2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷1（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．42．三角形的三個頂點(diǎn)為，則的中線的長為（

）A．3 B．5 C．9 D．253．若橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為6，則點(diǎn)P到另一個焦點(diǎn)F2的距離為（

）A．2 B．4 C．6 D．84．將直線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后所得直線的方程為（

）A． B．C． D．5．已知直線在軸、軸上的截距相等，則直線與直線間的距離為（

）A． B． C．或 D．0或6．設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（

）A． B．C．或 D．或8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下面四個結(jié)論正確的是（）A．已知空間向量，若，則B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．若，，則向量在向量上的投影向量D．任意向量，，滿足10．已知圓與圓，則（

）A．兩圓的圓心距為B．兩圓的公切線有3條C．兩圓相交，且公共弦所在的直線方程為D．兩圓相交，且公共弦的長度為11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的動弦，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B．的面積最大值為1C．若原點(diǎn)始終在動弦上，則不是定值D．若動點(diǎn)滿足四邊形為矩形，則點(diǎn)的軌跡長度為三、填空題（本大題共3小題）12．無論為何值，直線恒過一定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.13．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為．14．已知過點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的值等于．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線的方程；(2)在兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答．①角A的平分線所在直線方程為；②邊上的中線所在的直線方程為．若________________，求直線的方程．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．16．已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l過點(diǎn)且被圓截得的弦長為，求直線l的方程.17．如圖，在直三棱柱中，為直角，側(cè)面為正方形，分別為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求直線與平面所成角的正弦值.18．如圖，已知菱形和菱形的邊長均為，，分別為上的動點(diǎn)，且．

(1)證明：平面；(2)當(dāng)?shù)拈L度最小時，求：①；②點(diǎn)到平面的距離．19．古希臘亞歷山大時期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問題：平面上，到兩條已知直線距離的乘積是到第三條直線距離的平方的倍的動點(diǎn)軌跡為二次曲線（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線，叫做二次曲線）.常數(shù)的大小和直線的位置等決定了曲線的形狀.為了研究方便，我們設(shè)平面內(nèi)三條給定的直線為，當(dāng)三條直線中有相交直線時，記，，，動點(diǎn)到直線的距離為，且滿足.閱讀上述材料，完成下列問題：(1)當(dāng)，時，若，且與的距離為2，點(diǎn)在與之間運(yùn)動時，求動點(diǎn)的軌跡所圍成的面積.(2)若是等腰直角三角形，是直角，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）運(yùn)動，試探求為何值時，的軌跡是圓？(3)若是等腰三角形，，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）任意運(yùn)動，當(dāng)時，問在此等腰三角形對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使為大于1的定值.若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，則，可得，解得.故選：B.2．【正確答案】B【詳解】設(shè)邊的中點(diǎn)為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，即，故的中線的長為，故選：B3．【正確答案】B【詳解】∵橢圓的方程為，∴該橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，a2=25且b2=16，可得a=5、b=4．根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|=2a=10∵橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離|PF1|=6，∴點(diǎn)P到另一個焦點(diǎn)F2的距離|PF2|=2a﹣|PF1|=10﹣6=4．故選B．4．【正確答案】C【詳解】由題意可知，所得直線與直線垂直，即所求直線的斜率為，因此，所求直線的方程為，即.故選：C.5．【正確答案】A【詳解】直線在軸、軸上的截距相等，令，得，令，得，所以，解得，故直線，即，化簡為，則直線與直線間的距離為故選：A．6．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時，方程變?yōu)?，其傾斜角為，當(dāng)時，由直線方程可得斜率，且，，即，又，，綜上所述，傾斜角的范圍是.故選：C.7．【正確答案】C【詳解】由已知圓，直線將圓平分，則直線經(jīng)過圓心，直線方程為，或，將點(diǎn)代入上式，解得直線的方程為或.故選：C.8．【正確答案】D【詳解】由，則可設(shè)為參數(shù)，，故，其中，當(dāng)時，取得最小值，最小值為．故選：D．9．【正確答案】ABC【詳解】對于A，若，則，A正確；對于B，若對空間中任意一點(diǎn)O，有，則，即，因此，，共面，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，B正確；對于C，，向量在向量上的投影向量，C正確；對于D，由于是一個實(shí)數(shù)，也是一個實(shí)數(shù)，若，則和共線，與已知的任意性不符，D錯誤.故選：ABC10．【正確答案】AC【詳解】對于A，圓的圓心為，半徑為與圓的圓心為，半徑為，故兩圓的圓心距為，A正確；對于B，由于，即圓與圓相交，兩圓的公切線有2條，B錯誤；對于C，由B可知兩圓相交，將圓與圓的方程相減，得，即公共弦所在的直線方程為，C正確；對于D，由B可知兩圓相交，而，到直線的距離為，故兩圓公共弦的長度為，D錯誤，故選：AC11．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系列不等式求解實(shí)數(shù)的范圍判斷A，根據(jù)三角形面積結(jié)合正弦函數(shù)可求出面積最大值判斷B，分類討論，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解判斷C，先根據(jù)矩形性質(zhì)結(jié)合垂徑定理得到點(diǎn)的軌跡，然后利用圓的周長公式求解判斷D.【詳解】對于A，圓的圓心為(1,0)，半徑為，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時，，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，A正確；對于B，的面積為，當(dāng)時，的面積有最大值為1，正確；對于C，當(dāng)弦垂直x軸時，，所以，當(dāng)弦不垂直x軸時，設(shè)弦所在直線為，與圓聯(lián)立得，，設(shè)，則，，綜上，恒為定值，錯誤；對于D，設(shè)，OP中點(diǎn)，該點(diǎn)也是AB中點(diǎn)，且，又，所以，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡為以(1,0)為圓心，半徑為的圓，其周長為長度為，正確.故選ABD.12．【正確答案】2,3【詳解】化簡直線方程為關(guān)于的方程，因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，所以，解得，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，化簡得，即.故答案為.14．【正確答案】7【詳解】由題設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，故在圓外，則，設(shè)圓心為，連接，則，故故7.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)檫吷系母咚诘闹本€方程為，所以直線的斜率，又因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，所以直線的方程為：，即；（2）若選①，角的平分線所在直線方程為，由，解得，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，即坐標(biāo)為，又點(diǎn)在直線上，所以的斜率，所以直線的方程為，即．若選②：邊上的中線所在的直線方程為，由，解得，所以點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則的中點(diǎn)在直線上，所以，即，又點(diǎn)在直線上，所以，所以的斜率，所以直線的方程為，即直線的方程為．16．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，結(jié)合題意得到，求得圓心，再由，即可求得圓的方程；（2）根據(jù)圓的弦長公式，化簡得到，分的斜率不存在和存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：圓的圓心在直線上且與軸切于點(diǎn)，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，.所以圓心，半徑，故圓的方程為.（2）解：由直線l過點(diǎn)且被圓C截得的弦長為，根據(jù)圓的弦長公式，可得，即，解得，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，此時不滿足條件；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線的斜率為，則方程為，即，可得，解得或，所以直線方程為或.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）證明：連接，

在中，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2）證明：因?yàn)橹比庵?，為?cè)棱，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又為直角，所以又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，由?），所以．（3）建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，因此，．設(shè)平面的法向量為，則，，所以，即令，則，，所以為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為．所以．18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)①；②【詳解】（1）證明：（方法一）在菱形內(nèi)，過點(diǎn)作，

，連接，則，由，得，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面．∵，平面，平面，∴平面．又平面，，∴平面平面，又平面，∴平面．（方法二）延長交直線于點(diǎn)，連接，

由，得，由，得，則，而平面，平面，∴平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，由題意知為等邊三角形，得，同理，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，①在平面內(nèi)作，平面平面，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，，，

，由，得．從而，當(dāng)時，取最小值；②此時，，，設(shè)為平面的法向量，則，令，得，故點(diǎn)到平面的距離為.19．【正確答案】(1)(2)當(dāng)時，的軌跡是圓(3)存在，點(diǎn)為中點(diǎn)【分析】（1）適當(dāng)建系，以為軸，為軸，同時，再結(jié)合新定義確定軌跡方程即可求解；（2）適當(dāng)建系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，同時.再結(jié)合新定義即可求解；（3）適當(dāng)建系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的角平分線為軸，設(shè)，，，結(jié)合新定義列出等式即可求解.【詳解】（1）以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，因?yàn)樵冢g，所以，，，由定義得，所以，化簡得，表示以為圓心，1為半徑的圓.所以動點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，（）為軸，（）為軸，建立平面直角坐