2024-2025學(xué)年安徽省高二上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（人教版）（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（人教版）一、單選題（本大題共8小題）1．若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，的夾角為，，，則（

）A．3 B．7 C． D．3．“”是“直線與直線互相垂直”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件4．在空間四邊形中，點(diǎn)在棱上，且，為棱的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．5．已知，，定義為，兩點(diǎn)的“鏡像距離”.若點(diǎn)和點(diǎn)在圓上，則，兩點(diǎn)的“鏡像距離”是（

）A．或 B．2或 C．2或4 D．或46．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若直線的斜率為正數(shù)，且，則直線在軸上的截距是（

）A．1 B．－1 C． D．7．若對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知偶函數(shù)的定義域為R，，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)，對于直線，下列說法中正確的是（

）A．的斜率為B．在軸上的截距為－1C．不可能平行于軸D．與直線的距離是10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，圓，則（

）A．圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn)B．圓與圓內(nèi)切C．直線與圓相離D．圓的圓心在單位圓上運(yùn)動11．在長方體中，，，為線段的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，且，若，則（

）A．B．C．D．直線與直線的夾角余弦是三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則的值為.13．現(xiàn)有10名巴黎奧運(yùn)會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機(jī)地接連抽取3名（每次取一個），派往參與高臺跳水項目的志愿者服務(wù).則“恰有一名女志愿者”的概率是.14．過點(diǎn)引直線，分別交，軸的負(fù)半軸于、兩點(diǎn)，則面積的最小值是，此時直線的方程是.四、解答題（本大題共5小題）15．阿波羅尼斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他的姓名命名的阿波羅尼斯圓，是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)的動點(diǎn)軌跡.已知，，動點(diǎn)滿足.(1)求動點(diǎn)所在的阿波羅尼斯圓的方程；(2)若點(diǎn)，求的最小值和最大值.16．記內(nèi)角、、的對邊分別為，，，已知，.(1)求角的大?。?2)若角為銳角，且的面積為，求的邊長.17．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且直線與軸垂直.(1)證明：；(2)若的角平分線恰好過點(diǎn)，求的面積.18．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面.

(1)證明：；(2)若，求二面角的余弦值.19．法國數(shù)學(xué)家蒙日在研究橢圓時發(fā)現(xiàn)：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個與橢圓同心的圓上.這個圓稱為該橢圓的蒙日圓，此結(jié)論一般稱為蒙日圓定理.(1)求橢圓的蒙日圓方程；(2)對于橢圓，是橢圓的中心，點(diǎn)是橢圓的蒙日圓上一點(diǎn)，，分別切橢圓于點(diǎn)，，且切點(diǎn)弦所在的直線方程是.（i）證明：平分切點(diǎn)弦；（ii）若延長，，分別交橢圓的蒙日圓于點(diǎn)，，證明.

答案1．【正確答案】A【詳解】由得，.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選:A.2．【正確答案】D【詳解】，.故選：D.3．【正確答案】A【詳解】當(dāng)時，直線與直線中，，它們互相垂直，當(dāng)直線與直線互相垂直時，，，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件.故選：A4．【正確答案】B【詳解】解：連接，

.故選：B.5．【正確答案】C【詳解】由題意得，，有四種情形：，，；，，；，，；，，.故選：C.6．【正確答案】D【詳解】設(shè)，聯(lián)立，消去化簡整理得，所以，于是，解得，故直線的方程為，令，解得，所以直線在軸上的截距為，故選：D.7．【正確答案】B【詳解】由原不等式得，，（1）時，，不等式成立，，（2）當(dāng)時，，則原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，令，則，其中，因為在單調(diào)遞增，所以，因此，綜合（1）、（2）可知，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．【正確答案】C【詳解】，又是偶函數(shù)，則，可得，令為，則，因此，所以周期為4.因為，所以.又因為，所以.因為，所以.于是，.故選：C.9．【正確答案】BD【詳解】時，的斜率為，時，直線的斜率不存在，A錯.在中，令，則.B對.當(dāng)時，直線，平行于軸，C錯.與直線的距離是.D對.故選：BD.10．【正確答案】ABD【詳解】對于A，滿足，所以A對.對于B，兩圓的圓心距是1，，所以B對.對于C，圓的圓心到直線的距離，所以C錯.對于D，圓的圓心的坐標(biāo)滿足方程.所以D對.故選:ABD.11．【正確答案】ABD【詳解】因為，所以，，.因此A、B對.因為，，所以C錯.因為，，，所以，直線與直線的夾角余弦是.所以D對.故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】由得，.即.而，所以.故.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)，，分別為第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件，則；；，因此“恰有一名女志愿者”的概率為.故答案為.14．【正確答案】48【詳解】設(shè)Aa,0，，其中，，則直線的方程為.在直線上，.又，即，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，再結(jié)合解得，，，所以面積的最小值為48，此時直線的方程為，即.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)最小值是，最大值是.【詳解】（1）設(shè)動點(diǎn)，則就是，即，整理得，.故動點(diǎn)所在的阿波羅尼斯圓的方程為.（2）就是，其半徑是4，圓心是，.

顯然在圓外，故的最小值是，最大值是.16．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為，由，得，于是，因為，所以，，因為，且，，所以，，因為，故或.（2）由題意可知，，因為，且，所以，解得，故.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由橢圓的定義得，因為直線與x軸垂直，所以，即，故.（2）因為平分，所以，即，如下圖所示：由和，解得，，代入得，解得；故的面積為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）因為，，由余弦定理得，從而.因此.

又底面，底面ABCD，所以，而，所以平面PAD.又平面PAD，故（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則A1,0,0，，C?1,3,0，P，，.

設(shè)為平面的法向量，則，即，得到.同理可得平面的法向量.

于是.由圖形可知，二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.

19．【正確答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【詳解】（1）考慮邊與橢圓長軸和短軸分別平行的矩形知，其對角線之半就是蒙日圓的半徑，即，因此橢圓的蒙日圓方程為.（2）（i）設(shè)點(diǎn)是切