中考題中?？嫉膱A的六種解題策略（題型分類+例題解析+真題反饋）

中考題中?？嫉膱A的六種解題策略第一種場景：遇到弦。軸對稱性是圓的基本性質(zhì)，垂徑定理及其推論就是根據(jù)圓的軸對稱性總結(jié)出來的，它們是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系、弧相等和一條弦是直徑的重要依據(jù)．遇弦作弦心距是圓中常用的輔助線．當(dāng)圓的題目中出現(xiàn)弦的知識點(diǎn)的時(shí)候，我們需要迅速聯(lián)想到弦相關(guān)的定理和一些性質(zhì)，比如垂徑定理、弦心距、勾股定理等．例1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB與CD交于點(diǎn)F（1）求證：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直徑．【分析】（1）根據(jù)兩平行弦所夾的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所對的圓周角相等及等角對等邊，可以證明FC＝FB．（2）連接OC，在Rt△OCE中用勾股定理計(jì)算出半徑，然后求出直徑．【解答】（1）證明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如圖：連接OC，設(shè)圓的半徑為r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r2＝（r﹣8）2+122，解方程得：r＝13．所以⊙O的直徑為26．【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理，（1）題根據(jù)平行弦所夾的弧相等，等弧所對的圓周角相等，等角對等邊，可以證明兩條線段相等．（2）題根據(jù)垂徑定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半徑，再確定圓的直徑．第二種場景：遇到直徑。當(dāng)出現(xiàn)直徑的條件時(shí)，我們也要快速聯(lián)想圓心角、圓周角等性質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)造等腰三角形、直角三角形等圖形，從而求解后面的問題。例2.如圖，在⊙O中，將弧BC沿弦BC所在直線折疊，折疊后的弧與直徑AB相交于點(diǎn)D，連接CD．（1）若點(diǎn)D恰好與點(diǎn)O重合，則∠ABC＝______°；（2）延長CD交⊙O于點(diǎn)M，連接BM．猜想∠ABC與∠ABM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和圓周角定理解答即可；（2）作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D'，利用對稱的性質(zhì)和圓周角定理解答即可．【解答】（1）∵由折疊可知：∠OBC＝∠CBD，∵點(diǎn)D恰好與點(diǎn)O重合，∴∠COD＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝∠COD＝30°；故答案為：30；（2）∠ABM＝2∠ABC，理由如下：作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D'，連接CD'，BD'，∵對稱，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，連接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，設(shè)∠ABC＝α，則∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．【點(diǎn)評】此題考查圓周角的定理，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)和圓周角定理解答．第三種場景：遇到切線。切線的定義是：一直線若與一圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線就是圓的切線。一般如果題目給出有切線，那么我們可以考慮添加過切點(diǎn)的半徑，進(jìn)而連結(jié)圓心和切點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)和定理構(gòu)造出直角或直角三角形，從而使用勾股定理解出一些邊角關(guān)系。例3．（2018秋?海淀區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OE⊥AB，P為AB的延長線上一點(diǎn)，PC與⊙O相切于點(diǎn)C，CE與AB交于點(diǎn)F．（1）求證：PC＝PF；（2）連接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tanP＝，求FB的長．【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，從而可知∠EFA＝∠FCP，由對頂角的性質(zhì)可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF；（2）過點(diǎn)B作BG⊥PC于點(diǎn)G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3，從而可知OB＝3，易證四邊形OBGC是正方形，所以O(shè)B＝CG＝BG＝3，所以=，所以PG＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【解答】（1）連接OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠OCP＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵OE⊥AB，∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EFA＝∠FCP，∵∠EFA＝CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；（2）過點(diǎn)B作BG⊥PC于點(diǎn)G，∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，∵OB＝OC，BC＝3，∴OB＝3，∵BG⊥PC，∴四邊形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝3，∵tanP＝，∴=，∴PG＝4，∴由勾股定理可知：PB＝5，∵PF＝PC＝7，∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合問題，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，銳角三角函數(shù)的定義等知識，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識．第四種場景:遇到相交切線(切線長定理)，這個(gè)和上面的切線有點(diǎn)類似，碰到這種特殊的情況，我們常常更多會考慮連結(jié)圓心和切點(diǎn)，或者連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)，或者按需求連結(jié)兩切點(diǎn)。通過這幾個(gè)不同的操作，我們可以得出一些特殊的三角形和邊角關(guān)系，比如全等、相似、垂直、邊角關(guān)系等等，非常好用。例4.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB為直徑的⊙O與DC相切于E．已知AB＝8，邊BC比AD大6．（1）求邊AD、BC的長；（2）在直徑AB上是否存在一動點(diǎn)P，使以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCP相似？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．【分析】過D作DF⊥BC于F，設(shè)AD＝x，則DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，根據(jù)勾股定理就到一個(gè)關(guān)于x的方程，就可以解得AD的長；△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以求出AP的長．第五種場景：三角形內(nèi)切圓。一般碰到這個(gè)場景我們會作以下輔助線：過圓心作三角形各邊的垂線段或者連結(jié)圓心到各三角形頂點(diǎn)，思路同樣是構(gòu)造特殊的邊角關(guān)系和三角形。這里有兩個(gè)非常重要的性質(zhì)必須清楚記得：1、圓心到三角形頂點(diǎn)的連線是角平分線；2、圓心到三角形三邊的距離相等。例5．（2019?武漢模擬）如圖，AB＝AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)O是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)M，與CD相切于點(diǎn)N（1）∠AOC＝______；（2）若NC＝3，BC＝2，求DM的長．【分析】（1）只要證明OC平分∠ACD，即可解決問題；（2）由切線長定理可知：AM＝AE，DM＝DN，CN＝CE＝3，設(shè)DM＝DN＝x，AM＝AE＝y(tǒng)，在Rt△BDC中，根據(jù)BC2＝BD2+CD2，構(gòu)建方程即可解決問題；【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．第六種場景：三角形外接圓。如果是這種情況，一般我們會先構(gòu)造一條直徑，然后再根據(jù)題目的一些已知條件構(gòu)造特殊的三角形和邊角關(guān)系，從而求解。例6．（2018秋?中山區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，PA是⊙O切線，PC交⊙O于點(diǎn)D．（1）求證：∠PAC＝∠ABC；（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝2，CD＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接AO延長AO交⊙O于點(diǎn)E，連接EC．想辦法證明：∠B+∠EAC＝90°，∠PAC+∠EAC＝90°即可解決問題；（2）連接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，連接OC，CF．設(shè)⊙O的半徑為x．求出OM，根據(jù)CM2＝OC2﹣OM2＝CF2﹣FM2構(gòu)建方程即可解決問題；【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．練習(xí)反饋1.（2018?張家界）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC=5cm，CD=8cm，則AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm2.（2018?襄陽）如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，則弦BC的長為（）A．4 B．2 C． D．23.（2018?濟(jì)寧）如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．80° D．100°4.（2018?臨安區(qū)）如圖，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點(diǎn)，則BC=（）A． B． C． D．5.（2018?咸寧）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB，CD所對的圓心角分別是∠AOB，COD，若∠AOB與∠COD互補(bǔ)，弦CD=6，則弦AB的長為（）A．6 B．8 C．5 D．56.（2018?曲靖）如圖：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點(diǎn)，若∠A=n°，則∠DCE=°．7.（2018?北京）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，則∠ADB=．8.（2018?煙臺）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，點(diǎn)O，A，B，C在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為．9.（2018?金華）如圖1是小明制作的一副弓箭，點(diǎn)A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點(diǎn)，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉動弓弦的過程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長．如圖2，當(dāng)弓箭從自然狀態(tài)的點(diǎn)D拉到點(diǎn)D1時(shí)，有AD1=30