2024-2025學(xué)年安徽省六安市高二上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省六安市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由斜率公式可求得直線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可得直線傾斜角.，直線的傾斜角為.故選：C.2.，，且，則為（）A. B. C.6 D.【正確答案】B【分析】由條件得，解得，進(jìn)而利用模的坐標(biāo)表求解.∵，，且，∴，解得，∴，∴.故選：B.3.橢圓C:x2a2+A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)的關(guān)系及橢圓離心率定義求解.由，知該橢圓的離心率.故選：A.4.如圖，在平行六面體中中，，，，點(diǎn)在上，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的線性運(yùn)算求出.在平行六面體中中，點(diǎn)在上，且，，所以.故選：A5.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開關(guān)兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題一“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為B?2,0，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得結(jié)果．設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，如圖所示，則且，解得，即，則，在直線上取點(diǎn)P，由對(duì)稱性可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以，“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：B．6.已知在三棱柱中，側(cè)棱底面，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，若，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得異面直線夾角的余弦值，從而得解.依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，故，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.7.若圓的圓心為，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，求圓的一般方程（）A.B.CD.【正確答案】D【分析】求出圓心到直線的距離，進(jìn)而由弦長(zhǎng)求得半徑，即可得解.∵圓心到直線的距離為，又∵弦長(zhǎng)為，∴圓的半徑，∴圓的方程為，∴圓的一般方程.故選：D.8.已知橢圓的其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)橢圓的方程為，利用點(diǎn)差法結(jié)合已知條件能求出橢圓方程．設(shè)橢圓的方程為，由題意知，且直線的斜率，設(shè)，則，兩式相減得，由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，知，所以，所以，即，又，所以，故橢圓C的方程為．故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.圓和圓的交點(diǎn)為，，則（）A.兩圓圓心距B.公共弦所在直線的方程為C.圓和圓的公切線有3條D.公共弦的長(zhǎng)為【正確答案】AD【分析】把兩圓分別化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，求出圓心距即可判斷A；把兩圓方程相減得到公共弦所在直線的方程，即可判斷B；判斷兩圓的位置關(guān)系，即可判斷C；因?yàn)楣蚕宜谥本€過(guò)圓心，所以公共弦的長(zhǎng)等于，即可判斷D．圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心，半徑，圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心，半徑，故兩圓圓心距，故A正確；圓和圓，將兩方程相減得，即，即公共弦所在直線的方程為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，則兩圓相交，所以圓和圓的公切線有2條，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楣蚕宜谥本€過(guò)圓心，所以公共弦的長(zhǎng)等于，故D正確．故選：AD．10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則（）A.的周長(zhǎng)為B.存在點(diǎn)，使得C.若，則的面積為D.使得為等腰三角形的點(diǎn)共有4個(gè)【正確答案】AB【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為判斷A的真假；考慮為短軸頂點(diǎn)時(shí)，焦點(diǎn)三角形的形狀判斷B的真假；結(jié)合橢圓定義和余弦定理，計(jì)算焦點(diǎn)三角形的面積，判斷C的真假；分情況討論，找出使為等腰三角形的所有點(diǎn)，判斷D的真假.對(duì)于，由題意，，，故周長(zhǎng)為，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)時(shí)，為直角，所以B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)，，則.所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，點(diǎn)位于上下頂點(diǎn)；若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)；同理，若是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)；故使得為等腰三角形的點(diǎn)共六個(gè)，所以D錯(cuò)誤.故選：AB11.如圖，在平行六面體中，已知，，E為棱上一點(diǎn)，且，則（）A. B.直線與所成角的余弦值為C.平面 D.直線與平面所成角為【正確答案】ABD【分析】通過(guò)建立空間的一組基底，將相關(guān)直線的方向向量用基向量表示，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長(zhǎng)判斷A項(xiàng)；利用空間向量的夾角公式計(jì)算判斷B項(xiàng)；利用向量的數(shù)量積是否為0判斷C項(xiàng)；通過(guò)求平面的法向量和空間向量的夾角判斷D項(xiàng).不妨設(shè)則.對(duì)于A，因,故，故，故A正確；對(duì)于B，因，,則，，設(shè)直線與所成角為，則故B正確；對(duì)于C，因，即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，,因，，則有因平面，故平面，即平面的法向量可取為，又，設(shè)直線與平面所成角為，因，，，則，因，故，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.答案需要填最簡(jiǎn)形式.12.平行于直線，且與它距離為直線方程是______.【正確答案】或【分析】設(shè)所求直線方程為，利用兩平行直線間的距離公式即可求解．由題意，設(shè)與直線平行的直線方程為，由兩平行直線間的距離公式可得，解得或，故所求直線方程為或．故或．13.已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，已知點(diǎn)與點(diǎn)，則的最小值為______.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義，結(jié)合線段和差大小關(guān)系求解即得.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，則點(diǎn)為左焦點(diǎn)，設(shè)右焦點(diǎn)為，又在橢圓內(nèi)，，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是射線與橢圓交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故14.已知正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為___________；點(diǎn)到直線的距離為__________.【正確答案】①.②.【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系，證明面，則點(diǎn)F到平面的距離就是直線FC到平面的距離，求出平面的一個(gè)法向量，再求出，可得直線FCЕ平面的距離為;取，，可得點(diǎn)到直線的距離為以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系，則,而平面，平面，平面，則點(diǎn)F到平面的距離就是直線FC到平面的距離.設(shè)平面的一個(gè)法向量為由取，得，又，F(xiàn)C到平面的距離.取，，則可得點(diǎn)到直線的距離為故；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟.15.已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且橢圓的離心率，其左右焦點(diǎn)分別為，.（1）求橢圓方程；（2）設(shè)斜率為且過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由橢圓的基本性質(zhì)得到的值，寫出橢圓方程即可；（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得到，利用弦長(zhǎng)公式即可求解．【小問(wèn)1】由題意可知，則，因?yàn)?，所以，得到，所以橢圓的方程為．【小問(wèn)2】因?yàn)?，直線過(guò)且斜率為，所以直線，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，則，所以．16.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，.（1）證明：直線平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法證明與面的一個(gè)法向量垂直，即可證結(jié)論；（2）根據(jù)（1）所得坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離.【小問(wèn)1】由平面，且四邊形為矩形，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則由，得，解得，同理，，顯然面的一個(gè)法向量為，顯然且面，故面【小問(wèn)2】設(shè)面的一個(gè)法向量為，且，由，取x=1，則，所以為平面的一個(gè)法向量，又，點(diǎn)到平面的距離為.17.已知過(guò)點(diǎn)的圓的圓心在直線上，且與軸相切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為的直線的方程.【正確答案】（1）（2）和【分析】（1）由題意列出知的方程組求解即可；（2）當(dāng)直線斜率的情況分類討論，設(shè)出直線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)及點(diǎn)到直線的距離公式求解.【小問(wèn)1】圓的圓心，半徑為，由題意知，解得或（舍去），，，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)圓心到直線距離為1，此時(shí)弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，若弦長(zhǎng)為，則圓心到直線距離為1，即，解得，將代入直線方程化成一般式為，綜上所述，直線方程為和.18.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，且．（1）證明：；（2）求直線和平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，并求出的值．【正確答案】（1）見（2）（3）存在，【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，進(jìn)而得出線線垂直；（2）由已知是直角三角形，根據(jù)等積法，求出平面ABC上高，進(jìn)而求得結(jié)果；也可以利用向量求出直線的方向與平面的法向量來(lái)解決；（3）探索性的題目，線段比值往往設(shè)為向量關(guān)系，借助向量表示點(diǎn).二面角則分別求出兩個(gè)平面的法向量，用法向量表示出已知條件，解決問(wèn)題.【小問(wèn)1】證明：∵，為的中點(diǎn)∴又∵平面平面，平面平面，平面∴平面∵平面∴【小問(wèn)2】解法1：分別取CB、CD的中點(diǎn)為F、G，連結(jié)OF、OG，∵為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形∴是直角三角形，，，∵CB、CD的中點(diǎn)為F、G，∴，，由（1）得，是三棱錐底面的高，是直角三角形∵，∴，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OG、OA所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即令，則，，，∴直線和平面所成角的正弦值等于解法2：由（1）得，是三棱錐底面的高，是直角三角形∵∴，，在中，，，∴，設(shè)d是底面ABC的高則，∴直線和平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3】在棱上存在點(diǎn)，使二面角的大小為.設(shè)由（2）知，，，是平面的一個(gè)法向量設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即取，，∵二面角的大小為∴即整理得，解得，或（舍去）所以，，所以，在棱上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，.19.定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱A，B為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作．已知橢圓C：上一點(diǎn)．（1）求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)B所在直線l的方程．（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且，（1）中的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．①求點(diǎn)，的坐標(biāo)；②設(shè)四點(diǎn)，P，，Q在橢圓C上逆時(shí)針排列，證明：四邊形的面積小于．【正確答案】（1）（2）①，；②證明見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)“共軛點(diǎn)對(duì)”得直線方程為，化簡(jiǎn)即可；（2）①聯(lián)立直線和橢圓的方程，解出即可；②設(shè)點(diǎn)，，利用點(diǎn)差法得，設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程為，計(jì)算直線與橢圓相切時(shí)的值，再檢驗(yàn)證明此時(shí)不滿足，則證明出面積小于.【小問(wèn)1】設(shè)中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對(duì)于橢圓C：上的點(diǎn)，由“共軛點(diǎn)對(duì)”的定義，可知直線l的方程為，即l：．【小問(wèn)2】①聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得解得或，所以直線l和橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，．②設(shè)點(diǎn)，，則，兩式相減得．又，所以，所以