖5-18例5-9圖

(b)由串、并聯(lián)關(guān)系得

(c)采用加壓求流法，由圖5-18(c)所示電路得

(d)采用加壓求流法，由圖5-18(d)所示電路得

故

例5-10圖5-19所示兩個二端網(wǎng)絡(luò)在ω=10rad/s時互為等效，已知R=10Ω，R′=12.5Ω。求L及L′。

解兩個二端網(wǎng)絡(luò)等效，即端口等效阻抗或?qū)Ъ{相等，由圖示電路得圖5-19例5-10圖兩個二端網(wǎng)絡(luò)等效，即有將ω=10rad/s，R=10Ω，R′=12.5Ω代入上式，解得

例5-11圖5-20(a)所示為正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知US=10V，uS(t)=10cos(2t+80°)V。試求電流i(t)。

解本題利用疊加定理求解(注意不同頻率信號所對應(yīng)的相量相加是無意義的，只能在時域疊加)。

(1)先求US=10V激勵單獨作用時的電流i′(t)，如圖5-20(b)所示，可得圖5-20例5-11圖

(2)用相量分析法求uS(t)=10cos(2t+80°)V激勵單獨作用時的電流i″(t)，如圖5-20(b)所示，由=10∠80°V可得

故

i″(t)=1.58cos(2t+61.57°)A

(3)根據(jù)疊加定理，可知在US、uS(t)共同作用下的響應(yīng)為

i(t)=i′(t)+i″(t)=2+1.58cos(2t+61.57°)A

例5-12已知電路如圖5-21(a)所示，uS(t)=10cos103tV。試用網(wǎng)孔分析法求解i1(t)、i2(t)。

解作相量模型如圖5-21(b)所示，則兩個網(wǎng)孔電流分別為、。

根據(jù)激勵可知ω=103rad/s，故圖5-21例5-12圖網(wǎng)孔電流方程如下：

(1)

(2)

由式(2)可得

(3)式(3)乘2加式(1)可得

代入式(3)可得

所以

i1(t)=1.24cos(103t+29.7°)A

i2(t)=2.77cos(103t+56.3°)A

例5-13已知電路相量模型如圖5-22所示。試列出節(jié)點電壓方程。

解取節(jié)點3為參考節(jié)點，設(shè)節(jié)點1、節(jié)點2的電壓分別為

、，節(jié)點方程如下：節(jié)點1：圖5-22例5-13圖整理可得

節(jié)點2：整理可得

故圖5-22對應(yīng)的節(jié)點方程為

節(jié)點1:

節(jié)點2:

例5-14已知電路相量模型如圖5-23(a)所示，=10∠0°V。試用戴維寧定理求電流相量。

解

(1)首先求開路電壓，如圖5-23(b)所示，端口開路電流=0，j200Ω阻抗上電壓為0，故可得圖5-23例5-14圖

(2)求等效阻抗Z0，如圖5-23(c)所示，電壓源置零，可得

(3)根據(jù)(1)、(2)可得等效電路如圖5-23(d)所示，利用KVL可得

5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

正弦穩(wěn)態(tài)電路相對于電阻電路引入了儲能元件電感和電容，故對其功率及能量的分析要比電阻電路復(fù)雜。本節(jié)首先引入了平均功率、無功功率、視在功率、復(fù)功率、功率因數(shù)等概念，然后分析正弦穩(wěn)態(tài)電路最大功率傳輸問題。5.6.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率

正弦穩(wěn)態(tài)電路中，無源二端網(wǎng)絡(luò)N0如圖5-24(a)所示，設(shè)其端口電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向則網(wǎng)絡(luò)N0吸收的瞬時功率

(5-59)式(5-59)表明無源二端網(wǎng)絡(luò)N0的瞬時功率p(t)由恒定分量UIcosθZ和正弦分量UIcos(2ωt+2ji+θZ)兩部分組成。圖5-24(b)是瞬時功率p(t)隨時間變化曲線，由圖可看出，由于電壓和電流不同相，故瞬時功率p(t)時正時負，當p(t)>0時，網(wǎng)絡(luò)N0從外電路吸收能量；當p(t)<0時，網(wǎng)絡(luò)N0向外電路輸出能量。因為網(wǎng)絡(luò)N0存在儲能元件，所以網(wǎng)絡(luò)與外電路有能量往返；同時，因為網(wǎng)絡(luò)N0存在電阻元件，所以網(wǎng)絡(luò)N0總體上是耗能的，一個周期中p(t)>0部分大于p(t)<0部分。瞬時功率實用意義并不大，為充分反映正弦電路能量交換的情況，引出下列概念。

圖5-24二端網(wǎng)絡(luò)的功率(a)二端網(wǎng)絡(luò)；(b)功率曲線

1.有功功率P(平均功率)

有功功率P是瞬時功率p(t)在一個周期內(nèi)的平均值，所以也稱為平均功率，簡稱功率。有功功率P的定義為

(5-60)

有功功率P反映的是電路實際消耗的功率，單位為瓦特(W)，平時說某電器的功率是多少瓦，通常指的就是該電器的有功功率。由式(5-60)可以看出有功功率不僅取決于電壓電流的有效值，還與阻抗角有關(guān)。阻抗角又稱功率因數(shù)角，定義為

λ=cosθZ

(5-61)式中λ稱為功率因數(shù)。由于R、L、C組成的無源二端網(wǎng)絡(luò)等效阻抗的電阻分量R≥0，故阻抗角，功率因數(shù)0≤λ≤1。為體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)，通常當電流導(dǎo)前(超前)于電壓，θZ<0時，在λ后標注“導(dǎo)前”；反之，當電流滯后于電壓，θZ>0時，在λ后標注“滯后”。當二端網(wǎng)絡(luò)等效為純電阻R時，θZ=0，功率因數(shù)λ=1，瞬時功率p(t)≥0，有功功率P=UI，因此網(wǎng)絡(luò)只從外電路吸收能量而沒有能量往返交換。當二端網(wǎng)絡(luò)等效為純電抗X時，

，功率因數(shù)λ=0，瞬時功率p(t)是角頻率為2ω的正

弦量，有功功率P=0，因此網(wǎng)絡(luò)不消耗能量而只是不斷與外電路進行能量往返交換，這是電抗元件只儲能不耗能的結(jié)果。若從阻抗的角度看，設(shè)N0的等效阻抗為

Z=|Z|·cosθZ+j·|Z|·sinθZ=Req+j·Xeq

代入式(5-60)，得

P=I·|Z|·IcosθZ=I2·|Z|·cosθZ=I2Req(5-62)

式(5-62)表明N0的有功功率實際上是N0中的電阻分量消耗的功率，所以有功功率又可以用N0中每一個電阻消耗的有功功率之和來表示，即

(5-63)

式中，n是N0中所包含電阻元件的個數(shù)；Rk、Ik、Pk分別是第k個電阻元件的阻值、電流有效值和有功功率。

2.無功功率Q

在電路分析中將能量交換的最大值稱為無功功率Q，定義為

Q=UIsinθZ(5-64)

Q越大，電路儲能的能力就越強。Q的單位為無功伏安，簡稱乏(var)。根據(jù)阻抗角的定義，當θZ<0時，電流超前于電壓，網(wǎng)絡(luò)呈容性，Q<0；當θZ>0時，電流滯后于電壓，網(wǎng)絡(luò)呈感性，Q>0；當θZ=0時，電流與電壓同相，網(wǎng)絡(luò)呈阻性，Q=0，此時網(wǎng)絡(luò)與外電路沒有能量交換，但其內(nèi)部電容電感之間仍可存在能量交換。根據(jù)定義可知三種基本電路元件的無功功率分別為

QR=UIsin0°=0,QL=UIsin90°=UI,

QC=UIsin(－90°)=－UI

上式表明，N0的無功功率等于每個電抗元件的無功功率的和，即

Q=∑QL+∑QC

3.視在功率S

在電工技術(shù)中，將二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓和電流有效值的乘積稱為視在功率S，定義為

S=UI

(5-65)

參照公式(5-60)，功率因數(shù)又可定義為

(5-66)視在功率單位為伏安(VA)。在工程上，通常用視在功率S來衡量一個電氣設(shè)備帶負載的能力。例如某一變壓器工作時的端電壓U=220V，能供出的最大視在功率為22000VA，則變壓器允許通過的最大端電流為I=

=100A。請?zhí)貏e注意，和有功功率、無功功率不同，視在功率是不守恒的。一般來說，∑S≠0，即一個網(wǎng)絡(luò)吸收(供出)的視在功率不等于網(wǎng)絡(luò)中各元件吸收(供出)的視在功率之和。所以，S1+S2+…的值是沒有任何物理意義的。對于單個阻抗Z而言，考慮到U=|Z|I，故單個阻抗上的視在功率的計算式可寫為

(5-67)

4.復(fù)功率

為了方便用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路各種功率之間的關(guān)系，引入復(fù)功率的概念。如圖5-24(a)所示無源二端網(wǎng)絡(luò)N0，設(shè)其端口電壓、電流相量分別為

則復(fù)功率定義為

(5-68)式中表示電流相量的共軛復(fù)數(shù)。將和代入式

(5-68)，有

(5-69)

由式(5-69)可見，復(fù)功率是以有功功率P為實部，無功功率Q為虛部，視在功率S為模，阻抗角θZ為幅角的復(fù)數(shù)，其單位與視在功率同為伏安(VA)。P、Q、S和θZ構(gòu)成一個如圖5-25所示的直角三角形，該三角形稱為功率三角形。圖5-25功率三角形在相量分析法中，如果已知二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓和電流相量，利用式(5-69)可方便地求出網(wǎng)絡(luò)的P、Q、S、λ。單個阻抗上的復(fù)功率也可以使用下面的方法計算：

(5-70)利用復(fù)功率進行計算的另一個優(yōu)點是復(fù)功率是守恒的?？梢宰C明(證明從略)

即一個網(wǎng)絡(luò)吸收(供出)的復(fù)功率等于各元件吸收(供出)的復(fù)功率之和。注意，復(fù)功率的引入只為計算方便，其本身無實際物理意義。

例5-15已知關(guān)聯(lián)參考方向下無源二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓u(t)和i(t)分別為

(1)u(t)=20cos314tV，i(t)=0.3cos314tA;

(2)u(t)=10cos(100t+70°)V，i(t)=2cos(100t+40°)A;

(3)u(t)=10cos(100t+20°)V，i(t)=2cos(100t+50°)A。

求各種情況下的P、Q、S。

解

(1)由已知條件可得端口電壓及電流相量分別為

因此

故

網(wǎng)絡(luò)呈阻性。，

(2)由已知條件可得端口電壓及電流相量分別為

因此

故

網(wǎng)絡(luò)呈感性。，

(3)由已知條件可得端口電壓及電流相量分別為

因此

故，網(wǎng)絡(luò)呈容性。

例5-16一個負載由電壓源供電，已知視在功率為6VA時，負載的功率因數(shù)為0.8(滯后)?，F(xiàn)在并聯(lián)上一個電阻負載，其吸收功率為4W。求并聯(lián)電阻后，電路的總視在功率和功率因數(shù)。

解由題意知原負載為感性負載，其有功功率及無功功率為

PL=SLcosθZ=6×0.8=4.8W

sinθZ=sin(arccos0.8)=0.6

QL=SLsinθZ=6×0.6=3.6var并聯(lián)電阻后，無功功率不變，有功功率為

P=PL+PR=4.8+4=8.8W

并聯(lián)電阻后，電路的總視在功率及功率因數(shù)為

例5-17如圖5-26所示，已知某感性負載接于電壓220V、頻率50Hz的交流電源上，其吸收的平均功率為40W，端口電流I=0.66A。試求感性負載的功率因數(shù)。如欲使電路的功率因數(shù)提高到0.9(滯后)，則需并聯(lián)多大的電容C？

解選端口電壓為參考正弦量，設(shè)=220∠0°V，由題意可得感性負載的功率因數(shù)為

故感性負載的阻抗角為

θZ=arccos0.275=74°圖5-26例5-17圖并聯(lián)電容后，設(shè)電源輸出總電流相量及電容電流相量

的參考方向如圖5-26所示，而且功率因數(shù)提高到0.9(滯后)，則

并聯(lián)電容后，電路的總阻抗角為(由“滯后”可知電路為感性，阻抗角大于0)

θZ′=arccos0.9=25.8°

可得則電容電流相量為

又

故需并聯(lián)C=7.9μF的電容。5.6.2最大功率傳輸

前面電阻電路部分已介紹了電阻電路中的最大功率傳輸問題，下面我們將分析正弦穩(wěn)態(tài)電路中的最大功率，即正弦穩(wěn)態(tài)電路的最大有功功率。

如圖5-27(a)所示，NS為一含源二端網(wǎng)絡(luò)，ZL為可調(diào)阻抗，最大功率傳輸問題要研究的是當Z取何值時，其上可獲得最大的有功功率。圖5-27最大功率傳輸根據(jù)戴維寧定理，NS可以等效為一個戴維寧的模型，設(shè)其等效電路中的電壓源和阻抗分別為和Z0(Z0=R0+jX0)，它們均為給定的不變量，可變負載阻抗為ZL=RL+jXL。由圖5-27(b)可知，負載電流

(5-71)

因此

(5-72)則負載吸收的有功功率為

(5-73)

由于變量XL只出現(xiàn)在分母中，因此對任意的RL，當

XL=－X0時分母最小，此時

上式中RL為變量，令

解得

RL=R0綜上所述，可獲得最大功率的條件為

(5-74)

也就是當負載阻抗ZL與信號源阻抗Z0共軛時，負載可從信號源獲得最大功率，最大功率為

(5-75)

上述獲得最大功率的條件稱為最佳匹配或共軛匹配。

例5-18已知正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5-28(a)所示。若ZL可變，試問ZL為何值可獲得最大功率？最大功率為多少？

解先求負載ZL以左電路的戴維寧等效電路。

(1)求開路電壓，此時電路如圖5-28(b)所示，則有圖5-28例5-18圖

(2)求等效阻抗Z0，此時電路如圖5-28(c)所示，則有

Z0=j4∥(2+2)=2+j2Ω

根據(jù)負載獲得最大傳輸功率的條件可得：當

時可獲得最大功率，且最大功率為5.7諧振電路

諧振電路是一種特殊的正弦電路，由電阻、電感、電容和角頻率為ω的正弦電源組成。按照連接方式的不同，諧振電路又分為串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振電路。

諧振與力學(xué)上的共振類似。當正弦電源的頻率與諧振電路的固有頻率相等時，諧振電路對外電路呈現(xiàn)阻性，即其端電壓與端電流同相位，此時在電路中會產(chǎn)生很大的諧振電流(或電壓)，這時稱電路發(fā)生了諧振，或稱電路處于諧振狀態(tài)。使電路發(fā)生諧振的操作方法稱為調(diào)諧。由于諧振電路會產(chǎn)生很大的振蕩電流(或電壓)，因而可以從眾多的不同頻率信號中選擇出需要的信號。諧振電路具有的這種頻率選擇性，使它在電信技術(shù)中得到了廣泛應(yīng)用；另一方面，在電力系統(tǒng)中，由于電壓或電流較高，發(fā)生諧振則會危及或破壞電路的正常工作。因而要研究諧振，以便揚長避短。5.7.1諧振產(chǎn)生的條件

如圖5-29所示，N0為一無源二端網(wǎng)絡(luò)，同時含有電容和電感元件，若端電壓和端電流同相，就稱網(wǎng)絡(luò)N0產(chǎn)生了諧振。

從端口看，圖5-29所示的無源二端網(wǎng)絡(luò)N0可以等效為一個阻抗Zeq=R+jX或一個導(dǎo)納Yeq=G+jB。當網(wǎng)絡(luò)N0產(chǎn)生諧振時，由于端電壓和端電流同相，所以從端口看N0呈阻性，故諧振產(chǎn)生的條件就是要求Zeq=R是一個純電阻，即要求X=0，或者要求Yeq=G是一個純電導(dǎo)，即要求B=0。圖5-29無源二端網(wǎng)絡(luò)5.7.2

RLC串聯(lián)諧振電路

1.串聯(lián)諧振產(chǎn)生的條件

如圖5-30所示的RLC串聯(lián)電路，其等效阻抗為

(5-76)

根據(jù)諧振產(chǎn)生的條件可知，如果當正弦角頻率ω變到ω0，RLC串聯(lián)電路產(chǎn)生諧振，必有X=0，即

(5-77)圖5-30

RLC串聯(lián)諧振電路由式(5-77)可得

(5-78)

式中，ω0稱為串聯(lián)諧振角頻率；f0稱為串聯(lián)諧振頻率?？梢姡C振角頻率和頻率只和電路的固有參數(shù)L、C有關(guān)，所以ω0(f0)也稱為電路的固有角頻率(頻率)。式(5-77)就是RLC串聯(lián)電路產(chǎn)生諧振的條件。由式(5-76)可知，要使電路產(chǎn)生諧振有兩種方法：

(1)在L、C不變的情況下，調(diào)節(jié)輸入信號的角頻率ω以滿足式(5-77)；

(2)在ω不變的情況下調(diào)節(jié)參數(shù)L、C以滿足式(5-77)。

2.串聯(lián)諧振電路的特點

如圖5-30所示，設(shè)電壓，則電流

(5-79)

(1)諧振時端電流I=I0達到最大。在U和R保持不變的情況下，當電路產(chǎn)生諧振時，，此時端電流為最大值

(5-80)

(2)諧振時感抗與容抗相等，通常將諧振時的感抗或容抗稱為諧振電路的特性阻抗，用字母ρ表示，即

(5-81)

式(5-81)說明特性阻抗ρ只取決于電路參數(shù)L和C的大小，與諧振頻率無關(guān)。ρ具有電阻的量綱，是串聯(lián)諧振電路的重要二次參數(shù)。

(3)在工程中，通常用電路的特性阻抗與電路的電阻阻值相比來表征諧振電路的性質(zhì)，此比值稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，用字母Q表示，即

(5-82)

式(5-82)說明品質(zhì)因數(shù)Q只取決于電路參數(shù)R、L和C的大小，與諧振頻率無關(guān)。Q是串聯(lián)諧振電路無量綱的重要二次參數(shù)。

(4)當ω=ω0諧振時

(5-83)由式(5-83)可知諧振時電抗元件L、C上的電壓相量大小相