高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《對(duì)數(shù)函數(shù)》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《對(duì)數(shù)函數(shù)》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.通過(guò)具體實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念．能畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).2.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax與指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．1．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R定點(diǎn)過(guò)點(diǎn)(1,0)單調(diào)性在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在(0，＋∞)上單調(diào)遞減函數(shù)值正負(fù)當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞02.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)．常/用/結(jié)/論如圖，作直線(xiàn)y＝1，則該直線(xiàn)與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)．故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．即第一象限內(nèi)“底大圖右”．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象都過(guò)(0,1)．()(2)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)．(√)(3)函數(shù)y＝log2x在區(qū)間(0,2]上的最大值是1.(√)(4)函數(shù)y＝log3x與y＝logeq\s\do8(\f(1,3))x圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．()2．若a＝50.1，b＝eq\f(1,2)log23，c＝log30.8，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b解析：∵a＝50.1>50＝1，b＝log23eq\s\up15(eq\f(1,2))＝log2eq\r(3)>0且b＝log2eq\r(3)<log2eq\r(4)＝1，c＝log30.8<log31＝0，∴c<b<a.故選A．答案：A3．函數(shù)y＝eq\r(logeq\s\do8(\f(2,3))2x－1)的定義域是________．解析：由logeq\s\do8(\f(2,3))(2x－1)≥0，得logeq\s\do8(\f(2,3))(2x－1)≥logeq\s\do8(\f(2,3))1，所以0＜2x－1≤1，解得eq\f(1,2)＜x≤1.故函數(shù)y＝eq\r(logeq\s\do8(\f(2,3))2x－1)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))4．(2024·吉林長(zhǎng)春月考)函數(shù)f(x)＝lg(x2－2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______．解析：設(shè)g(x)＝x2－2x－3，可得函數(shù)g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，又由函數(shù)y＝lg(x2－2x－3)滿(mǎn)足x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)題型對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用與探究典例1(1)當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時(shí)，4x<logax，則a的取值范圍是()超越不等式.兩個(gè)函數(shù)結(jié)構(gòu)不屬于同一類(lèi)，則常采用數(shù)形結(jié)合法．A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)(2)函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的圖象大致為()有幾個(gè)點(diǎn)應(yīng)注意：①偶函數(shù)；②在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；③過(guò)特殊點(diǎn)(1,1)．(3)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．即y＝f(x)和直線(xiàn)y＝－x＋a只有一個(gè)交點(diǎn)．解析：(1)易知0<a<1，函數(shù)y＝4x與y＝logax的大致圖象如圖，則由題意可知，只需滿(mǎn)足logaeq\f(1,2)>4eq\s\up15(eq\f(1,2))，解得a>eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(\r(2),2)<a<1，故選B．(2)由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．設(shè)g(x)＝loga|x|，先畫(huà)出當(dāng)x＞0時(shí)g(x)的圖象，然后根據(jù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，畫(huà)出當(dāng)x＜0時(shí)g(x)的圖象，最后由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移一個(gè)單位即得f(x)的圖象，結(jié)合圖象知選A．故選A．(3)如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線(xiàn)在x軸、y軸上的截距．由圖可知，當(dāng)a>1時(shí)，直線(xiàn)y＝－x＋a與當(dāng)a≤1時(shí)，直線(xiàn)y＝－x＋a與兩段函數(shù)都有交點(diǎn)，不合題意．y＝log2x只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＋x－a＝0只有一個(gè)實(shí)根．故答案為(1，＋∞)．利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類(lèi)熱點(diǎn)問(wèn)題(1)對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解．(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．對(duì)點(diǎn)練1(1)(多選)已知函數(shù)f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則以下說(shuō)法正確的是()A．－1<b<0 B．a(chǎn)＋b>0C．0<a<1 D．loga|b|<0(2)已知f(x)＝lgx，作出函數(shù)y＝－f(x)，y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y＝f(x＋1)的圖象．(1)解析：由圖象可知f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以a>1，故C錯(cuò)誤；令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為b＋1，結(jié)合函數(shù)圖象可知0<b＋1<1，所以－1<b<0，故A正確；因此a＋b>0，故B正確；因?yàn)?<|b|<1，所以loga|b|<loga1，即loga|b|<0，故D正確．答案：ABD(2)解：題型對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的多維研討維度1對(duì)數(shù)式的大小比較典例2(1)(2024·河南洛陽(yáng)模擬)若a＝0.50.3，b＝log0.53，c＝log0.30.2，則()先定符號(hào)，a，c插入中間量1.A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．c>a>b(2)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2a＝logeq\s\do8(\f(1,2))a，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b＝logeq\s\do8(\f(1,2))b，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))c＝log2c，則()三組方程，都是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的交點(diǎn)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法，思考交點(diǎn)的位置．A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c解析：(1)因?yàn)?<a＝0.50.3<0.50＝1，b＝log0.53<0，c＝log0.30.2>log0.30.3＝1，所以b<a<c.故選D．(2)因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，將a，b，c分別看成是函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出y＝2x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，y＝log2x，y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x的圖象如圖．由圖可知a<b<c.故選A．比較對(duì)數(shù)值大小的方法對(duì)點(diǎn)練2(1)(2024·重慶南開(kāi)中學(xué)月考)若a＝log23＋log32，b＝2，c＝eq\f(1,logπ2)＋log3π，則()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>c>a(2)(2024·廣東廣州調(diào)研)設(shè)x1，x2，x3均為實(shí)數(shù)，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，則()A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3解析：(1)因?yàn)閍＝log23＋log32>2eq\r(log23·log32)＝2，所以a>b，因?yàn)閒(x)＝log2x，g(x)＝log3x單調(diào)遞增，所以c＝log2π＋log3π>log23＋log32，所以c>a.故選B．(2)畫(huà)出函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))x，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的圖象，如圖所示．?dāng)?shù)形結(jié)合，知x2<x1<x3.答案：(1)B(2)D維度2解對(duì)數(shù)方程與不等式典例3(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解為_(kāi)_______．(2)已知不等式組logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．底數(shù)情況不明，分類(lèi)討論搞清，從而得到真數(shù)的不等關(guān)系．解析：(1)原方程可變形為log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±eq\r(5)，又x>1，所以x＝eq\r(5).故答案為x＝eq\r(5).對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式，不可忽略真數(shù)大于0的限制條件．(2)由題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,2x2＋1>3x>1))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,2x2＋1<3x<1，))②解不等式組①得eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，不等式組②無(wú)解，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).故答案為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).解對(duì)數(shù)方程、不等式時(shí)需注意以下兩個(gè)方面(1)注意方程或不等式要有意義，即真數(shù)大于0.(2)根據(jù)底數(shù)與1的大小關(guān)系得出對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而解不等式．對(duì)點(diǎn)練3(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))則滿(mǎn)足f(x)≤2的x的取值范圍是()A．[－1,2] B．[0,2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，則不等式f(logeq\f(1,3)(2x－5))>f(log38)的解集為_(kāi)_______．解析：(1)當(dāng)x≤1時(shí)，由21－x≤2，得1－x≤1，∴0≤x≤1；當(dāng)x＞1時(shí)，由1－log2x≤2，得x≥eq\f(1,2)，∴x＞1.綜上，x的取值范圍為[0，＋∞)．故選D．(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，將f(logeq\s\do8(\f(1,3))(2x－5))>f(log38)化為|logeq\s\do8(\f(1,3))(2x－5)|>|log38|，即log3(2x－5)>log38或log3(2x－5)<－log38＝log3eq\f(1,8)，即2x－5>8或0<2x－5<eq\f(1,8)，解得x>eq\f(13,2)或eq\f(5,2)<x<eq\f(41,16).答案：(1)D(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(41,16)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)，＋∞))維度3探究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性典例4已知函數(shù)f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(x2－2ax＋3)．(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；注意力集中于內(nèi)層函數(shù)，要求：①h(x)＝x2－2ax＋3在(－∞，2)上單調(diào)遞減；②h(2)≥0，即真數(shù)須為正值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)由f(－1)＝－3，得logeq\s\do8(\f(1,2))(4＋2a)＝－3.所以4＋2a＝8，所以a＝2.這時(shí)f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(x2－4x＋3)，由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1.先求定義域，在定義域內(nèi)思考復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．故函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(3，＋∞)．令g(x)＝x2－4x＋3，則g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增．又y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x在定義域上單調(diào)遞減，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(3，＋∞)．(2)不存在．理由如下：令h(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，應(yīng)使h(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞減，且恒大于0.此兩個(gè)條件，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的兩個(gè)不等式．因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,h2≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,7－4a≥0，))此不等式組無(wú)解．所以不存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增．求解對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，要注意在定義域的基礎(chǔ)上，弄清楚復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，然后依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律確定該函數(shù)的單調(diào)性．對(duì)點(diǎn)練4(多選)(2024·湖南湘潭模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx，a>0，則下列結(jié)論中正確的是()A．函數(shù)y＝f(a＋x)－f(x)是其定義域上的減函數(shù)B．函數(shù)y＝f(a－x)＋f(－x)是其定義域上的減函數(shù)C．函數(shù)y＝f(a－x)＋f(a＋x)是其定義域上的增函數(shù)D．函數(shù)y＝f(a＋x)－f(a－x)是其定義域上的增函數(shù)解析：對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(a＋x)－f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，函數(shù)y＝f(a＋x)－f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a,x)))在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(a－x)＋f(－x)的定義域?yàn)?－∞，0)，函數(shù)y＝f(a－x)和y＝f(－x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y＝f(a－x)＋f(－x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(a－x)＋f(a＋x)的定義域?yàn)?－a，a)，函數(shù)y＝ln(a2－x2)是偶函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(a－x)＋f(a＋x)在(－a，a)上不可能是單調(diào)函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(a＋x)－f(a－x)的定義域?yàn)?－a，a)，函數(shù)y＝f(a＋x)和y＝－f(a－x)在(－a，a)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝f(a＋x)－f(a－x)在(－a，a)上為增函數(shù)，所以D正確．故選ABD．答案：ABD維度4對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題典例5已知函數(shù)f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))[(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1]．(1)若m＝0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．轉(zhuǎn)化為真數(shù)值域包含(0，＋∞)的一切實(shí)數(shù)，因此滿(mǎn)足三個(gè)條件：①開(kāi)口向上；②二次函數(shù)與x軸有交點(diǎn)；③特殊情形，m＝1時(shí)，真數(shù)為一條直線(xiàn)，值域包含(0，＋∞)．解：(1)當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(－x2＋x＋1)，設(shè)真數(shù)u(x)＝－x2＋x＋1，且要滿(mǎn)足u(x)＝－x2＋x＋1>0，即eq\f(1－\r(5),2)<x<eq\f(1＋\r(5),2)，∴f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)<x<\f(1＋\r(5),2))))).∵u(x)＝－x2＋x＋1圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝eq\f(1,2)，∴u(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1＋\r(5),2)))上單調(diào)遞減．又∵函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x為減函數(shù)，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的判斷法則，可得f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(－x2＋x＋1)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，\f(1,2)))，單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1＋\r(5),2))).(2)要使f(x)的定義域?yàn)镽，只需真數(shù)u(x)＝(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．不等式恒成立求參數(shù)，由參數(shù)出現(xiàn)的位置，展開(kāi)對(duì)參數(shù)的討論．①當(dāng)m2－1＝0，即m＝±1時(shí)，若m＝1，u(x)＝2x＋1，顯然，只有x>－eq\f(1,2)時(shí)，才有u(x)>0，不符合題意，∴m≠1；若m＝－1，則u(x)＝1>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，∴m＝－1滿(mǎn)足題意．此特殊情形，即二次項(xiàng)系數(shù)為0，應(yīng)重視．②當(dāng)m2－1≠0時(shí)，u(x)>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1>0，,Δ＝m＋12－4m2－1<0，))開(kāi)口向上，二次函數(shù)與x軸無(wú)交點(diǎn)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1或m<－1，,m>\f(5,3)或m<－1，))解得m<－1或m>eq\f(5,3).綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞)).(3)要使f(x)的值域?yàn)镽，只需真數(shù)u(x)＝(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1的值域包含(0，＋∞)．①當(dāng)m2－1＝0，即m＝±1時(shí)，若m＝1，則u(x)＝2x＋1，二次項(xiàng)系數(shù)為零的特殊情形．顯然u(x)的值域包含(0，＋∞)，∴m＝1滿(mǎn)足題意；若m＝－1，則u(x)＝1，不符合題意，∴m≠－1.②當(dāng)m2－1≠0時(shí)，必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1>0，,Δ＝m＋12－4m2－1≥0，))開(kāi)口向上，與x軸有交點(diǎn)，才滿(mǎn)足值域包含(0，＋∞)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1或m<－1，,－1≤m≤\f(5,3)，))解得1<m≤eq\f(5,3).綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co