2025屆高考數(shù)學二輪總復習專題4立體幾何專題突破練14空間位置關系的判斷與證明課件

專題突破練14空間位置關系的判斷與證明123456789主干知識達標練1.(2024江西鷹潭一模)設a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列說法正確的是(

)A.若a∥b,a∥α,則b∥α B.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,則α⊥βC.若α⊥β,α⊥β,則a∥α D.若α⊥β,a∥α,則α⊥βB解析

若a∥b,a∥α,則b∥α或b?α,故A錯誤;若a⊥α,b⊥β,則直線a,b的方向向量a,b分別為平面α,β的法向量.又a⊥b,即a⊥b,所以α⊥β,故B正確;若α⊥β,a⊥β,則a∥α或a?α,故C錯誤;由α⊥β,a∥α無法判斷a與β的關系.故D錯誤.故選B.1234567892.(多選題)如圖,四邊形ABCD是圓柱的軸截面,E是底面圓周上異于A,B的一點,則下面結論中正確的是(

)A.AE⊥CEB.BE⊥DEC.DE⊥平面BCED.平面ADE⊥平面BCEABD123456789解析

因為四邊形ABCD是圓柱的軸截面,則線段AB是底面圓的直徑,BC,AD都是圓柱的母線.又E是底面圓周上異于A,B的一點,所以AE⊥BE.因為BC⊥平面ABE,AE?平面ABE,所以BC⊥AE.又BC∩BE=B,BC,BE?平面BCE,則AE⊥平面BCE.又CE?平面BCE,所以AE⊥CE,故A正確;同理,BE⊥DE,故B正確;假設DE⊥平面BCE,因為AE⊥平面BCE,所以DE∥AE.又DE∩AE=E,矛盾,故C不正確;因為AE⊥平面BCE,AE?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCE,故D正確.1234567893.(多選題)(2024江蘇南通模擬)在某次數(shù)學探究活動中,小明先將一副三角板按照圖1的方式進行拼接,然后他又將三角板ABC折起,使得二面角A-BC-D為直二面角,得圖2所示四面體ABCD.小明對四面體ABCD中的直線、平面的位置關系作出了如下的判斷,其中正確的是(

)A.CD⊥平面ABCB.AB⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面ABD⊥平面BCD圖1圖2ABC123456789解析

因為二面角A-BC-D為直二面角,可得平面ABC⊥平面BCD.又因為平面ABC∩平面BCD=BC,DC⊥BC,DC?平面BCD,所以DC⊥平面ABC,故A正確;因為DC⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以DC⊥AB.又因為AB⊥AC,AC∩CD=C,AC,CD?平面ACD,所以AB⊥平面ACD,故B正確;因為AB⊥平面ACD,AB?平面ABD,所以平面ABD⊥平面ACD,故C正確;假設平面ABD⊥平面BCD,因為平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面ABD=AB,所以AB⊥平面BCD.又BC?平面BCD,所以AB⊥BC,矛盾,所以平面ABD與平面BCD不垂直,故D錯誤.故選ABC.1234567894.(15分)(2024陜西西安模擬)如圖,已知AC是圓O的直徑,PA⊥平面ABCD,E是PC的中點,∠DAC=∠AOB.(1)求證:BE∥平面PAD;(2)求證:平面BEO⊥平面PCD.123456789證明

(1)在△PAC中,因為O是AC中點,E是PC中點,所以OE∥PA.又因為OE?平面PAD,PA?平面PAD,所以OE∥平面PAD.因為∠DAC=∠AOB,所以OB∥AD.又因為OB?平面PAD,AD?平面PAD,所以OB∥平面PAD.又因為OB∩OE=O,OB,OE?平面BEO,所以平面BEO∥平面PAD.又因為BE?平面BEO,所以BE∥平面PAD.(2)因為AC是圓O的直徑,所以AD⊥CD.因為PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.又因為PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD.又因為平面BEO∥平面PAD,所以CD⊥平面BEO.又因為CD?平面PCD,所以平面BEO⊥平面PCD.1234567895.(15分)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側面PBC⊥底面ABCD.求證:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.123456789證明

(1)取BC的中點O,連接PO.由題可知△PBC為等邊三角形,∴PO⊥BC.又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO?平面PBC,∴PO⊥平面ABCD.以點O為坐標原點,以BC所在直線為x軸、過點O與AB平行的直線為y軸、OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.不妨設CD=1,則AB=BC=2,PO=,123456789又PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,∴DM⊥平面PAB.又DM?平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.123456789關鍵能力提升練6.(多選題)(2024廣東深圳模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F,H分別為棱AA1,AB,BC1,BC的中點,G為△A1B1C1的重心,則下列結論正確的是(

)A.DF∥平面ABCB.FG∥平面A1ECC.AF,GH為異面直線D.FG,A1E為異面直線ABD123456789解析

如圖1,連接FH,AH,則AD∥CC1,AD=CC1,且FH∥CC1,FH=CC1,所以AD∥FH,AD=FH,所以ADFH為平行四邊形,則DF∥AH.又DF?平面ABC,AH?平面ABC,所以DF∥平面ABC,故A正確;如圖2,取A1B1的中點N,連接C1N,EN,BN,易知C1N∥CE,BN∥A1E,因為C1N∩BN=N,C1N,BN?平面C1NB,CE∩A1E=E,CE,A1E?平面A1EC,所以平面C1NB∥平面A1EC.又GF?平面C1NB,所以FG∥平面A1EC,故B正確;圖1圖2123456789如圖3,取B1C1的中點M,連接A1M,MH,由題可知G∈A1M,F∈MH,四邊形A1AHM為平行四邊形,所以AF?平面A1AHM,GH?平面A1AHM,故C錯誤;如圖4,因為BN∥A1E,且BN?平面BC1N,A1E?平面BC1N,所以A1E∥平面BC1N.又FG?平面BC1N,且

,即FG不與BN平行,即FG不與A1E平行,所以FG,A1E為異面直線,故D正確.故選ABD.圖3圖41234567897.(15分)(2024陜西寶雞模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,PA=PC,PB⊥AC.(1)求證:四邊形ABCD為菱形;(2)若E為棱PB上一點(不與P,B重合),求證:AE不可能與平面PCD平行.123456789證明

(1)如圖,連接AC,BD,交于點O.因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以O為AC,BD的中點.因為PA=PC,所以AC⊥PO.又AC⊥PB,PB∩PO=P,PO,PB?平面PBD,所以AC⊥平面PBD.又BD?平面PBD,所以AC⊥BD,所以四邊形ABCD為菱形.123456789(2)(方法一

反證法)假設AE∥平面PDC.因為AB∥CD,AB?平面PDC,CD?平面PDC,所以AB∥平面PDC.又AB?平面PAB,AE?平面PAB,AB∩AE=A,所以平面PAB∥平面PDC.這顯然與平面PAB與平面PDC有公共點P矛盾,所以假設錯誤,即AE不可能與平面PCD平行.(方法二)因為P∈平面PAB,P∈平面PCD,所以平面PAB與平面PCD相交,設平面PAB∩平面PCD=l.因為AB∥CD,AB?平面PCD,CD?平面PCD,所以AB∥平面PCD.又AB?平面PAB,平面PAB∩平面PCD=l,所以AB∥l.又AE?平面PAB,AE∩AB=A,所以AE必與l相交.設AE∩l=F.又l?平面PCD,所以AE∩平面PCD=F,即AE不可能與平面PCD平行.1234567898.(15分)如圖,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2.(1)求證:AC⊥BF;(2)在線段BE上是否存在一點P,使得平面PAC⊥平面BCEF?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.123456789(1)證明

∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,AF?平面ADEF,∴AF⊥平面ABCD.又AC?平面ABCD,∴AF⊥AC.如圖,取BC中點H,連接AH.由題可知AD∥CH,AD⊥CH,AD=DC,∴四邊形ADCH為菱形,∴AH=BC,∴AB⊥AC.又AB∩AF=A,AB,AF?平面FAB,∴AC⊥平面FAB.又BF?平面FAB,∴AC⊥BF.123456789(2)解

存在.由(1)知,AF,AB,AC兩兩垂直,以點A為坐標原點,AB,AC,AF的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,123456789令x=2λ,則y=0,z=3λ-2,所以m=(2λ,0,3λ-2)為平面PAC的一個法向量.設平面BCEF的一個法向量為n=(a,b,c),1