導數(shù)的計算復合函數(shù)的導數(shù)課件

導數(shù)的計算-復合函數(shù)的導數(shù)導數(shù)的定義導數(shù)的定義函數(shù)f(x)在x處的導數(shù)，是指f(x)在x處變化率的極限值。導數(shù)的公式導數(shù)用f'(x)或df(x)/dx表示，其公式為：f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h導數(shù)的性質(zhì)線性性質(zhì)導數(shù)滿足線性性質(zhì)，即常數(shù)倍和加減運算。乘積法則兩個函數(shù)的乘積的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)。商法則兩個函數(shù)的商的導數(shù)等于分母的平方除以分子導數(shù)乘以分母減去分子乘以分母導數(shù)?；境醯群瘮?shù)的導數(shù)1常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0.2冪函數(shù)冪函數(shù)y=x^n的導數(shù)為y'=nx^(n-1).3指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=a^x的導數(shù)為y'=a^x*ln(a).4對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=log(a)x的導數(shù)為y'=1/(x*ln(a)).復合函數(shù)的定義函數(shù)圖像在一個函數(shù)的定義域內(nèi)，一個函數(shù)的值域與另一個函數(shù)的定義域重合，則可以將這兩個函數(shù)復合，形成復合函數(shù)。復合函數(shù)復合函數(shù)是指多個函數(shù)依次作用的結(jié)果，即把一個函數(shù)的輸出作為另一個函數(shù)的輸入。函數(shù)組合復合函數(shù)的運算符可以是任何函數(shù)符號，例如：f(g(x))，其中f和g都是函數(shù)。復合函數(shù)求導的一般法則1鏈式法則設u=u(x)y=f(u)則y=f[u(x)]的導數(shù)為2求導步驟先求外函數(shù)對內(nèi)函數(shù)的導數(shù)，再乘以內(nèi)函數(shù)對自變量的導數(shù)復合函數(shù)求導的本質(zhì)是利用鏈式法則進行推導。鏈式法則可以理解為，求導的過程是將外函數(shù)對內(nèi)函數(shù)求導，再乘以內(nèi)函數(shù)對自變量求導，以此類推，直到最終得到復合函數(shù)的導數(shù)。例題1：求復合函數(shù)的導數(shù)Step1確定復合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)。Step2分別求出內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的導數(shù)。Step3利用復合函數(shù)求導法則，將內(nèi)層函數(shù)的導數(shù)乘以外層函數(shù)的導數(shù)，得到復合函數(shù)的導數(shù)。例題2：求復合函數(shù)的導數(shù)1求導函數(shù)已知y=sin(x^2+1),求dy/dx.2應用鏈式法則令u=x^2+1,則y=sin(u).3求解dy/dx=dy/du*du/dx=cos(u)*2x=2x*cos(x^2+1).例題3：求復合函數(shù)的導數(shù)1求導利用鏈式法則求解2復合函數(shù)確定內(nèi)外函數(shù)3表達式明確函數(shù)表達式復合函數(shù)的隱函數(shù)求導隱函數(shù)當一個方程無法直接將y表示成x的函數(shù)形式時，稱為隱函數(shù)，例如：x^2+y^2=1求導方法對整個方程兩邊同時求導，然后利用鏈式法則求出y對x的導數(shù)注意在求導過程中，要注意y是x的函數(shù)，需要使用鏈式法則例題4：求隱函數(shù)的導數(shù)1步驟1：兩邊求導對等式兩邊同時求導2步驟2：整理將導數(shù)項整理到一邊3步驟3：解出導數(shù)將導數(shù)項解出來例題5：求隱函數(shù)的導數(shù)求導對等式兩邊求導整理將關(guān)于y’的項移到一邊，其他項移到另一邊解方程解出y’化簡盡可能化簡求出的結(jié)果復合函數(shù)的高階導數(shù)二階導數(shù)求復合函數(shù)的二階導數(shù)，需要先求一階導數(shù)，再對一階導數(shù)求導。高階導數(shù)求復合函數(shù)的高階導數(shù)，需要重復求導過程，直到達到所需的階數(shù)。鏈式法則求復合函數(shù)的高階導數(shù)時，需要使用鏈式法則，將內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的導數(shù)相乘。例題6：求復合函數(shù)的高階導數(shù)1二階導數(shù)對復合函數(shù)求導兩次2三階導數(shù)對復合函數(shù)求導三次3高階導數(shù)對復合函數(shù)求導四次及以上例題7：求復合函數(shù)的高階導數(shù)1已知y=sin(x^2)2求y''3解y'=2xcos(x^2)4y''y''=2cos(x^2)-4x^2sin(x^2)反函數(shù)的導數(shù)1定義設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)可導且f'(x)≠0，則它的反函數(shù)x=f-1(y)在區(qū)間f(I)上可導，且(f-1(y))'=1/f'(x)2推導由復合函數(shù)求導法則可得，對等式y(tǒng)=f(x)兩邊關(guān)于x求導，得到dy/dx=f'(x)3應用反函數(shù)求導公式可以用來求解一些復雜函數(shù)的導數(shù)，例如，lnx的導數(shù)可以利用exp(x)的反函數(shù)求得例題8：求反函數(shù)的導數(shù)1步驟一求函數(shù)的反函數(shù)2步驟二求反函數(shù)的導數(shù)3步驟三將反函數(shù)的導數(shù)化簡例題9：求反函數(shù)的導數(shù)1已知y=f(x)=x3+2x2求y'=(f?1(x))'3步驟1.求反函數(shù)y=f?1(x)4步驟2.對反函數(shù)求導復合函數(shù)求導的應用優(yōu)化問題尋找函數(shù)的最大值或最小值，例如在生產(chǎn)成本、利潤最大化等方面。物理學描述物體運動、能量變化等物理現(xiàn)象，例如速度、加速度的計算。經(jīng)濟學分析市場供求關(guān)系、價格變化等經(jīng)濟現(xiàn)象，例如邊際成本、邊際收益的計算。例題10：復合函數(shù)在優(yōu)化問題中的應用1求解極值利用導數(shù)找到函數(shù)的極值點2建立模型將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型3應用場景例如，求利潤最大化或成本最小化例題11：復合函數(shù)在優(yōu)化問題中的應用問題描述已知某公司生產(chǎn)成本函數(shù)為C(x)=2x^2+10x，其中x表示產(chǎn)量。求該公司生產(chǎn)成本最小時的產(chǎn)量。求解思路首先求出成本函數(shù)的導數(shù)C'(x)=4x+10，然后令導數(shù)為0，解得x=-2.5。結(jié)果驗證由于生產(chǎn)成本函數(shù)是一個二次函數(shù)，其圖像是一個開口向上的拋物線，因此在x=-2.5處取得最小值。結(jié)論該公司生產(chǎn)成本最小時的產(chǎn)量為x=-2.5。例題12：復合函數(shù)在優(yōu)化問題中的應用問題描述已知一個圓形區(qū)域，半徑為r，求該圓形區(qū)域的面積最大值。求解步驟將圓形區(qū)域的面積公式視為一個復合函數(shù)，其中圓形區(qū)域的面積S是半徑r的函數(shù)，而半徑r是某個參數(shù)的函數(shù)，例如時間t。利用復合函數(shù)的求導法則，求解面積S關(guān)于時間t的導數(shù)，然后令導數(shù)等于零，即可得到面積S的最大值。應用場景復合函數(shù)在優(yōu)化問題中的應用非常廣泛，例如在生產(chǎn)管理中，如何優(yōu)化生產(chǎn)成本和利潤；在市場營銷中，如何優(yōu)化廣告投放策略；在工程設計中，如何優(yōu)化結(jié)構(gòu)強度和穩(wěn)定性等。復合函數(shù)求導的注意事項注意內(nèi)外函數(shù)的求導順序，先求外函數(shù)的導數(shù)，再求內(nèi)函數(shù)的導數(shù)。不要忽略鏈式法則，它在復合函數(shù)求導中至關(guān)重要。檢查導數(shù)的計算結(jié)果，確保沒有錯誤。常見錯誤及糾正忘記鏈式法則在求復合函數(shù)的導數(shù)時，忘記應用鏈式法則，導致結(jié)果錯誤?；煜龑?shù)和微分將導數(shù)和微分混淆，導致求導公式錯誤。符號錯誤在求導過程中，符號錯誤，例如忘記負號或使用錯誤的符號。練習題11求導2復合函數(shù)3應用練習題21求函數(shù)y=sin(x^2+1)的導數(shù)2求函數(shù)y=ln(2x+1)的導數(shù)3求函數(shù)y=e^(cos(x))的導數(shù)練習題31求導2簡化3驗證復習與總結(jié)