第十九講　等腰三角形

第十九講等腰三角形1.如圖,△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平分線,下列結(jié)論中不正確的是(D)A.AB=AC B.AD⊥BCC.BD=CD D.AD=BC2.若一個等腰三角形的兩邊長分別為4和10,則這個三角形的周長為(C)A.18 B.22C.24 D.18或243.如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的中垂線DE交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,下列結(jié)論:①BD平分∠ABC;②AD=BD=BC;③△BDC的周長等于AB+BC;④D是AC中點(diǎn).其中正確的是(B)A.①② B.①②③C.③④ D.①②③④4.如圖,等邊△OAB的邊長為2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(D)A.(1,1) B.(3,1)C.(3,3) D.(1,3)5.如圖,a∥b,直線l與直線a,b分別交于B,A兩點(diǎn),分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于12AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)E,F,作直線EF,分別交直線a,b于點(diǎn)C,D,連接AC,若∠CDA=34°,則∠CAB的度數(shù)為56°6.如圖,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,則∠C=52°.

7.如圖,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,則∠C=40°.

8.如圖,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以點(diǎn)A為圓心,AC長為半徑作弧,交射線BA于點(diǎn)D,連接CD,則∠BCD的度數(shù)是10°或100°.

9.(2024·宜賓)如圖,點(diǎn)D,E分別是等邊三角形ABC邊BC,AC上的點(diǎn),且BD=CE,BE與AD交于點(diǎn)F.求證:AD=BE.【證明】∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.在△ABD和△BCE中,AB=∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.10.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,過點(diǎn)D分別作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論錯誤的是(C)A.∠ADC=90° B.DE=DFC.AD=BC D.BD=CD11.如圖,在△ABC中,AB=BC=3,∠BAC=30°,分別以點(diǎn)A,C為圓心,AC的長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)D,連接DA,DC,則四邊形ABCD的面積為(D)A.63 B.9 C.6 D.3312.(2024·德陽)如圖,四邊形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,點(diǎn)F是GD的中點(diǎn),點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且△PBC是以BC為底的等腰三角形,則△PCD的面積與△FCD的面積的比值是2.

13.如圖,∠AOB=60°,點(diǎn)C在OB上,OC=23,P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn).根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷,點(diǎn)P到OA的距離為1.

14.如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,點(diǎn)D,E在邊BC上,若∠DAE=30°,tan∠EAC=13,則BD=3-3.

15.(2024·濱州)【問題背景】某校八年級數(shù)學(xué)社團(tuán)在研究等腰三角形“三線合一”性質(zhì)時發(fā)現(xiàn):①如圖,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,則有∠B=∠C;②某同學(xué)順勢提出一個問題:既然①正確,那么進(jìn)一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替換為AB+BD=AC+CD,還能推出∠B=∠C嗎?基于此,社團(tuán)成員小軍、小民進(jìn)行了探索研究,發(fā)現(xiàn)確實(shí)能推出∠B=∠C,并分別提供了不同的證明方法.小軍小民證明:分別延長DB,DC至E,F兩點(diǎn),使得……證明:∵AD⊥BC,∴△ADB與△ADC均為直角三角形,根據(jù)勾股定理,得……【問題解決】(1)完成①的證明;(2)把②中小軍、小民的證明過程補(bǔ)充完整.【解析】(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADB和△ADC中,AD=∴△ADB≌△ADC(SAS),∴∠B=∠C.(2)小軍的證明過程:分別延長DB,DC至E,F兩點(diǎn),使得BE=BA,CF=CA,如圖所示,∵AB+BD=AC+CD,∴BE+BD=CF+CD,∴DE=DF.∵AD⊥BC,∴∠ADE=∠ADF=90°.在△ADE和△ADF中,AD=∴△ADE≌△ADF(SAS),∴∠E=∠F.∵BE=BA,CF=CA,∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF.∵∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF,∴∠ABC=∠ACB.小民的證明過程:∵AD⊥BC,∴△ADB與△ADC均為直角三角形,根據(jù)勾股定理,得AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2,∴AB2-BD2=AC2-CD2,∴AB2+CD2=AC2+BD2,∵AB+BD=AC+CD,∴AB-CD=AC-BD,∴