江蘇省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)講義05：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)部分

21/212024-2025學(xué)年度江蘇省高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)--冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)部分一、冪函數(shù)1、冪函數(shù)的概念一般地，我們把形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).2、常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)(1)y=x；(2)y=x12；(3)y=x2；(4)y=x-1；(5)y=x33、常見冪函數(shù)的性質(zhì)4、冪函數(shù)的共同特性（1）冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))的性質(zhì)①當(dāng)α>0時(shí)，函數(shù)y=xα的圖象都過點(diǎn)(0，0)和(1，1)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而上升，函數(shù)在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增.②當(dāng)α<0時(shí)，函數(shù)y=xα的圖象都過點(diǎn)(1，1)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象隨x的增大而下降，函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞減.5、冪函數(shù)的圖象（1）根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象可確定冪的指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系.?（2）依據(jù)冪函數(shù)的圖象的高低判斷冪的指數(shù)的大小，相關(guān)結(jié)論如下：①在x∈(0，1)上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)；②在x∈(1，+∞)上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖高”)6、冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（1）冪函數(shù)的性質(zhì)與α的相互確定冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取值有關(guān)，故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性.反過來，也可由冪函數(shù)的性質(zhì)去限制α的取值：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求出α的取值范圍；由冪函數(shù)的奇偶性結(jié)合所給條件確定α的值.（2）利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法①直接法：當(dāng)冪函數(shù)中的冪的指數(shù)相同時(shí)，可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大?。虎谵D(zhuǎn)化法：當(dāng)冪函數(shù)中的冪的指數(shù)不同時(shí)，可以先轉(zhuǎn)化為相同的冪的指數(shù)，再運(yùn)用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小；③中間量法：當(dāng)冪函數(shù)中的底數(shù)和冪的指數(shù)均不同時(shí)，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g值(通常選用0或1)比較大小.二、指數(shù)函數(shù)1.定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)?2.性質(zhì)：3、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域問題（1）求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，要觀察函數(shù)是y=af(x)(a>0，a≠1)型還是y=f(ax)(a>0，a≠1)型.（2）函數(shù)y=af(x)(a>0，且a≠1)的定義域與f(x)的定義域相同（3）求函數(shù)y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定義域，先令u=ax(u>0)，然后確定y=f(u)的定義域，即u=ax的值域，由此構(gòu)造關(guān)于x的不等式(組)，確定x的取值集合，即y=f(ax)的定義域.4、求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，重點(diǎn)要注意指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，+∞).(1)求函數(shù)y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域，需先確定f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性確定函數(shù)y=af(x)的值域.(2)求函數(shù)y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域，先令u=ax(u>0)，然后利用函數(shù)u=ax的單調(diào)性確定其值域，進(jìn)而確定函數(shù)y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域.5、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性（1）形如y=af(x)(a>0，a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法（2）當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)u=f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間(3)當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)u=f(x)的單調(diào)遞減(增)區(qū)間即為函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.6、形如y=f(ax)(a>0，a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法通過內(nèi)層函數(shù)u=ax的值域確定外層函數(shù)y=f(u)的定義域，在此定義域內(nèi)討論外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)律確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性三、對(duì)數(shù)函數(shù)1.定義：函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，定義域是.2.性質(zhì)：3、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用（1）對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題求函數(shù)y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的圖象所過定點(diǎn)時(shí)，只需令f(x)=1，求出x，即得定點(diǎn)為(x，m).（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的方法作直線y=1，與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個(gè)底數(shù)，根據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小.（3）函數(shù)圖象的變換規(guī)律①一般地，函數(shù)y=f(x+a)+b(a，b為實(shí)數(shù))的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度后，再沿y軸向上或向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.②含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過對(duì)稱變換得到的.4、比較對(duì)數(shù)值的大小(1)底數(shù)相同，真數(shù)不同：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)底數(shù)不同，真數(shù)相同：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化進(jìn)行比較.(3)底數(shù)不同，真數(shù)不同：利用中間量進(jìn)行比較.(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論5、解對(duì)數(shù)不等式(1)形如logaf(x)>logab(a>0，且a≠1)的不等式，借助函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，則需分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論；(2)形如logaf(x)>b(a>0，且a≠1)的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式(即b=logaab)，借助函數(shù)的單調(diào)性求解；(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解或利用圖象求解.6、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域問題（1）對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)，除了要遵循前面所學(xué)的求函數(shù)定義域的方法外，還要保證對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1.（2）求對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域的常用方法①直接法：根據(jù)函數(shù)解析式的特征，直接得出函數(shù)的值域.②配方法：當(dāng)所給的函數(shù)可化為二次函數(shù)形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))時(shí)，可以用配方法求函數(shù)的值域.③單調(diào)性法：根據(jù)所給函數(shù)在其定義域(或定義域的某個(gè)子集)上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域.④換元法：求形如y=logaf(x)(a>0且a≠1，f(x)>0)的函數(shù)的值域時(shí)，先換元，令u=f(x)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出u的范圍，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的單調(diào)性、圖象求出y的取值范圍.7、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法（1）形如y=logaf(x)(a>0，a≠1，f(x)>0)的復(fù)合函數(shù)，當(dāng)a>1時(shí)，y=logaf(x)的單調(diào)性與y=f(x)的單調(diào)性相同；當(dāng)0<a<1時(shí)，y=logaf(x)的單調(diào)性與y=f(x)的單調(diào)性相反.（2）形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的復(fù)合函數(shù)，一般用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律判斷，即令t=logax(a>0，a≠1)，只需研究t=logax與y=f(t)的單調(diào)性即可.一、單選題1．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，則值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·江蘇連云港·期末）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或4．（23-24高一上·江蘇淮安·期末）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·江蘇常州·期末）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，記，則（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知，且，則的取值范圍是（

）.A． B． C． D．7．（23-24高一上·江蘇南京·期末）在等式中，如果只給定三個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)，那么就成為另兩個(gè)數(shù)之間的“函數(shù)關(guān)系”.如果為常數(shù)10，將視為自變量且，則為的函數(shù)，記為，那么，現(xiàn)將關(guān)于的函數(shù)記為.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知函數(shù)定義域?yàn)?，?duì)任意的，當(dāng)時(shí)，有.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高一上·江蘇連云港·期末）下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．的遞減區(qū)間是C．的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是10．（23-24高一上·江蘇泰州·期末）已知函數(shù)，若的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．11．（23-24高一上·江蘇常州·期末）若函數(shù)對(duì)于任意，都有，則稱具有性質(zhì)．下列函數(shù)中，具有性質(zhì)的有（

）A． B．C． D．三、填空題12．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)，則的定義域?yàn)椋?3．（23-24高一上·江蘇南通·期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是.14．（23-24高一上·江蘇常州·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為.四、解答題15．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）畫出下列函數(shù)的大致圖象：(1)．(2)．16．（23-24高一上·江蘇南通·期末）已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)判斷并證明的奇偶性；(3)討論的單調(diào)性.17．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)（且）在上的最大值與最小值之積等于8，設(shè)函數(shù).(1)求的值，并證明為奇函數(shù)；(2)若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）若函數(shù)y=fx對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)在定義域（）上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；(3)已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”.若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

參考答案：1．A【分析】根據(jù)題意先判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求最值和值域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)的最小值為，最大值為，所以值域?yàn)?故選：A.2．D【分析】把點(diǎn)代入冪函數(shù)的解析式求出的值，進(jìn)而可得在上單調(diào)遞減，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，從而比較出，，的大?。驹斀狻奎c(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，，，，在上單調(diào)遞減，，，，，，即故選：D.3．B【分析】根據(jù)確定其單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；其中，所以在上單調(diào)遞減；因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?shí)數(shù)的取值范圍或，故選B.4．D【分析】利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值域判斷即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù),即可知函數(shù)的定義域?yàn)镽,即為偶函數(shù)，排除A、C，又由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可以，即，排除B,故選：D.5．A【分析】根據(jù)給定條件，探討其對(duì)稱性和單調(diào)性，再利用性質(zhì)比較大小.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因此函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，顯然，即，所以.故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.6．B【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)不等式解得，記，由條件得，則，構(gòu)造函數(shù)，，利用函數(shù)單調(diào)性求值域即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，記，則，從而，，令，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是.故選：B7．D【分析】根據(jù)題意中函數(shù)的定義可得，由得，結(jié)合不等式的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可.【詳解】由題意知，，則，得，即.由，得，即或，解得，所以原不等式的解集為.故選：D8．B【分析】根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，即可得到函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，有，即，即，令，則當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B9．AC【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷A正確；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷B錯(cuò)誤；對(duì)函數(shù)變形后，利用反比例函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)圖像的變換規(guī)律可得C正確；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】A：因?yàn)?，所以，故A正確；B：設(shè)，因?yàn)樵诙x域上為增函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)有意義可知，減區(qū)間為，故B錯(cuò)誤；C：，對(duì)稱中心為，故C正確；D：函數(shù)的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10．BD【分析】分別求出值域，根據(jù)值域的并集為R建立不等式，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，由題意的值域?yàn)镽，所以R，所以，記，且，在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象，如圖：

因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，要使，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)的值可以是，.故選：BD11．ACD【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)圖像應(yīng)該是上凸的或者是直線，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】對(duì)于任意，，故函數(shù)圖像應(yīng)該是上凸的，此時(shí)，如圖所示：或者函數(shù)圖像是一條直線，此時(shí)，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：ACD滿足條件.故選：ACD12．【分析】先求出函數(shù)的定義域，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域，即可求解．【詳解】由題意得，，解得，令，則，故的定義域?yàn)?故答案為：13．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，且有，解得，所以，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，分析得到函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合性質(zhì)及題中條件列出不等式，解出即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”可知在1,+∞上單調(diào)遞增，任取，，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，所以函?shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，解?所以原不等式的解集為12故答案為：12【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的定義證明為偶函數(shù)且在1,+∞上單調(diào)遞增，再由單調(diào)性和奇偶性解不等式即可答案.15．(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）由函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用對(duì)稱性作圖．（2）利用函數(shù)圖象的對(duì)稱變換，把的圖象先關(guān)于y軸對(duì)稱，再關(guān)于x軸對(duì)稱即可.【詳解】（1），易知函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象如圖所示：（2）把的圖象先關(guān)于y軸對(duì)稱，再關(guān)于x軸對(duì)稱，即可得的圖象，如圖所示：16．(1)(2)偶函數(shù)，證明見解析(3)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零可求得函數(shù)的定義域；（2）判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，然后利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可；（3）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)，有，解得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?（2）函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù).（3）因?yàn)?，令，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，外層函數(shù)為上的增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知