江蘇省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)講義04：函數(shù)的概念與性質(zhì)部分

2024-2025學(xué)年度江蘇省高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)--函數(shù)的基本性質(zhì)部分一、函數(shù)的概念1．函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)同一函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．2.常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求(1)分式函數(shù)中分母不等于零．(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}．對(duì)于抽象函數(shù)定義域的求解(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域二、函數(shù)的單調(diào)性1．單調(diào)函數(shù)的定義2.單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．3．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．即“同增異減”．4．函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)(1)若f(x)，g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)．更進(jìn)一步，有增＋增→增，增－減→增，減＋減→減，減－增→減．(2)若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反．(3)在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)(f(x)≠0)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)單調(diào)性相反；函數(shù)y＝f(x)(f(x)≥0)與y＝eq\r(fx)單調(diào)性相同．(4)奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反5．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值6.函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取到．(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值．7．利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)最值的步驟(1)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)確定最大值和最小值．三、函數(shù)的奇偶性1．函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)定義一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)圖象特征關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱2.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．一、單選題1．（23-24高一上·江蘇南通·期末）函數(shù)，的最小值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江蘇常州·期末）已知函數(shù)，若，則的值是（

）A． B．3或 C．或 D．3或或3．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）函數(shù)，若，則，，的大小關(guān)系是（

）.A． B．C． D．5．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，則滿足不等式的的取值范圍是（

）.A． B． C． D．6．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)是奇函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，．若，則的值為（

）A． B． C． D．7．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意，且，都有，，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知為上的奇函數(shù)，，若對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知命題函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列是命題的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B．C． D．10．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)锽．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增11．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足：對(duì)任意的，都有設(shè)，且當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則下列說法正確的有（

）．A．B．的一個(gè)周期是C．在上的值域?yàn)镈．的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱三、填空題12．（23-24高一上·江蘇連云港·期末）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期為.13．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，的最大值為，則的最小值為.14．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對(duì)于任意的，，都有，且時(shí)，有，若的最大值為，最小值為，則的值為.四、解答題15．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）已知函數(shù)y=fx是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，(1)求函數(shù)y=(2)在給定的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并求不等式的解集．16．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，滿足且函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù).(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）設(shè)函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，判斷的奇偶性，并說明理由；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，均有成立，求的最大值．18．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)，函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)如果對(duì)于任意，都存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）定義：若對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，（為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“距”增函數(shù)．(1)若，判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；(2)若是“距”增函數(shù)，求的取值范圍；(3)若，，其中，且為“2距”增函數(shù)，求的最小值．

參考答案：1．B【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得該函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)，的最小值為.故選：B.2．A【分析】利用給定的分段函數(shù)，列式求解即得.【詳解】函數(shù)，由，得，解得；或，無解，所以的值是.故選：A3．C【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】由題意，故，又，則.故選：C4．A【分析】先根據(jù)求得，再根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合中間值比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所?故選：A5．D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，且，，所以.故選：D.6．A【分析】分析出函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，再根據(jù)求出值，最后利用對(duì)稱性和周期性計(jì)算的值即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則，故，又，所以，即，所以，則的周期為，當(dāng)時(shí)，，又，則，即，即，解得，則當(dāng)時(shí)，，由，得，又，則.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性解得，再通過其對(duì)稱性和周期性求出的值.7．A【分析】判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性以及函數(shù)值正負(fù)情況，結(jié)合奇偶性，可判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，以及函數(shù)值的正負(fù)情況，由此可得不等式的解集.【詳解】由題意知對(duì)任意，且，都有，，則在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又是定義在上的偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；不妨畫出圖象示意圖如圖：則不等式的解集是，故選：A8．B【分析】令，由題可知為R上的偶函數(shù)且在0,+∞上單調(diào)遞減，由，將不等式轉(zhuǎn)化為或，結(jié)合的單調(diào)性即可求解.【詳解】，因?yàn)椋?，則有，即.令，則在0,+∞上單調(diào)遞減.因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，所以為R上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增.又，則不等式可轉(zhuǎn)化為所以，解得.又當(dāng)x=-1時(shí)，，不合題意.所以的解集為.故選：B9．CD【分析】求出命題為真時(shí)的范圍，再根據(jù)必要不充分條件的定義判斷．【詳解】由命題函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得或，即，由必要不充分條件的定義知只有C,D選項(xiàng)符合.故選：CD.10．BD【分析】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)和“川字”函數(shù)的單調(diào)性和值域并結(jié)合圖象意一一分析即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則當(dāng)時(shí)，，作出對(duì)勾函數(shù)的圖象如圖所示：則其值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤，取，，則，則C錯(cuò)誤；當(dāng)當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榫鶈握{(diào)遞增，則單調(diào)遞增，故D正確；當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，結(jié)合其奇偶性作出函數(shù)圖象：則當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镽，故B正確.故選：BD.11．ABC【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)、結(jié)合賦值法逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由為上的奇函數(shù)，得，，A正確；對(duì)于B，由，得，則的一個(gè)周期是，B正確；對(duì)于C，顯然函數(shù)的定義域?yàn)?，，即是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋春瘮?shù)在上的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，因此，C正確；對(duì)于D，由，得，沒有條件求得成立，D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及抽象函數(shù)等式問題，利用賦值法探討函數(shù)的性質(zhì)，再借助性質(zhì)即可求解.12．4【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合推出，求出答案.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，將替換為得，又是上的偶函數(shù)，故，所以，故，所以，所以函數(shù)的一個(gè)正周期為4，又，故2不是函數(shù)的周期，所以函數(shù)的最小正周期為4.故答案為：413．【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可知時(shí)，最小值為，考查時(shí)的最值情況，可得到的范圍，即可求解.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為，則時(shí)，最小值為，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故則時(shí)，最小值為，必有，則，故的最小值為，故答案為：.14．4048【分析】先計(jì)算得到，再構(gòu)造函數(shù)，定義法判斷奇偶性，利用對(duì)稱性有，即可求解.【詳解】令得，所以，令得，所以，令，則，，因?yàn)?，又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：404815．(1)(2)圖象見解析，【分析】（1）利用的奇偶性可得答案；（2）畫出圖象，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，又滿足，所以；（2）由（1）可得圖象如下圖所示，

不等式轉(zhuǎn)化為，或；所以，或，解得或或，綜上所述，不等式的解集為.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)解析式；（2）由（1）可得在單調(diào)遞增，結(jié)合條件轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，求得其最小值即可.【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為，由題意可得，所以，又函數(shù)是偶函數(shù)，則其函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，即，所以，故，所以.（2）由（1）可得，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，若，使成立，即，即，令，當(dāng)時(shí)，，不符合；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，則，即，解得；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，即，解得，且，則；綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17．(1)非奇非偶函數(shù)；理由見解析(2)【分析】由題意得當(dāng)時(shí)，函數(shù)，且函數(shù)的定義域?yàn)?，利用函?shù)奇偶性的定義進(jìn)行判定，即可得出答案；討論去絕對(duì)值，然后討論，以及對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，可求出與的關(guān)系式，然后分別求出的最大值，從而可求出所求．【詳解】（1）由題意得當(dāng)時(shí)，函數(shù)，且函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，∴f（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，均有成立，令，當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的恒成立，即，解得，的最大值為；當(dāng)時(shí)，，，對(duì)稱軸為，，則，不等號(hào)方向改變，即，所以，則，的最大值為；時(shí)，，即，所以，即，無解；時(shí)，，所以，即，即，所以無解；當(dāng)時(shí)，，，對(duì)稱軸為，，則，即，無解；時(shí)，，即，，，則，則，，的最大值為；時(shí)，，，，則且，，則，的最大值為；當(dāng)時(shí)，，，，，即，則，而，，則，令，，則，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以的最大值為綜上所述，對(duì)任意的，均有成立，則的最大值為所有最大值中的最小值【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判定，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的能力，屬于難題．18．(1)(2)【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性解不等式；（2）分別求出在上和在上的值域，利用包含關(guān)系求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)，定義域?yàn)镽，，函數(shù)為奇函數(shù)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，不等式，即，得，解得，所以不等式的解集為.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，則時(shí)；在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，依題意有：，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．(1)是“1距”增函數(shù)，理由見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)定義，作差比較大小即可；（2）根據(jù)定義可知恒成立，代入轉(zhuǎn)化為一元二次方程大于零恒成立，利用判別式求