2024-2025學年河北省保定市唐縣高二上冊12月期末數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年河北省保定市唐縣高二上學期12月期末數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．2．在數(shù)列中，若，則下列數(shù)是中的項的是（）A．4 B．4 C． D．33．已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．4．已知為等差數(shù)列的前n項和，公差為d.若，，則（）A． B．C． D．無最大值5．棱長為的正四面體中，點是AD的中點，則（

）A． B． C． D．6．已知兩條直線與被圓截得的線段長均為2，則圓的面積為（

）A． B． C． D．7．橢圓的離心率為，點為上一點，過點作圓的一條切線，切點為，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關，如圖是一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，，設第層有個球，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在空間直角坐標系中，已知，，下列結論正確的有（

）A． B．C．若，且，則 D．若且，則10．已知橢圓分別為它的左右焦點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（

）A．橢圓離心率為B．C．若，則的面積為D．最大值為11．已知直線l：，圓：，與圓：．則下列結論正確的是（

）A．直線l與圓的位置關系是相切 B．直線l與圓的位置關系是相離C．圓與圓的公共弦長是 D．圓上的點到直線l的距離為1的點有3個三、填空題（本大題共3小題）12．已知是等差數(shù)列的前項和，且，，則.13．過點作斜率為的直線與雙曲線相交于，若是線段的中點，則雙曲線的離心率為14．拋物線的焦點為，準線為，過焦點且斜率為的直線與交于點（在第一象限內），為上一動點，則周長的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列滿足，.(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.16．已知雙曲線過點，右焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線l的斜率存在且過雙曲線的右焦點，與雙曲線交于兩點，滿足，求直線的方程．17．已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點.(1)證明：平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．焦距為2c的橢圓（a＞b＞0），如果滿足“2b=a+c”，則稱此橢圓為“等差橢圓”．(1)如果橢圓（a＞b＞0）是“等差橢圓”，求的值；(2)對于焦距為12的“等差橢圓”，點A為橢圓短軸的上頂點，P為橢圓上異于A點的任一點，Q為P關于原點O的對稱點（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點，判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點？說明理由．

答案1．【正確答案】C【詳解】拋物線化為標準方程可得，故，焦點坐標為.故選:C.2．【正確答案】B【詳解】由，，，可知以3為周期，依次為，顯然B正確.故選：B3．【正確答案】B【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由，得，則，又為的前項和，則成等比數(shù)列，公比為，于是，所以.故選：B4．【正確答案】B【詳解】對于選項A：因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，可得，則，故A錯誤；對于選項B：因為，則，所以，故B正確；對于選項D：因為，且，可知，當時，；當時，；可知當且僅當時，取到最大值，故D錯誤，對于選項C：因為，所以，故C錯誤；故選：B.5．【正確答案】A【詳解】因為，所以，又，，，，所以．故選：A．6．【正確答案】A【詳解】因為兩條直線與，所以，所以與間的距離為，所以圓心到直線的距離為1，因為直線被圓截得的弦長為2，所以圓的半徑為，所以圓的面積為.故選：A.7．【正確答案】C【詳解】

由題知，解得，，所以橢圓，設，，，設的圓心為，半徑為，則，，因為與圓相切，所以，當時，.故選：C.8．【正確答案】D【詳解】由題意可得，，，，，于是有，所以，，，，，，將以上個式子相加，得，所以，所以.故選：D.9．【正確答案】BC【分析】根據題意，得到向量，，，結合空間向量的坐標運算法則，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A，因為，，所以，可得，所以A錯誤；對于B，因為，，所以，所以B正確；對于C，若，且，則，解得，所以C正確，對于D，若且，因為，可得，解得，所以D錯誤.故選BC.10．【正確答案】BCD【詳解】由橢圓方程可知，，，，所以橢圓的離心率，故A錯誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因為，所以，，解得：，所以的面積為，故C正確；因為，即，設，由對勾函數(shù)的性質可得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以，所以，故D正確.故選：BCD.11．【正確答案】BC【分析】由點線距與兩半徑的關系可判斷A、B兩項；將兩圓方程作差，由弦長公式可判斷C項；通過計算圓心到直線的距離結合條件從而判斷出D選項.【詳解】對于選項A:因為圓：，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，因為，所以直線l與圓的位置關系是相交，故選項A錯誤；對于選項B:因為圓：，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，因為，所以直線l與圓的位置關系是相離，故選項B正確；對于選項C：聯(lián)立，相減得公共弦所在得直線方程為：，所以圓心到的距離為，所以公共弦長為，故選項C正確;對于選項D：因為，且，所以圓上的點到直線l的距離為1的點有4個（在直線l的兩側各2個）,故選項D錯誤;故選：BC.12．【正確答案】51【詳解】由得，所以由，得，所以.故51.13．【正確答案】/【詳解】設,，則①,②,∵是線段的中點,∴故過點作斜率為的直線的方程是，∴①②兩式相減可得:∴.∴.∴∴∴故答案為:.14．【正確答案】【詳解】設準線交軸于點，過作直線的垂線，垂足為A，連接，由題知，焦點，，．因為直線的斜率為，所以為正三角形，所以，，所以．記關于直線的對稱點為，則．當，，三點共線時，，所以周長的最小值為．故15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為.又，故數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）有，可得，所以有.16．【正確答案】(1)；(2)或．【詳解】（1）由點到直線的距離公式可知：右焦點到漸近線的距離為，又雙曲線C過點，所以，解得，所以雙曲線C的方程為．（2）由（1）可知：右焦點坐標為，由題意，直線的斜率存在，設，聯(lián)立消去y得：，所以，設Ax1,所以．解得，即，滿足．所以直線的方程為，或．17．【正確答案】(1).(2).【分析】（1）根據題中給出得遞推關系式，以及，即可求解數(shù)列的通項公式；（2）將數(shù)列的通項公式帶入數(shù)列，進行化簡，利用錯位相減法進行求解.(1)由得，∴，∴.又，，∴，整理得.∴數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴數(shù)列的通項公式為.(2)由（1）得，∴.∴，即，，兩式相減，得，∴.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）存在，【詳解】（1）取的中點，連接，，如圖所示：為棱的中點，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2），，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，又，以點為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖：則，，，，為棱的中點，，（i），，設平面的一個法向量為，則，令，則，，，平面的一個法向量為，，根據圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為（ii）假設在線段上存在點，使得點到平面的距離是，設，，則，，由（2）知平面的一個法向量為，，點到平面的距離是,，，.19．【正確答案】(1)(2)是，定點（0，±10），理由見解析【詳解】（1）由新定義得出的關系，結合可求得；（2）設P（x0，y0）（x0≠0），則Q（﹣x0，﹣y0），寫出方程求得點坐標，同理得點坐標，然后可得出以線段MN為直徑的圓的方程，由方程可確定定點坐標．(1)因為橢圓（a＞b＞0）是“等差橢圓”，所以2b=a+c，所以c=2b﹣a