高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《古典概型》專項(xiàng)測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《古典概型》專項(xiàng)測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率．一基本事件的特點(diǎn)1．任何兩個(gè)基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．二古典概型1．具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)．(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．2．如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).三古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù)).常/用/結(jié)/論一個(gè)試驗(yàn)是不是古典概型，關(guān)鍵在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能性．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)擲一枚均勻的硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”這三個(gè)結(jié)果是等可能事件．()(2)有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為eq\f(1,3).(√)(3)兩個(gè)互斥事件的概率和為1.()(4)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．(√)2．將3名男生、1名女生共4名同學(xué)分配到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)參加社會實(shí)踐，每個(gè)社區(qū)至少一名同學(xué)，則恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是()A．eq\f(1,12)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,6)解析：分配方案的總數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)，恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的分法有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)種，恰好一名女生和一名男生分到甲社區(qū)的概率是P＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).答案：D3．盲盒是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)屬性，只有打開才會知道自己抽到了什么．某電影院推出開盲盒的模式售票，每個(gè)盲盒中等可能地放入一張印有“歡”“迎”“光”“臨”四個(gè)字中的一個(gè)字的卡片，只有集齊“歡迎光臨”四個(gè)字才算全票．小明購買了4個(gè)盲盒，則他剛好集齊“歡迎光臨”的概率是()A．eq\f(3,16) B．eq\f(1,24)C．eq\f(3,32) D．eq\f(1,256)解析：因?yàn)?個(gè)盲盒共有44＝256(種)結(jié)果，而剛好開出“歡迎光臨”的情況有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)，所以小明剛好集齊“歡迎光臨”的概率P＝eq\f(24,256)＝eq\f(3,32).答案：C4．哥德巴赫猜想是指“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，例如10＝7＋3，16＝13＋3，在不超過32的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)數(shù)，其和等于32的概率為________．解析：由題意可知，不超過32的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31，共11個(gè)，在不超過32的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)數(shù)，樣本點(diǎn)總數(shù)為Ceq\o\al(2,11)＝55(個(gè))，其和等于32包含的樣本點(diǎn)有(3,29)，(13,19)，共2個(gè)，所以其和等于32的概率為P＝eq\f(2,55).答案：eq\f(2,55)題型古典概型的計(jì)算的多維研討維度1列舉法典例1(1)(2023·全國甲卷，文)某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)(2)(2024·山東泰安寧陽一中模擬)小明準(zhǔn)備今年到上海參觀世博會博物館，但只需要一名家長陪同前往，爸爸、媽媽都很愿意陪同，于是決定用拋擲硬幣的方法決定由誰陪同．每次擲一枚硬幣，連擲三次．①用樹狀圖列舉三次拋擲硬幣的所有可能結(jié)果．②若規(guī)定：有兩次或兩次以上正面向上，由爸爸陪同前往上海；有兩次或兩次以上反面向上，則由媽媽陪同前往上海．分別求由爸爸陪同小明前往上海和由媽媽陪同小明前往上海的概率．(1)解析：依題意，設(shè)高一年級的2名同學(xué)為a1，a2，高二年級的2名同學(xué)為b1，b2，從4名同學(xué)中隨機(jī)選2名組織文藝匯演，有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6種情況，因?yàn)榭倲?shù)較少，所以用有序數(shù)對進(jìn)行列舉．其中這2名同學(xué)來自不同年級的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4種情況，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).方法二：P＝eq\f(2×2,C\o\al(2,4))＝eq\f(2,3).故選D．(2)解：①列樹狀圖如下：清晰且簡單易行，盡量按某一順序，不重不漏．②由①可知，基本事件總數(shù)為8，有兩次或兩次以上正面向上的情況有4種，∴P(由爸爸陪同前往)＝eq\f(1,2)；有兩次或兩次以上反面向上的情況有4種，∴P(由媽媽陪同前往)＝eq\f(1,2).使用列舉法時(shí)的注意點(diǎn)(1)盡量按某一順序，以做到不重復(fù)、不遺漏．(2)是否有順序，有序和無序是有區(qū)別的，可以交換次序來看是否對結(jié)果造成影響，有影響就是有序，無影響即無序．(3)是否允許重復(fù)，即是有放回還是不放回，有放回地取元素是允許重復(fù)的，不放回地取元素是不允許重復(fù)的．對點(diǎn)練1(1)(2024·廣東東莞期末)甲、乙、丙、丁四人在足球訓(xùn)練中進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙、丙、丁中的任何一個(gè)人，以此類推，則經(jīng)過3次傳球后乙恰好接到1次球的概率為()A．eq\f(14,27) B．eq\f(5,9)C．eq\f(16,27) D．eq\f(17,27)(2)(多選)(2024·浙江臺州第一次質(zhì)量評估)投擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，則()A．向上點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為eq\f(1,18)B．向上點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為eq\f(1,6)C．向上點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)的概率為eq\f(5,36)D．向上點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為eq\f(1,2)解析：(1)按接球人分類：①不含甲，三人時(shí)，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6種；兩人時(shí)，乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6種；②含甲，乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁乙甲，丁甲乙，丁丙甲，丁甲丙，共15種，故共計(jì)27種．其中乙恰好接到1次球的情況有16種，所以所求概率為eq\f(16,27)，故選C．(2)由題意可知投擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子向上的點(diǎn)數(shù)情況有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種．其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種，故向上點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9)，故A錯(cuò)誤；其中向上點(diǎn)數(shù)之和為7的有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6種，故向上點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，故B正確；其中向上點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,6)，共6種，故向上點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)的概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，故C錯(cuò)誤；其中向上點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18種，故向上點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，故D正確．答案：(1)C(2)BD維度2排列組合法典例2(1)(2023·全國乙卷，文)某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為()正難則反．A．eq\f(5,6)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)(2)(2024·福建福州質(zhì)檢)從1,2，…，9這9個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)Ceq\o\al(3,9)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是________．分兩類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3個(gè)偶數(shù)：C\o\al(3,4)，,1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)：C\o\al(1,4)C\o\al(2,5).))解析：(1)甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故基本事件共有6×6＝36(種)．設(shè)這6個(gè)主題分別為1,2,3,4,5,6，則甲、乙抽到相同主題的基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6種，所以甲、乙抽到不同主題的基本事件共有30種，則其概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).故選A．(2)基本事件總數(shù)為Ceq\o\al(3,9)，設(shè)抽取3個(gè)數(shù)，和為偶數(shù)為事件A，則A事件包括兩類：抽取的3個(gè)數(shù)全是偶數(shù)，或抽取的3個(gè)數(shù)中2個(gè)為奇數(shù)1個(gè)為偶數(shù)，前者有Ceq\o\al(3,4)種，后者有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)種，所以A中的基本事件數(shù)為Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)，所以符合要求的概率為eq\f(C\o\al(3,4)＋C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(11,21).故答案為eq\f(11,21).1．利用排列組合知識求概率，要注意一次性抽取與逐次抽取的區(qū)別，前者無順序的區(qū)別，可利用組合知識計(jì)算；后者有順序的區(qū)別，可利用排列知識計(jì)算．另外還要注意區(qū)分有放回抽樣與不放回抽樣．2．含有“至多”“至少”等類型的概率問題，從正面求解比較困難或者比較煩瑣時(shí)，可考慮其反面，即對立事件，然后應(yīng)用對立事件的性質(zhì)P(A)＝1－P(eq\x\to(A))進(jìn)一步求解.對點(diǎn)練2(1)(2024·福建廈門外國語學(xué)校期末)某中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個(gè)種子選手，將這12人任意分成3個(gè)組(每組4個(gè)人)，則3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為()A．eq\f(3,55) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)(2)(2021·全國甲卷，理)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)解析：(1)由已知條件得，將12人任意分成3組(每組4個(gè)人)，不同的分組方法有eq\f(C\o\al(4,12)C\o\al(4,8)C\o\al(4,4),A\o\al(3,3))種，3個(gè)種子選手分在同一組的方法有eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(4,8)C\o\al(4,4),A\o\al(2,2))種，故3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的概率為eq\f(\f(C\o\al(1,9)C\o\al(4,8)C\o\al(4,4),A\o\al(2,2)),\f(C\o\al(4,12)C\o\al(4,8)C\o\al(4,4),A\o\al(3,3)))＝eq\f(3,55)，故選A．(2)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有Ceq\o\al(1,5)＝5(種)排法，若2個(gè)0不相鄰，則有Ceq\o\al(2,5)＝10(種)排法．所以2個(gè)0不相鄰的概率為eq\f(10,5＋10)＝eq\f(2,3).故選C．答案：(1)A(2)C題型古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用典例3(2024·甘肅蘭州模擬)某單位N名員工參加“社區(qū)低碳你我他”活動．他們的年齡在25歲至50歲之間．按年齡分組：第1組為[25,30)，第2組為[30,35)，第3組為[35,40)，第4組為[40,45)，第5組為[45,50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．由第一、二組縱坐標(biāo)相同，結(jié)合頻率分布表知a＝25.下表是年齡的頻數(shù)分布表.區(qū)間[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]人數(shù)25ab(1)求正整數(shù)a，b，N的值．(2)現(xiàn)要從年齡較小的第1,2,3組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是多少？(3)在(2)的條件下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動，求恰有1人在第3組的概率．解：(1)由題干中的頻率分布直方圖及頻數(shù)分布表易錯(cuò)點(diǎn)：縱軸為eq\f(頻率,組距).可知，a＝25，且b＝25×eq\f(0.08,0.02)＝100，總?cè)藬?shù)N＝eq\f(25,0.02×5)＝250.(2)因?yàn)榈?,2,3組共有25＋25＋100＝150(人)，所以利用分層隨機(jī)抽樣在150人中抽取6人，第1組抽取的人數(shù)為6×eq\f(25,150)＝1(人)，第2組抽取的人數(shù)為6×eq\f(25,150)＝1(人)，第3組抽取的人數(shù)為6×eq\f(100,150)＝4(人)，所以第1,2,3組分別抽取1人、1人、4人．(3)由(2)可設(shè)第1組的1人為A，第2組的1人為B，第3組的4人分別為C1，C2，C3，C4，則從6人中抽取2人的所有可能結(jié)果為(A，B)，(A，C1)，也可用排列組合：Ceq\o\al(2,6)＝15.(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15種，其中恰有1人在第3組的所有結(jié)果為(A，C1)，用排列組合：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,2)＝8.(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共8種，所以恰有1人在第3組的概率為eq\f(8,15).求解古典概型與統(tǒng)計(jì)交匯問題的思路(1)依據(jù)題目的直接描述或頻率分布表、頻率分布直方圖等統(tǒng)計(jì)圖表給出的信息，提煉出需要的信息．(2)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與古典概型概率的正確計(jì)算.eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點(diǎn)練3為了了解使用某種新型藥品后是否會引起疲乏癥狀，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了當(dāng)?shù)鼗加羞@種疾病的275人進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：使用情況癥狀合計(jì)無疲乏癥狀有疲乏癥狀未使用新藥15025t使用新藥xy100合計(jì)225m275(1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，t的值，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否以此推斷有疲乏癥狀與使用