【八年級上冊數(shù)學浙教版】專題2.5 特殊三角形（二）（勾股定理與直角三角形及其全等的判定 十大題型）重難點題型（解析版）

第第頁專題2.5特殊三角形（二）（勾股定理與直角三角形及其全等的判定十大題型）重難點題型注意：該部分包含2.6節(jié)2.8節(jié)的重難點題型題型1.勾股樹與面積問題再探究解題技巧:解決此類問題要熟練運用勾股定理，結(jié)合正方形、三角形、半圓的面積公式即可解決問題.1．（2022·河南八年級期末）如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，寫出部分的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“”（n≥3），依此規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：在圖中標上字母，如圖所示．∵正方形的邊長為2，為等腰直角三角形，∴，，∴．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，S，…，∴．當時，，故選：A．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是找出規(guī)律“”，解決該題目時，寫出部分的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．2．（2022·廣東揭陽·七年級期末）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的邊長為4．若按照圖①至圖③的規(guī)律設(shè)計圖案，則在第個圖中所有等腰直角三角形的面積和為（）A． B． C． D．32【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出等腰直角三角形直角邊的長，求出每個圖形中等腰三角形面積和，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進而求出即可．【詳解】解：在圖①中，正方形的邊長為4，∴等腰直角三角形①的直角邊長為：∴等腰直角三角形①的面積=在圖②中，最大的正方形的邊長是4，最大的等腰直角三角形①的直角邊長是故可得等腰直角三角形②和③的直角邊長都是2∴如圖③，同理可求等腰直角三角形④⑤⑥⑦的直角邊長均為∴====由此可得規(guī)律：第n個圖形中，所有等腰直角三角形的面積和為4n，故選A．【點睛】此題主要考查了運用勾股定理求等腰直角三角形直角邊的長，解題的關(guān)鍵是求出每個圖形中等腰直角三角形面積和．3．（2022·重慶市求精中學校八年級期中）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A、B、C的面積分別是，，，則正方形D的面積是______．【答案】15【分析】根據(jù)勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代換即可求正方形D的面積．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面積=49-8-12-14=15（cm2）；故答案為：15．【點睛】此題主要考查了勾股定理，注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的面積．4．（2022·浙江省初三學業(yè)考試）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內(nèi)．若圖中陰影部分的面積為，且，則的長為（）圖1圖2A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)AC＝a，AB＝b，BC＝c根據(jù)勾股定理得到c2＝a2＋b2，根據(jù)正方形的面積公式、長方形的面積公式計算即可求解．【解析】如圖2：設(shè)AC＝a，AB＝b，BC＝c，則a＋b＝8，c2＝a2＋b2，HG＝c?b，DG＝c?a，則陰影部分的面積S＝HG?DG＝（c?b）（c?a）＝2，∵（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝64，∴ab＝32?，∴S＝c2?c（a＋b）＋ab＝c2?8c＋32?＝2，解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．5．（2021·浙江省八年級期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構(gòu)成的兩個月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．【答案】12【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式即可求得的值．【詳解】解：設(shè)Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，則，觀察圖形可得：，即，∵，∴=，∴=4+8=12，故答案為：12．【點睛】本題考查了勾股定理、圓的面積，熟記圓的面積公式，利用等面積法得出等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．6．（2021·湖北鄂州市·八年級期末）如圖，在中，在同一平面內(nèi)，分別以、、為邊向形外作等邊、等邊、等邊，若，且，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出等邊三角形ABE和BCF的面積，根據(jù)求出AC的長，再根據(jù)勾股定理逆定理判斷△是直角三角形，再根據(jù)面積公式求結(jié)論即可．【詳解】解：如圖1，在等邊三角形中，當邊長為2a時，高為，用此結(jié)論可得：∵為等邊三角形，∴高為∴∵為等邊三角形，∴高為∴∴即：解得：在△中，∴△是直角三角形，∴故選：C．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，三角形面積公式等知識，AC=5是解答此題的關(guān)鍵．題型2.趙爽弦圖相關(guān)問題解題技巧:解決此類問題要熟練運用勾股定理及完全平方公式，結(jié)合趙爽弦圖利用面積之間的關(guān)系即可解決問題.1．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為3，圖2中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．【答案】16【分析】利用勾股定理，求出空白部分面積，通過間接作差得出陰影部分面積．【詳解】解：由題意作出如下圖，得，BD＝5-3＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，則大正方形面積＝AC2＝34，△ADC面積＝（5×3?2×3）＝，陰影部分的面積S＝34?4×＝16，

故答案為：16．【點睛】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關(guān)鍵在于正確找出勾股關(guān)系，利用轉(zhuǎn)換面積作差求解．2．（2022·浙江·溫州市第十二中學八年級期中）如圖1，我國漢代趙爽在注解《周牌算經(jīng)》時給出四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，人們稱它為“趙爽弦圖”如圖2，連結(jié)，，，，記陰影部分面積為，空白部分面積為，若，則________；如圖3，連結(jié)，相交于點，與相交于點．若，則________．【答案】

##

##【分析】設(shè)直角三角形較短直角邊長為，較長的直角邊長為，斜邊長為，分別表示出，根據(jù)即可求解，根據(jù)，以及等腰三角形的性質(zhì)，求得，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】設(shè)直角三角形較短直角邊長為，較長的直角邊長為，斜邊長為，，，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，．故答案為：，．【點睛】本題考查勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，設(shè)參數(shù)求解是解題的關(guān)鍵．3．（2022·北京東城·八年級期末）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（

）A．19 B．44 C．52 D．76【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理計算出BD即可求得周長．【詳解】解：如下圖所示，設(shè)AC延長一倍到D點，得，∴，∵，∴這個風車的外圍周長，故選：D．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理計算出斜邊的長．4．（2021·浙江九年級）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若，則S2的值是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根據(jù)圖形的特征得出線段之間的關(guān)系，進而利用勾股定理求出各邊之間的關(guān)系，從而得出答案．【詳解】∵圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG?DG＝GF2+2CG?DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG?NF，∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG?DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG?NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故選：C．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG?DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG?NF＝3GF2是解決問題的關(guān)鍵．5．（2021·浙江杭州·八年級期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如圖，作三個等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC為斜邊，陰影部分的面積分別記為S1，S2，S3，S4．(1)當AC＝6，BC＝8時，①求S1的值；②求S4﹣S2﹣S3的值；(2)請寫出S1，S2，S3，S4之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①S1＝9；②S4﹣S2﹣S3的值為9(2)S4＝S1+S2+S3，理由見解析【分析】（1）①直接根據(jù)勾股定理可得AD的長，由此可得答案；②利用勾股定理得AE=BE=5，CF=BF=4，設(shè)S△BEG=S5，則S4+S5-（S1+S2+S5）=S4-S2-S3即可得答案；（2）設(shè)S△BEG=S5，假設(shè)一個等腰直角三角形的斜邊為a，則可表示出這個三角形的面積，利用勾股定理及三角形面積公式可得答案．(1)①∵△ACD是等腰直角三角形，AC=6，∴AD=CD=3，∴S1=×3×3=9；②設(shè)AE與BC交于點G，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵△EAB，△FCB是等腰直角三角形，∴AE=BE=5，CF=BF=4，設(shè)S△BEG=S5，∴S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3=×5×5-×4×4=9；(2)設(shè)S△BEG=S5，如圖，∵等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，∴S△ADC=AC2，S△BFC=BC2，S△ABE=AB2，∵AC2+BC2=AB2，∴AC2+BC2=AB2，∵S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3，∴AB2-BC2=S4-S2-S3，∴AC2=S4-S2-S3，∴S4+S5＝S1+S2+S5+S3，∴S4＝S1+S2+S3．【點睛】此題考查勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是將勾股定理和直角三角形的面積公式進行靈活的綜合和利用．6．（2022·河北省初二期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．給出四個結(jié)論：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】觀察圖形可知，大正方形的邊長為直角三角形的斜邊長，根據(jù)勾股定理即可得到大正方形的邊長，從而得到①正確，根據(jù)題意得4個直角三角形的面積=4××ab=大正方形的面積-小正方形的面積，從而得到③正確，根據(jù)①③可得②正確，④錯誤.【解析】解：∵直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，∴斜邊的平方=a2+b2，由圖知，大正方形的邊長為直角三角形的斜邊長，∴大正方形的面積=斜邊的平方=a2+b2，即a2+b2=49，故①正確；根據(jù)題意得4個直角三角形的面積=4××ab=2ab，4個直角三角形的面積=S大正方形-S小正方形=49-4=45，即2ab=45，故③正確；由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④錯誤，由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正確．故選A．【點睛】本題考查了勾股定理的運用，完全平方公式的運用等知識．熟練運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．題型3.勾股定理的應(yīng)用-梯子滑動問題解題技巧:梯子滑動問題解題步驟：1）運用勾股定理求出梯子滑動之前在墻上或者地面上的距離；2）運用勾股定理求出梯子滑動之后在墻上或者地面上的距離；3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動的距離。注意：梯子長度為不變量。主要題型：常見題型有梯子滑動、繩子移動等題型。1．（2022·江蘇八年級月考）如圖，一架25米長的梯子斜靠在一豎直的墻上，梯子底端離墻有7米．（1）求梯子靠墻的頂端距地面有多少米？（2）小燕說“如果梯子的頂端沿墻下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑動了4米．”她的說法正確嗎？若不正確，請說明理由．【答案】（1）24米；（2）不正確，理由見解析．【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案；（2）由題意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖，由題意得，，∴∴即頂端距地面有24米（2）她的說法不正確；由題意得，，，∴，∴，∴，∴梯子水平滑動了8米，∴她的說法不正確．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2022·江蘇八年級期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，求小巷的寬度．【答案】2.2米【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長，同理可得出的長，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，，米，米，．在△中，，米，，，，，米，米，答：小巷的寬度為2.2米．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．3．（2022·吉林九臺·八年級期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從移動到，同時小船從移動到，且繩長始終保持不變．、、三點在一條直線上，．回答下列問題：（1）根據(jù)題意可知：（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若米，米，米，求小男孩需向右移動的距離（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移動的距離為米．【分析】（1）根據(jù)男孩拽繩子前后始終保持不變即可得；（2）由勾股定理分別求出AC，BC的長，然后根據(jù)（1）中結(jié)論求解即可．【詳解】解：（1）∵AC的長度是男孩拽之前的繩長，是男孩拽之后的繩長，繩長始終未變，∴，故答案為：=；（2）∵A、B、F三點共線，∴在RtΔCFA中，，∵，∴在RtΔCFB中，，由（1）可得：，∴，∴小男孩需移動的距離為米．【點睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練運用勾股定理是解題關(guān)鍵．4．（2022·福建·龍巖二中八年級期中）一梯子長2.5m，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子底端離墻0.7m．(1)這架梯子的頂端離地面有多高？(2)設(shè)梯子頂端到水平地面的距離為，底端到垂直墻面的距離為，若，根據(jù)經(jīng)驗可知：當時，梯子最穩(wěn)定，使用時最安全．若梯子的頂端下滑了，請問這時使用是否安全．【答案】(1)這架梯子的頂端離地面2.4m；(2)此時使用不安全【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）由勾股定理求出，利用公式求出a進行判斷即可．【解析】(1)解：由題意可知在中，，，，∴由勾股定理可得，，即，∴，即這架梯子的頂端離地面2.4m；(2)解：如圖所示，，則在中，，，∴由勾股定理可得，，∴可得，∴此時使用不安全．．【點睛】此題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，正確掌握勾股定理的計算公式及正確理解題意是解題的關(guān)鍵．5．（2022·成都市棕北中學八年級月考）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5米．（1）梯子的長是多少？（2）求小巷的寬．【答案】（1）2.5米；（2）2.7米【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB的長度，（2）由（1）知梯子AB的長度，利用勾股定理求出BD的長，即可得到答案.【詳解】（1）在中，∵，米，米，∴．∴（米）．答：梯子的長是2.5米（2）在中，∵，米，，∴，∴．∵，∴米．∴米．答：小巷的寬度為2.7米．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求有關(guān)線段的長度的方法．6．（2022·新疆·烏魯木齊市八年級期中）太原的五一廣場視野開闊，是一處設(shè)計別致，造型美麗的廣場園林，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級（1）班的小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度，他們進行了如下操作：①測得的長為15米（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明身高1.7米．(1)求風箏的高度．(2)過點D作，垂足為H，求的長度．【答案】(1)風箏的高度為21.7米(2)的長度為9米【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的長，再加上DE即可；（2）利用等積法求出DH的長，再在在中由勾股定理即可求得BH的長．【解析】(1)在中，由勾股定理，得：（米），所以（米），答：風箏的高度為21.7米．(2)由等積法知：，解得：（米）．在中，（米），答：的長度為9米．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，正確運用勾股定理是關(guān)鍵，注意計算準確．題型4.勾股定理的應(yīng)用-風吹草動和折竹抵地問題解題技巧:風吹蓮動問題解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“水深”或者“蓮花”的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。折竹抵地問題解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“竹子”折斷之前或者折斷之后距離地面的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。注意：1）“蓮花”高度為不變量。2）“竹子”高度為不變量。主要題型：常見題型有蓮花、蘆葦、吸管、筷子、有竹子、風箏線、旗桿繩等題型。1．（2021·江蘇九年級二模）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地距離的長為1尺，將它向前水平推送10尺時，即尺，秋千踏板離地的距離和身高5尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問繩索有多長？”，設(shè)秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可列方程為___________．【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2．【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：（x+1﹣5）2+102＝x2．故答案為：（x+1﹣5）2+102＝x2．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和列方程，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣西八年級期末）《九章算術(shù)》中的“引葭赴岸”問題：今有池方一丈，葭（一種蘆葦類植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？其大意是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長在它的正中央，高出水面1尺．如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叄ㄈ鐖D所示），則水深________尺．【答案】12【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EB'的長為10尺，則B'C＝5尺，設(shè)AB＝AB'＝x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到水深．【詳解】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB＝AB'＝x尺，則水深A(yù)C＝（x?1）尺，因為B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52＋（x?1）2＝x2，解得：x＝13，即水深12尺，故答案為：12【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出方程是解題關(guān)鍵．3．（2021·湖北八年級期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端離地面2m，則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為_____m．【答案】17【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為，可得，，，在中利用勾股定理可求出．【詳解】解：設(shè)旗桿高度為，則，，，在中，，即，解得：，即旗桿的高度為17米．故答案是：17．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．4．（2021·湖南中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？”其意思為：今有一門，高比寬多6尺8寸，門對角線距離恰好為1丈．問門高、寬各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如圖，設(shè)門高為尺，根據(jù)題意，可列方程為________．【答案】【分析】先表示出BC的長，再利用勾股定理建立方程即可．【詳解】解：由題可知，6尺8寸即為6.8尺，1丈即為10尺；∵高比寬多6尺8寸，門高AB為x尺，∴BC=尺，∴可列方程為：，故答案為：．【點睛】本題屬于數(shù)學文化題，考查勾股定理及其應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，能將文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言，能用含同一個未知數(shù)的式子表示出直角三角形的兩條直角邊，再利用勾股定理建立方程即可．5．（2021·安徽八年級期中）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，作者是我國明代數(shù)學家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問繩索有多長．”【答案】尺【分析】設(shè)秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可列方程為：x2=102+（x-4）2，解得：x=，∴秋千的繩索長為尺．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出AB、AC的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．6．（2022·云南廣南·八年級期末）如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．【答案】3米【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面的高度是x米，則斜邊為（8x）米．利用勾股定理解題即可．【詳解】解：由題意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，∴設(shè)BC長為x米，則AC長為（）米，∴在Rt△CBA中，有，即：，解得：，∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米．【點睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．題型5.勾股定理的應(yīng)用-臺風（噪音）和爆破問題解題技巧:臺風（噪音）、爆破問題解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計算爆破點或臺風中心到目的地的最短距離；2）將計算出的最短距離跟爆破或臺風的影響范圍的半徑作比較；3）若最短距離大于影響半徑則不受影響，若最短距離小于半徑則受影響。注意：通常會用到垂線段最短的原理。主要題型：常見題型有爆破、臺風（爆破）等題型。1．（2022·山西八年級期末）如圖，原來從A村到B村，需要沿路A→C→B（）繞過兩地間的一片湖，在A，B間建好橋后，就可直接從A村到B村．已知，，那么，建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為（）A．2km B．4km C．10km D．14km【答案】B【分析】直接利用勾股定理得出的長，進而得出答案．【詳解】解：由題意可得：則打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為：（km）．故選：B．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出的長是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇）如圖，鐵路MN和公路PQ在O點處交匯，公路PQ上A處點距離O點240米，距離MN120米，如果火車行駛時，周圍兩百米以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿ON方向，以144千米/時的速度行駛時，A處受噪音影響的時間是_______s【答案】8【分析】過點A作AC⊥ON，根據(jù)題意可知AC的長與200米相比較，發(fā)現(xiàn)受到影響，然后過點A作AD=AB=200米，求出BD的長即可得出居民樓受噪音影響的時間．【詳解】解：如圖：過點A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵公路PQ上A處點距離O點240米，距離MN120米，∴AC=120米，當火車到B點時對A處產(chǎn)生噪音影響，此時AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵144千米/小時=40米/秒，∴影響時間應(yīng)是：320÷40=8秒．故答案為：8．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題關(guān)鍵．3．（2022·全國九年級專題練習）拖拉機行駛過程中會對周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺拖拉機沿公路AB由點A向點B行駛，已知點C為一所學校，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，拖拉機周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學校C會受噪聲影響嗎？為什么？（2）若拖拉機的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機噪聲影響該學校持續(xù)的時間有多少分鐘？【答案】（1）會受噪聲影響，理由見解析；（2）有2分鐘；【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而利用三角形面積得出CD的長，進而得出學校C是否會受噪聲影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出拖拉機噪聲影響該學校持續(xù)的時間．【詳解】解：（1）學校C會受噪聲影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），∵拖拉機周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域，∴學校C會受噪聲影響．（2）當EC＝130m，F(xiàn)C＝130m時，正好影響C學校，∵ED＝=50（m），∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉機的行駛速度為每分鐘50米，∴100÷50＝2（分鐘），即拖拉機噪聲影響該學校持續(xù)的時間有2分鐘．【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答.4．（2022·江蘇八年級期中）臺風是一種自然災(zāi)害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風中心沿東西方向AB由點A行駛向點B，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，又AB=500km，以臺風中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺風影響嗎？為什么？（2）若臺風的速度為20km/h，臺風影響該海港持續(xù)的時間有小時．【答案】（1）海港C受臺風影響，理由見解析；（2）7．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面積法得出CD的長，從而可得海港C是否受臺風影響；（2）根據(jù)勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風影響該海港持續(xù)的時間．【詳解】解：（1）海港C受臺風影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC?BC＝CD?AB∴CD＝240（km）∵以臺風中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受到臺風影響．（2）當EC＝250km，F(xiàn)C＝250km時，正好影響C港口，∵ED＝＝70（km）∴EF＝140km∵臺風的速度為20km/h，∴140÷20＝7（小時）即臺風影響該海港持續(xù)的時間為7小時．故答案為：7．【點睛】本題考查了勾股定理及逆定理的應(yīng)用，解答此類題目的關(guān)鍵掌握勾股定理及其逆定理并構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問題．5．（2022·山西省運城市八年級階段練習）如圖第4號臺風“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省紹興市境內(nèi)的B處，最大風力有9級（23m/s），中心最低氣壓為990百帕，臺風中心沿東北（BC）方向以25km/h的速度向D移動在距離B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距離AD＝70km，那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾個小時內(nèi)撤離才可脫離危險？【答案】臺風中心經(jīng)過小時從B點移到D點，在接到臺風警報后的小時內(nèi)撤離才可脫離危險．【分析】由勾股定理解得BD的長，繼而解得臺風從B點移到D點的時間，即可解得BE的長，及從點B到點E的時間，據(jù)此解題．【詳解】解：在ΔABD中，根據(jù)勾股定理，BD===240(km），則臺風中心經(jīng)過240÷25=小時從B點移到D點，如圖，距臺風中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響，∴所以人們要在臺風中心到達E點之前撤離，∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小時），∴正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的小時內(nèi)撤離才可脫離危險．【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．題型6.勾股定理的應(yīng)用-位置問題（航行和信號塔）解題技巧:航行問題解題步驟：1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根據(jù)航行速度和時間表示出直角三角形兩直角邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。信號塔、中轉(zhuǎn)站題型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出未知量（一般情況下求誰設(shè)誰），并根據(jù)設(shè)出的未知量表示出兩個直角三角形的直角邊長；2）在兩個直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長；3）根據(jù)斜邊長相等建立方程求解。注意：1）輪船航行的題目要注意兩船終點之間的距離通常為直角三角形的斜邊長；2）信號塔和中轉(zhuǎn)站等題型要注意兩個目的地到信號塔或中轉(zhuǎn)站的距離是相等的。主要題型：常見題型有輪船航行、信號塔、中轉(zhuǎn)站等題型。1．（2022·湖北省崇陽縣八年級期中）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16nmile，“海天”號每小時航行12nmile，它們離開港口一個半小時后相距30nmile，且知道“遠航”號沿東北方向航行，那么“海天”號航行的方向是_______．【答案】西北方向【分析】根據(jù)路程=速度×時間分別求得PQ、PR的長，再進一步根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明三角形PQR是直角三角形，從而求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“遠航號”沿東北方向航行可知，∠QPS=45°，則∠SPR=45°，即“海天”號沿西北方向航行故答案為：西北方向．【點睛】此題主要是能夠根據(jù)勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)直角三角形．2．（2021·河南·鶴壁市外國語中學八年級期中）為了積極響應(yīng)國家新農(nóng)村建設(shè)，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動宣講的形式進行宣傳動員．如圖，筆直公路MN的一側(cè)點A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離為600米，假使宣講車P周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車P以200米/分的速度在公路MN上沿PN方向行駛時，問村莊是否能聽到？若能，請求出總共能聽到多長時間的宣傳？【答案】能，村莊總共能聽到8分鐘的宣傳．【分析】根據(jù)村莊A到公路MN的距離為600米＜1000米，可以判斷能否聽到；根據(jù)勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到結(jié)論．【詳解】解：村莊能否聽到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN的距離為600米＜1000米，∴村莊能聽到宣傳；如圖：假設(shè)當宣講車行駛到P點開始影響村莊，行駛到Q點結(jié)束對村莊的影響，則AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝＝800（米），∴PQ＝1600米，∴影響村莊的時間為：1600÷200＝8（分鐘），∴村莊總共能聽到8分鐘的宣傳．【點睛】此題主要考查勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，在實際問題中找出相應(yīng)的直角三角形是解題關(guān)鍵．3．（2021·廣東·佛山市九年級階段練習）如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號．已知A、B兩船相距海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上．（1）分別求出A與C，A與D之間的距離AC和AD（如果運算結(jié)果有根號，請保留根號）．（2）已知距觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險﹖請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，精確到1海里）【答案】（1）AC＝200海里，海里；（2）巡邏船A沿直線AC航線，在去營救的途中沒有觸暗礁危險，理由見解析．【分析】（1）作CE⊥AB于E，設(shè)AE＝x海里，則BE＝CE＝x海里．根據(jù)AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的長；過點D作DF⊥AC于點F，設(shè)AF＝y(tǒng)，則DF＝CF＝y(tǒng)，再由列式求解即可．（2），求出DF的長，再與100比較即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖，過點C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°，由題意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°，∴∠BCE=∠EBC=45°，∴BE=EC，∴AC=2AE設(shè)AE＝x海里，則AC=2x海里，在Rt△AEC中，海里，∴海里，∴海里，∴，解得：x＝100，∴AC＝2x＝200海里．∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75°過點D作DF⊥AC于點F，∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，∴AD=2AF，DF=FC設(shè)AF＝y(tǒng)，則AD＝2y，∴，∵海里∴y＋y＝200，解得：，∴海里；（2）由（1）得∴巡邏船A沿直線AC航線，在去營救的途中沒有觸暗礁危險．【點睛】本題考查的勾股定理的應(yīng)用?航海問題，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．4．（2021·成都八年級期中）如圖，鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？【答案】E點應(yīng)建在距A站10千米處．【分析】關(guān)鍵描述語：產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，設(shè)出AE的長，可將DE和CE的長表示出來，列出等式進行求解即可．【詳解】解：設(shè)AE＝xkm，∵C、D兩村到E站的距離相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．故：E點應(yīng)建在距A站10千米處．【點睛】本題主要是運用勾股定理將兩個直角三角形的斜邊表示出來，兩邊相等求解即可．5．（2022·全國·八年級專題練習）如圖所示，MN以左為我國領(lǐng)海，以右為公海，上午9時50分我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時13海里的速度偷偷向我國領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時間進入我國海域？【答案】走私艇最早在10時41分進入我國領(lǐng)海．【分析】先判斷出△ABC是直角三角形，再用面積相等計算出BD，在Rt△BCD中，由勾股定理計算出CD，算出走私艇行駛的時間，即可求出進入我國領(lǐng)海的時刻．【詳解】∵

，∴△ABC為直角三角形．∴∠ABC＝90°．又BD⊥AC，∴,∴,在Rt△BCD中，由勾股定理得：．∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10時41分進入我國領(lǐng)海．【點睛】本題是與航海有關(guān)的實際應(yīng)用題，考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，用面積相等計算直角三角形斜邊上的高是常用的方法．6．（2021·湖北八年級期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊河邊原有兩個取水點其中由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點在同一條直線上），并新修一條路測得千米，千米，千米．（1）問是否為從村莊到河邊的最近路．請通過計算加以說明；（2）求新路比原路少多少千米．【答案】(1)是，理由見解析；(2)0.05千米【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理驗證△CHB為直角三角形，進而得到CH⊥AB，再根據(jù)點到直線的距離垂線段最短即可解答；(2)在△ACH中根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，∴△CHB為直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，由點到直線的距離垂線段最短可知，CH是從村莊C到河邊AB的最近路；(2)設(shè)AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x-0.9)2+1.22，解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．【點睛】此題考查勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵．題型7.勾股定理及逆定理的相關(guān)計算1．（2021·江西八年級期中）如圖，在中，，，，的垂直平分線分別交、于點，．（1）求的長度；（2）求的長．【答案】（1）15；（2）【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)，則AE=12-x，根據(jù)勾股定理列方程，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）在中，∵，，，∴．（2）∵垂直平分，∴，設(shè)，則，在中，∵，∴，解得．∴．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·安徽八年級期末）如圖，在△ABC中．D是AB邊的中點，DE⊥AB于點D，交AC于點E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）試說明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的長．【答案】（1）見解析；（2）2.8．【分析】（1）連接BE，依據(jù)DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根據(jù)AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，進而得到△BCE是直角三角形；（2）依據(jù)勾股定理可得BE的長為10，再根據(jù)勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的長．【詳解】解：（1）如圖所示，連接BE，∵D是AB邊的中點，DE⊥AB于點D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，∴AE＝10，設(shè)CE＝x，則AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝∴解得x＝2.8，∴CE＝2.8．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.3．（2021·蘇州高新區(qū)第五初級中學校九年級月考）如圖，在中，，是的平分線，于點E．（1）求證：；（2）若，求線段的長度．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）已知∠DAC=∠DAE，即可證明△ACD≌△AED，即可解題；（2）由（1）結(jié)論可得∠AED=∠ACD，AE=AC，即可求得BE的長，進而利用勾股定理解答即可．【詳解】解：證明：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）；（2）∵Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=100，∴AB=10，∵△ACD≌△AED，∴∠AED=∠ACD=90°，AE=AC=6，∴BE=AB-AE=4，∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，設(shè)DE=CD=x，DB=8-x，在Rt△DEB中，DB2=DE2+BE2，即（8-x）2=x2+42，解得：x=3，∴DE=3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△AED是解題的關(guān)鍵．4．（2021·河南八年級期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝17cm，D是腰BA延長線上一點，連接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．（1）判斷△BDC的形狀，并說明理由；（2）求△ABC的周長．【答案】（1）直角三角形，理由見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得出答案即可；（2）設(shè)AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根據(jù)勾股定理求出AC，再求出△ABC的周長即可．【詳解】解：（1）△BDC是直角三角形，理由是：∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠D＝90°，即△BDC是直角三角形；（2）設(shè)AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，即（15﹣x）2+82＝x2，解得：x＝，∴AB＝AC＝（cm），∵BC＝17cm，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）．【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇）如圖，在中，，，，的垂直平分線交于點D，交于點E，連接．（1）求的長．（2）求的長．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)線段垂直平分線的定義求出AD；（2）連接BE，用未知數(shù)表示出EC，BE的長，再利用勾股定理得出EC的長，進而得出答案．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．根據(jù)勾股定理得：AB=＝10，∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝AB＝5；（2）連接BE，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，設(shè)EC＝x，則AE＝BE＝8?x，∴在Rt中，62＋x2＝（8?x）2，解得：x＝，∴AE＝8?＝，在Rt中，DE＝．【點睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出方程，是解題的關(guān)鍵．題型8.網(wǎng)格中的勾股定理解題技巧：網(wǎng)格中，根據(jù)勾股定理，可求解出三角形或四邊形的長度，然后根據(jù)長度判斷多邊形是否是特殊圖形。1．（2022·陜西九年級）如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，于點D，則AD的長為（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理計算BC的長，再利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南長沙市·八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都為．（1）求四邊形的面積；（2）證明：．【答案】（1）12；（2）見解析【分析】（1）采用割補法進行解答即可；（2）如圖：連接AC，運用勾股定理逆定理即可證明．【詳解】解：（1）由題意得四邊形ABCD的面積為：；(2)證明：如圖：連接AC．【點睛】本題主要考查了運用割補法求不規(guī)則圖形的面積、勾股定理的逆定理等知識點，靈活運用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江溫嶺）如圖，5×5網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點均為網(wǎng)格上的格點（1）AB2＝．BC2＝．AC2＝．（2）∠ABC＝°（3）在格點上存在點P，使∠APC＝90°，請在圖中標出所有滿足條件的格點P（用P1、P2……表示）【答案】（1）（2）（3）見解析．【分析】（1）根據(jù)勾股定理分別計算出，即可求解；（2）根據(jù)（1）中的計算結(jié)果，根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解；（3）根據(jù)勾股定理的逆定理找到滿足∠APC=90°的格點P即可求解．【解析】解：（1）故答案為：．（2）∴∠ABC=90°．故答案為：（3）如上圖所示：【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，勾股定理，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·天津濱海新·八年級期末）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點，，都在格點上．（1）線段的長為______；（2）請用無刻度的直尺，在網(wǎng)格中畫出點，使與面積相等，且．簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）___________________________．【答案】

過B點作AC的平行線BE，連接AF，交BE于D．【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求線段AC的長；（2）過B點作AC的平行線BE，連接AF，交BE于D即為所求．【詳解】解：故答案為：（2）如圖所示，點D即為所求，作法：如圖，找到格點,過B點作AC的平行線BE，連接AF，交BE于D．則點D即為所求證明：如圖，，，，同理，，，，，，與面積相等．故答案為：過B點作AC的平行線BE，連接AF，交BE于D．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·安徽六安·八年級期中）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，請按要求完成下列各題．(1)線段AB的長為______；(2)若三角形ABC是直角三角形，且邊BC的長度為5，請在圖中確定點C的位置，并補全三角形ABC．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）根據(jù)A、B、C三點均在網(wǎng)格點上，即可判斷出三角形的斜邊為BC，據(jù)此畫圖即可．(1)解：利用勾股定理有：，故答案為：；(2)當AC為斜邊時，，即，∵30無法表示成兩個整數(shù)的平方和，∴此時無法滿足C點在網(wǎng)格點上，故舍去；當BC為斜邊時，，即，此時C點可在網(wǎng)格點上，作圖如下：【點睛】本題考查了網(wǎng)格圖和勾股定理的知識，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）（1）已知三邊長分別為，，，小迪在解決這一問題時有以下思路：先畫如圖①的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為1），再畫出格點三角形ABC，利用外接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積，即可求出的面積．請你幫助小迪計算出的面積；（2）若三邊長分別為，，，在圖②的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為a）中，畫出格點三角形DEF，并求出的面積；（3）若三邊長分別為，，，在圖③的長方形網(wǎng)格（小長方形長均為m，寬均為n）中，畫出格點三角形OPQ，并求出的面積．【答案】（1）5；（2）作圖見解析，；（3）作圖見解析，【分析】（1）用長為4寬為3的長方形面積減去周圍三個三角形的面積求解即可；（2）先根據(jù)勾股定理的確定周圍三個三角形的邊長，再作圖即可，再利用外接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積，即可求出面積；（3）先根據(jù)勾股定理的確定周圍三個三角形的邊長，再作圖即可，再利用外接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積，即可求出面積．【詳解】（1）的面積，所以，的面積為5；（2）是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，作圖如下：的面積；（3）是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，格點三角形OPQ如圖所示：的面積．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及三角形的面積問題，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．題型9.勾股數(shù)與直角三角形的判定解題技巧：常見勾股數(shù)有：（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；勾股數(shù)組規(guī)律：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）21．（2021·湖北）世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互質(zhì)的奇數(shù)，則a，b，c為勾股數(shù)．我們令n＝1，得到下列順序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…根據(jù)規(guī)律寫出第⑥個等式為______________．【答案】132＋842＝852【分析】通過觀察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在觀察各底數(shù)的特點，找到規(guī)律即可得出第⑥個等式．【詳解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，∴第一個數(shù)的底數(shù)是2n＋1，指數(shù)是2，∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4，∴第二個數(shù)的底數(shù)是2n2＋2n，指數(shù)是2，∵第三個數(shù)的底數(shù)比第二個數(shù)的底數(shù)大1，指數(shù)是2，∴第n個等式為（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2，∴第⑥個等式為132＋842＝852，故答案為：132＋842＝852.【點睛】本題主要考查了整式的數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到每一組數(shù)據(jù)的規(guī)律.2．（2021·南寧市第八中學八年級月考）可以構(gòu)成直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)公式為其中m＞n＞0，m、n是互質(zhì)的奇數(shù)，當n＝1時，則有一邊長為13的直角三角形的另外兩條邊長為___．【答案】5,12或84,85．【分析】利用分類思想，整數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】當n=1時，得，當a=13時，得=13，即，解得m=，∵m是正整數(shù)，∴m=舍去；當b=13時，即m=13，得a==84，c==85；當c=13時，得=13，即，解得m=，∵m是正整數(shù)，∴m=-5舍去，∴m=5,∴a==12，∴b=5,故答案為：5,12或84,85．【點睛】本題考查了勾股數(shù)，熟練運用分類思想，整數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·安徽八年級期中）在學習“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明設(shè)計了如下表格：n23456a4581012b38152435c510172637請回答下列問題：（1）當n＝7時，a＝，b＝，c＝；（2）請你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示：a＝，b＝，c＝；（3）猜想：以a，b，c為邊長的三角形是否為直角三角形？并對你的猜想加以證明．【答案】（1）14，48，50；（2）；（3）是，證明見解析【分析】（1）觀察表格，即可得出n=7時a、b、c的值；（2）利用圖表可以發(fā)現(xiàn)a，b，c與n的關(guān)系，a與c正好是n2加、減1，即可得出答案；（3）計算出a2+b2的值以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．【詳解】解：（1）由圖表可以得出：∵n=2時，a=2×2，b=22-1，c=22+1，n=3時，a=2×3，b=32-1，c=32+1，n=4時，a=2×4，b=42-1，c=42+1，n=5時，a=2×5，b=52-1，c=52+1，∴n=7時，a=2×7=14，b=72-1=48，c=72+1=50；故答案為：14，48，50；（2）由規(guī)律可得：a=2n，b=n2-1，c=n2+1；故答案為：2n，n2-1，n2+1；（3）以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．證明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是仔細觀察表中的數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，進而利用勾股定理的逆定理解決問題．4．（2021·福建省福州一中貴安學校初二期中）大家見過形如x+y＝z，這樣的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是適合該方程的一個正整數(shù)解，法國數(shù)學家費爾馬早在17世紀還研究過形如x2+y2＝z2的方程．（1）請寫出方程x2+y2＝z2的兩組正整數(shù)解：．（2）研究直角三角形和勾股數(shù)時，我國古代數(shù)學專著（九章算術(shù)）給出了如下數(shù)：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇數(shù)），那么，以a，b，c為三邊的三角形為直角三角形，請你加以驗證．【答案】（1）或；（2）驗證見解析．【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)即可得出答案；（2）先分別求出、、，進而求出=，即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）當，時，，當，時，，方程的兩組正整數(shù)解為或，故答案為或；（2）以已知的，，為三邊的三角形為直角三角形，理由：∵，，，，，以，，為三邊的三角形為直角三角形，其中，為直角邊，為斜邊．【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)，勾股定理的逆定理，掌握熟練運用完全平方公式計算是解本題的關(guān)鍵．5．（2022·山西八年級期末）閱讀材料，并解決問題．有趣的勾股數(shù)定義：勾股數(shù)又名畢氏三元數(shù)．凡是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊長的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù)．一般地，若三角形三邊長，，都是正整數(shù)，且滿足，那么數(shù)組稱為勾股數(shù)．公元263年魏朝劉徽著《九章算術(shù)注》，文中除提到勾股數(shù)以外，還提到，，，等勾股數(shù)．數(shù)學小組的同學研究勾股數(shù)時發(fā)現(xiàn)：設(shè)，是兩個正整數(shù)，且，三角形三邊長，，都是正整數(shù)．下表中的，，可以組成一些有規(guī)律的勾股數(shù)．213453251213411581743724255221202954940416135123765116061724528537433566576138485通過觀察這個表格中的數(shù)據(jù)，小明發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)可以寫成．解答下列問題：（1）表中可以用，的代數(shù)式表示為_____________．（2）若，，則勾股數(shù)為______________．（3）小明通過研究表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：若，則勾股數(shù)的形式可表述為（為正整數(shù)），請你通過計算求此時的．(用含的代數(shù)式表示)【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)可得答案；（2）把，代入即可求解；（3）根據(jù)勾股定理求解即可；【詳解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，∴，故答案為：；（2）當，時，a=m2-n2=42-22=12，=2×4×2=16，c=m2+n2=42+22=20，∴勾股數(shù)為，故答案為：；（3）根據(jù)題意，得，∴，解得．【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．也就是說，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．6．（2022·北京四中初二期中）常常聽說“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形兩直角邊長a，b與斜邊長c之間滿足等式：a2+b2＝c2”的一個最簡單特例．我們把滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)組，記為（a，b，c）．（1）請在下面的勾股數(shù)組表中寫出m、n、p合適的數(shù)值：abcabc345435512m681072425p15179n41102426116061123537………………平面直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數(shù)的點叫做整點（格點）．過x軸上的整點作y軸的平行線，過y軸上的整點作x軸的平行線，組成的圖形叫做正方形網(wǎng)格（有時簡稱網(wǎng)格），這些平行線叫做格邊，當一條線段AB的兩端點是格邊上的點時，稱為AB在格邊上．頂點均在格點上的多邊形叫做格點多邊形．在正方形網(wǎng)格中，我們可以利用勾股定理研究關(guān)于圖形面積、周長的問題，其中利用割補法、作圖法求面積非常有趣．（2）已知△ABC三邊長度為4、13、15，請在下面的網(wǎng)格中畫出格點△ABC并計算其面積．【答案】（1）m＝13，n＝40，p＝8；（2）圖詳見解析，24．【分析】（1）根據(jù)勾股數(shù)的定義計算即可；（2）根據(jù)勾股數(shù)確定長為13和15的邊，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解析】解：（1）∵52+122＝132，∴m＝13；∵92+402＝412，∴n＝40，∵82+152＝172，∴p＝8．（2）如圖所示：在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，S△ABC＝SABD﹣S△ACD＝．【點睛】本題考查勾股數(shù)的綜合應(yīng)用，對勾股定理及其逆定理以及常見的勾股數(shù)非常熟悉，是解題的關(guān)鍵．題型10.直角三角形全等