掌握求兩圓內(nèi)外公切線長(zhǎng)的方法

掌握求兩圓內(nèi)外公切線長(zhǎng)的方法1.掌握求兩圓內(nèi)外公切線長(zhǎng)的方法。2.掌握兩圓內(nèi)公切線的性質(zhì)，并能根據(jù)內(nèi)公切線的概念及其性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算和證明問(wèn)題。3.掌握用直尺作兩圓內(nèi)公切線的方法，了解用兩圓內(nèi)公切線的尺規(guī)作圖法。7.14兩圓的公切線(2)1．內(nèi)公切線的概念：在上一講的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道：和兩個(gè)圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線，若兩個(gè)圓在公切線兩旁時(shí)，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線。當(dāng)兩圓外離時(shí)，有兩條內(nèi)公切線，當(dāng)兩圓外切時(shí)有一條內(nèi)公切線，兩圓相交，內(nèi)切或內(nèi)含時(shí)無(wú)內(nèi)公切線。2．內(nèi)公切線的性質(zhì)：3．內(nèi)公切線長(zhǎng)的計(jì)算：如圖，作O1E∥AB交O2B的延長(zhǎng)線于E，兩圓外離時(shí)，有兩條內(nèi)公切線、由圓的對(duì)稱性可知這兩條內(nèi)公切線的長(zhǎng)相等，且兩公切線的交點(diǎn)在連心線上，連心線平分兩內(nèi)公切線的夾角。如圖(1)所示：內(nèi)公切線AB＝CD，AB與CD的交點(diǎn)P在連心線O1O2上，∠APO1＝∠CPO2.ABCDPRrO2O1E構(gòu)成Rt△O1EO2，則O2E＝R＋r，O1O2＝d，AB＝O1E＝。設(shè)⊙O1和⊙O2的半徑分別為r，R，例2、（教材例2）已知：⊙O1和⊙O2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距為10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一條內(nèi)公切線，切點(diǎn)分別是A，B．求：公切線的長(zhǎng)AB。解：連結(jié)O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．過(guò)O1作O1C⊥O2B，交O2B的延長(zhǎng)線于C，則O1C=AB，O1A=BC．在Rt△O2CO1和．

O1O2=10，O2C=O2B+O1A=6∴O1C=(cm)．∴AB=8（cm）4．范例解析：例1要做一個(gè)如圖那個(gè)的V形架，將兩個(gè)鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200mm和80mm，求V形角的度數(shù)。O2O1CBAPDE連結(jié)O1O2、O1A、O2B，過(guò)O1作O1C∥AB交O2B延長(zhǎng)線于C，則O1A⊥AB，O2B⊥AB，四邊形AO1CB為矩形。例2已知⊙O1與⊙O2的半徑之和等于8cm，兩圓的一條內(nèi)公切線長(zhǎng)為6cm，求這兩圓的圓心距。(如圖)解：∴O1C＝AB＝6cm，O1A＝BC∴O2C＝O2B＋BC＝O2B＋O1A＝8cm∴O1O2＝＝10(cm)可知＝

，O1QO2QO1BO2A分析：例3如圖5，已知⊙O1和⊙O2的內(nèi)公切線CD和外公切線AB分別與連心線O1O2相交于P、Q，直接證明這個(gè)比例式較困難，為此先看比，O1PO2P因此可得＝，O1PO2PO1CO2D注意CD為內(nèi)公切線，連O1C、O2D可得O1C∥O2D，O1PO2PO1QO2Q求證：＝.連O1B、O2A可得O1B∥O2A，而O1C＝O2B，O2A＝O2D，同樣注意和AB為公切線，O1QO2Q得＝，故可以得證.O1CO2DO1BO2AO2O1ABCDQP證明：連結(jié)O1C、O1B、O2A、O2D∴＝，O1PO2PO1CO2D∵CD為⊙O1和⊙O2的內(nèi)公切線∴O1C⊥CD，O2D⊥CD∴O1C∥O2D∴O1B⊥AB，O2A⊥AB又∵AQ為⊙O1和⊙O2的外公切線∴O1B∥O2A∵O1C＝O1B，O2D＝O2A∴＝O1QO2QO1AO2B∴＝.O1PO2PO1QO2QO2O1ABCDQP本講著重介紹了求內(nèi)公切長(zhǎng)的方法、內(nèi)公切線的性質(zhì)、內(nèi)公切線的作法以及內(nèi)公切線條數(shù)與兩圓位置之間的聯(lián)系，這些都是有關(guān)內(nèi)公切線的基本知識(shí)，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真體會(huì)，確實(shí)掌握好。

內(nèi)公切線是圓的切線，因此具有圓的切線的性質(zhì)，例如內(nèi)公切線垂直過(guò)切點(diǎn)的半徑。在解答有關(guān)內(nèi)公切的問(wèn)題時(shí)，常常要連結(jié)圓心和切點(diǎn)，得出垂直關(guān)系，并且據(jù)此可以推出兩圓外切時(shí)，內(nèi)公切線垂直連心線。

如果兩圓外切或內(nèi)切時(shí)，過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線是解題時(shí)常用的輔助線，因?yàn)檫@條切線是兩圓公共的切線，其作用是可以構(gòu)成兩個(gè)圖中的有關(guān)角的關(guān)系，從而為利用弦切角、圓周角、圓心角等的性質(zhì)創(chuàng)造了條件。由此達(dá)到計(jì)算和論證的目的。1．兩圓半徑分別為8和5，若兩圓共有三條公切線，那么圓心距d為()A．d＝3B．3＜d＜13C．d＝13D．d＞13A．兩圓有兩條外公切線，有且只有一條內(nèi)公切線。

B．兩圓既有兩條外公切線，又有兩條內(nèi)公切線。

C．兩圓只有兩條外公切線，沒(méi)有內(nèi)公切線。

D．兩圓既無(wú)外公切線，又無(wú)內(nèi)公切線。3．若⊙O1和⊙O2的半徑分別為3cm和1cm，其內(nèi)公切線長(zhǎng)為4cm，則O1O2

長(zhǎng)為______。4．兩圓外離，圓心距為25cm，兩圓的周長(zhǎng)為15πcm和10πcm，則內(nèi)公切線與連心線的夾角（銳角）等于______。2．⊙O1與⊙O2的半徑分別為cm和cm，O1O2＝2cm，則()課堂練習(xí)5．已知：如圖(6)，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)T，外公切線AB與連心線O1O2交于P，A、B是切點(diǎn)，求證：(1)∠ATB＝90°；(2)PT2＝PB·PA.6．若兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距為14cm，外切時(shí)，圓心距為40cm，則兩圓圓心距為50cm時(shí)，內(nèi)公切線的長(zhǎng)為______cm。8．如圖所示，已知兩圓的內(nèi)公切線互相垂直，若兩圓的半徑分別為5和4厘米，則兩圓圓心距為()7．若外離兩圓的半徑是5cm和3cm，內(nèi)公切線與連心線所夾銳角的正弦為，則內(nèi)公切線長(zhǎng)____cm，圓心距為____cm。45A.9cmB.9cmC.cmD.cm929．若⊙O1與⊙O2外離，A、B是一條內(nèi)公切線與兩條外公切線的交點(diǎn)，則

AB的長(zhǎng)()A．等于一條外公切的長(zhǎng)。

B．等于內(nèi)公切線長(zhǎng)與外公切線長(zhǎng)的平均數(shù)。

C．等于內(nèi)公切線長(zhǎng)與外公切線長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。

D．當(dāng)且僅當(dāng)兩圓為等圓時(shí)等于一條外公切線的長(zhǎng)。10．已知：如圖，兩圓外切于P，直線MN與兩圓分別切于M、N，過(guò)P作一直

線交兩圓于A、B，求證：AM⊥BN.課外作業(yè)2．兩圓的半徑分別為2.5和1.5，圓心距為5，則兩圓的內(nèi)公切線長(zhǎng)為_______。3．兩圓共有四條公切線，如果兩圓圓心距為12，大圓半徑為7，則小圓半徑的所有可能的正整數(shù)值是_______。1．

如果兩圓半徑分別為4cm和6cm，其圓心距為20cm，則兩圓的兩條內(nèi)公切線所成的角是_______度。4．已知：如圖(7)，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)A，BC是⊙O1和⊙O2的外公切線，B、C為切點(diǎn)，過(guò)A作直線EF交⊙O1于E，交⊙O2于F，連結(jié)EB、FC并延長(zhǎng)交于G，(7)求證：GB2＋GC2＝BC2。5．如圖(8)，⊙O1與⊙O2外切于E點(diǎn)，AF是外公切線，直線AB、CD過(guò)點(diǎn)E，分別與⊙O1、⊙O2交于點(diǎn)A、C、B、D，若AF＝2AE，3AE＝2CE，AF＝4，求DE的長(zhǎng)。6．若兩圓外離且外公切線長(zhǎng)m與內(nèi)公切線長(zhǎng)n的大小關(guān)系是()7．如果兩圓的半徑和它們的圓心距分別等于一個(gè)三角形的三條邊，那么這兩圓的公切線的條數(shù)是()A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．不能確定A．4B．3C．2D．18．如圖，兩圓的兩條內(nèi)公切線和一條外公切線圍成△ABC，則△ABC的