【八年級上冊數(shù)學浙教版】專題3.2 一元一次不等式（組）應用題 五大題型專項講練（解析版）

第第頁專題3.2一元一次不等式（組）應用題五大題型專項講練一元一次不等式（組）的應用題應用題在中考中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，該份資料就一元一次不等式（組）不等式的應用題：分配不足問題、方案問題、費用優(yōu)化問題、利潤問題等問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。不等式的應用題，與等式應用題類似，主要思路為：1）根據題意，列寫不等關系式；2）設未知數(shù)，使之方便表示不等關系式；3）根據不等關系，列寫不等關系式；4）解不等式求解問題。題型1.分配不足問題不等式應用題從另一個角度可分為兩大類：①含有明確的不等詞（不少于、多余、不超過……）：將不等詞化為不等號，以不等號的具體實際含義列出不等式；②不含有明確的不等詞：根據題意中的實際意義列不等式。例1．（2022·浙江·八年級階段練習）某校在一次外出郊游中，把學生編為9個組，若每組比預定的人數(shù)多1人，則學生總數(shù)超過200人；若每組比預定的人數(shù)少1人，則學生總數(shù)不到190人，那么每組預定的學生人數(shù)為（）A．24人 B．23人 C．22人 D．不能確定【答案】C【分析】根據若每組比預定的人數(shù)多1人，則學生總數(shù)超過200人；若每組比預定的人數(shù)少1人，則學生總數(shù)不到190人，可以列出相應的不等式組，再求解，注意x為整數(shù)．【詳解】解：設每組預定的學生數(shù)為x人，由題意得，解得是正整數(shù)故選：C．【點睛】本題考查一元一次不等式組的應用，屬于常規(guī)題，掌握相關知識是解題關鍵．變式1．（2022·成都市·八年級期中）安排學生住宿，若每間住3人，則還有13人無房可?。蝗裘块g住6人，則還有一間不空也不滿，則宿舍的房間數(shù)量可能為_____．【答案】5或6【分析】設共有間宿舍，則共有個學生，然后根據每間住6人，則還有一間不空也不滿，列出不等式組進行求解即可．【詳解】解：設共有間宿舍，則共有個學生，依題意得：，解得：．又為正整數(shù)，或6．故答案為：5或6．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，解題的關鍵在于能夠準確根據題意列出不等式組進行求解．例2．（2022?市中區(qū)八年級期中）某幼兒園把一筐桔子分給若干個小朋友，若每人3只，那么還剩59只，若每人5只，那么最后一個小朋友分到桔子，但不足4只，試求這筐桔子共有多少只？解：設幼兒園共有x名小朋友，則桔子的個數(shù)為（3x+59）個，由“最后一個小朋友分到桔子，但不足4個”可得不等式組0＜（3x+59）﹣5（x﹣1）＜4，解得30＜x＜32，∴x＝31，∴有桔子3x+59＝3×31+59＝152（個）．答：這筐桔子共有152個．變式2．（2022·江蘇·七年級專題練習）小明和小亮共下了10盤圍棋，小明勝一盤記1分，小亮勝一盤記3分，當他倆下完第9盤后，小明的得分高于小亮；等下完第10盤后，小亮的得分高過小明，小亮勝（

）盤？（已知比賽中沒有出現(xiàn)平局）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題可設小亮贏了x盤，然后列出一元一次不等式組，化簡后得出x的取值范圍，找出取值范圍中的整數(shù)即可得出本題的答案．【詳解】解：設下完10盤棋后小亮勝了x盤．根據題意得，解得．∴所列不等式組的整數(shù)解為x＝3．答：小亮勝了3盤．故選：C.【點睛】本題考查的是一元一次不等式的運用．解此類題目要依據不等式的基本性質，在不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數(shù)不等號的方向改變．題型2.方案問題解決此類問題，依舊先按照普通不等式組解決問題的題型進行，最終會得到一個取值范圍。那么提出的方案只需要符合這個取值范圍即可。例1．（2022·重慶·七年級期中）“學黨史，辦實事”，為解決停車難問題，某區(qū)政府治堵辦對老舊小區(qū)新增停車位給予補貼，對于通過劃線方式新增的和建設改造新增的給予不同的補貼．劃線4個和建設改造3個，共補貼8000元；劃線1個和建設改造1個，共補貼2500元．(1)政府對劃線新增一個停車位和建設改造新增一個停車位分別補貼多少元？(2)在（1）的條件下，政府計劃對老舊小區(qū)一共新增車位100個，建設改造新增的停車位不得少于劃線新增停車位的1.5倍，且政府補貼不超過143000元，則老舊小區(qū)新增停車位共有幾種方案？【答案】(1)政府對劃線新增一個停車位補貼500元，對建設改造新增一個停車位補貼2000元(2)共有3種方案【分析】（1）設政府對劃線新增一個停車位補貼x元，對建設改造新增一個停車位補貼y元，根據“劃線4個和建設改造3個，共補貼8000元；劃線1個和建設改造1個，共補貼2500元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設老舊小區(qū)劃線新增m個停車位，則建設改造新增（100-m）個停車位，根據“建設改造新增的停車位不得少于劃線新增停車位的1.5倍，且政府補貼不超過143000元”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為整數(shù)即可得出老舊小區(qū)新增停車位方案的個數(shù)．【詳解】(1)設政府對劃線新增一個停車位補貼元，對建設改造新增一個停車位補貼元，依題意得：，解得：x=500y=2000．答：政府對劃線新增一個停車位補貼500元，對建設改造新增一個停車位補貼2000元．(2)設老舊小區(qū)劃線新增個停車位，則建設改造新增個停車位，依題意得：，解得：．又為整數(shù)，可以為38，39，40，老舊小區(qū)新增停車位共有3種方案．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．變式1．（2022·浙江·八年級階段練習）某手機經銷商計劃同時購進一批甲、乙兩種型號的手機，已知每部甲種型號的手機進價比每部乙種型號的手機進價多200元，且購進3部甲型號手機和2部乙型號手機，共需要資金9600元；（1）求甲、乙型號手機每部進價為多少元？（2）該店計劃購進甲、乙兩種型號的手機共20臺進行銷售，現(xiàn)已有顧客預定了8臺甲種型號手機，且該店投入購進手機的資金不多于3.8萬元，請求出有幾種進貨方案？并請寫出進貨方案．【答案】（1）甲型號手機每部進價為2000元，乙為1800元；（2）共有3種進貨方案，分別是甲8臺，乙12臺；甲9臺，乙11臺；甲10臺，乙10臺；【分析】（1）設甲型號手機每部進價為元，乙為元，根據題意列出方程組，求解即可；（2）根據題意列出不等式組，求解即可得出方案．【詳解】解：（1）解：設甲型號手機每部進價為元，乙為元，由題意得．，解得答：甲型號手機每部進價為2000元，乙為1800元．（2）設甲型號進貨臺，則乙進貨臺，由題意可知解得故或9或10，則共有種進貨方案：分別是甲8臺，乙12臺；甲9臺，乙11臺；甲10臺，乙10臺．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，讀懂題意，找準等量關系，列出相應的方程或不等式組是解本題的關鍵．例2．（2022·江蘇·七年級專題練習）某市七年級“新體考”新增了“三大球”選考項目，即足球運球繞標志桿、排球對墻墊球、籃球行進間運球上籃．為了使學生得到更好的訓練，某學校計劃到某商場采購一批足球和排球，該商場的每個足球與每個排球的標價之和為90元；若按標價購買4個足球、5個排球，則共需400元．（1）該商場足球和排球的標價分別是多少元？（2）若該商場有兩種優(yōu)惠方式：方式一：足球和排球一律按標價8折優(yōu)惠；方式二：每購買2個足球，贈送1個排球（單買排球按標價計算）．①若學校需采購足球、排球各50個，你認為應該采用哪種優(yōu)惠方式購買合算？②若學校計劃在此商場采購足球、排球共100個，其中足球數(shù)量為偶數(shù)且不超過48個，并且用方式二購買的費用不超過用方式一購買的費用，請問學校有幾種采購方案，并說明理由．【答案】（1）該商場足球的標價為50元個，排球的標價為40元個；（2）①采用優(yōu)惠方式二購買合算；②學校有2種采購方案．【分析】（1）設該商場足球的標價為元個，排球的標價為元個，根據“該商場的每個足球與每個排球的標價之和為90元；若按標價購買4個足球、5個排球，則共需400元”，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出該商場足球和排球的標價；（2）①利用總價單價數(shù)量，結合兩種優(yōu)惠方式的優(yōu)惠策略，即可分別求出采用兩次優(yōu)惠方式所需費用，比較后即可得出采用優(yōu)惠方式二購買合算；②設購買足球個，則購買排球個，根據“購買足球的數(shù)量不超過48個，并且用方式二購買的費用不超過用方式一購買的費用”，即可得出關于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結合為正整數(shù)且為偶數(shù)，即可得出采購方案的個數(shù)．【詳解】解：（1）設該商場足球的標價為元個，排球的標價為元個，依題意得：，解得：．答：該商場足球的標價為50元個，排球的標價為40元個．（2）①采用優(yōu)惠方式一的費用為（元；采用優(yōu)惠方式二的費用為（元．答：采用優(yōu)惠方式二購買合算．②設購買足球個，則購買排球個，依題意得：，解得：．又為正整數(shù)，且為偶數(shù)，可以取46，48，學校有2種采購方案．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）①利用總價單價數(shù)量，分別求出采用兩種優(yōu)惠方式所需費用；②根據各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．變式2．（2022·江蘇·七年級專題練習）為緩解并最終解決能源的供需矛盾，改善日益嚴峻的環(huán)境狀況，我國大力提倡發(fā)展新能源．新能源汽車市場發(fā)展迅猛，國家不僅在購買新能源車方面有補貼，而且還有免繳購置稅等利好政策．某汽車租賃公司準備購買、兩種型號的新能源汽車10輛．新能源汽車廠商提供了如下兩種購買方案：方案汽車數(shù)量（單位：輛）總費用（單位：萬元）第一種購買方案64170第二種購買方案82160(1)、兩種型號的新能源汽車每輛的價格各是多少萬元？(2)為了支持新能源汽車產業(yè)的發(fā)展，國家對新能源汽車發(fā)放一定的補貼．已知國家對、兩種型號的新能源汽車補貼資金分別為每輛3萬元和4萬元．通過測算，該汽車租賃公司在此次購車過程中，可以獲得國家補貼資金不少于34萬元，公司需要支付資金不超過145萬元，請你通過計算求出有幾種購買方案．【答案】(1)型號新能源汽車每輛的價格是15萬元，型號新能源汽車每輛的價格是20萬元(2)共有三種購車方案，方案一：購買型號新能源汽車4輛，則購買型號新能源汽車6輛；方案二：購買型號新能源汽車5輛，則購買型號新能源汽車5輛；方案三：購買型號新能源汽車6輛，則購買型號新能源汽車4輛【分析】（1）設A種型號的新能源汽車每輛的價格為x萬元，B種型號的新能源汽車每輛的價格為y萬元，根據總價=單價×數(shù)量結合汽車廠商提供的兩種購買方案，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設該汽車租賃公司購進A種型號的新能源汽車a輛，則購進B種型號的新能源汽車（10-a）輛，根據國家補貼資金不少于34萬元及公司需要支付資金不超過145萬元，即可得出關于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍，再結合a為整數(shù)即可得出各購買方案．(1)設型號新能源汽車每輛的價格是萬元，型號新能源汽車每輛的價格是萬元.由題意得：解得：.型號新能源汽車每輛的價格是15萬元，型號新能源汽車每輛的價格是20萬元.(2)設購買型號新能源汽車輛，則購買型號新能源汽車輛.由題意得：解得：.∵a是整數(shù)，∴a=4，5或6∴共有三種購車方案方案一：購買型號新能源汽車4輛，則購買型號新能源汽車6輛方案二：購買型號新能源汽車5輛，則購買型號新能源汽車5輛方案三：購買型號新能源汽車6輛，則購買型號新能源汽車4輛【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組是解題的關鍵．題型3.利潤問題例1．（2022·重慶八年級階段練習）節(jié)日將至，某水果店打算將紅心獼猴桃、奉節(jié)臍橙、阿克蘇糖心蘋果以鮮果禮盒的方式進行銷售．其中一個紅心獼猴桃與一個阿克蘇糖心蘋果成本價之和為一個奉節(jié)臍橙的成本價的兩倍，一個阿克蘇糖心蘋果與一個紅心獼猴桃成本價之差的兩倍等于一個奉節(jié)臍橙的成本價．商家打算將甲種鮮果禮盒裝紅心獼猴桃6個、奉節(jié)臍橙4個、阿克蘇糖心蘋果6個；乙種鮮果禮盒裝紅心獼猴桃8個、奉節(jié)臍橙4個、阿克蘇糖心蘋果6個；丙種鮮果禮盒裝紅心獼猴桃4個、奉節(jié)臍橙8個、阿克蘇糖心蘋果8個．已知每個鮮果禮盤的成本價定為各水果成本價之和，每個甲種鮮果禮盒在成本價的基礎上提高之后進行銷售，每個乙種鮮果禮盒的利潤等于兩個阿克蘇糖心蘋果的成本價，每個丙種鮮果禮盒的利潤率和每個乙種鮮果禮盒時利潤率相等．某單位元旦節(jié)發(fā)福利，準備給每個員工發(fā)一個鮮果禮盒．采購員向該水果店預訂了80個甲種鮮果禮盒，預訂乙種鮮果禮盒的數(shù)量與丙種鮮果禮盒的數(shù)量之差位于12和28之間．該水果店通過核算，此次訂單的利潤率為，則該單位一共有________名員工．【答案】140【分析】設一個紅心獼猴桃的成本價為x元，一個奉節(jié)臍橙的成本價為z元，一個阿克蘇糖心蘋果的成本價為y元，然后由題意易得，則有甲種鮮果禮盒的成本價為元，乙種鮮果禮盒的成本價為元，丙種鮮果禮盒的成本價為元，進而可得甲的利潤為元，乙的利潤為元，利潤率為，丙的利潤為元，設預定乙種鮮果禮盒的數(shù)量為m，丙種鮮果禮盒的數(shù)量為n，則根據“訂單的利潤率為”列出方程，最后根據“預訂乙種鮮果禮盒的數(shù)量與丙種鮮果禮盒的數(shù)量之差位于12和28之間”來求解即可．【詳解】解：設一個紅心獼猴桃的成本價為x元，一個奉節(jié)臍橙的成本價為z元，一個阿克蘇糖心蘋果的成本價為y元，由題意得：，解得：，∴甲種鮮果禮盒的成本價為元，乙種鮮果禮盒的成本價為元，丙種鮮果禮盒的成本價為元，∴甲的利潤為元，乙的利潤為元，則有它的利潤率為，進而可得丙的利潤為元，設預定乙種鮮果禮盒的數(shù)量為m，丙種鮮果禮盒的數(shù)量為n，由題意得：，化簡得：，∴，∵預訂乙種鮮果禮盒的數(shù)量與丙種鮮果禮盒的數(shù)量之差位于12和28之間，∴，即，解得：，∵m為正整數(shù)，∴m的值可能為36、37、38、39、40、41、42、43、44，∵n為正整數(shù)，∴是6的倍數(shù)，∴，∴該單位一共有80+40+20=140（名）；故答案為140．【點睛】本題主要考查三元一次方程組的應用及一元一次不等式的應用，熟練掌握利用消元思想及不定方程的求解方法是解題的關鍵．變式1．（2022·重慶巴蜀中學八年級期末）“寒辭去冬雪，暖帶入春風”，隨著新春佳節(jié)的臨近，家家戶戶都在準備年貨，臘肉香腸幾乎是川渝地區(qū)必備的年貨之一．某超市購進一批川味香腸和廣味香腸進行銷售，試銷期間，兩種香腸各銷售100千克，銷售總額為12000元，利潤率為20%．正式銷售時，超市決定將兩種香腸混裝成禮盒的形式促銷（每個禮盒的成本為混裝香腸的成本之和），其中A禮盒混裝2千克廣味香腸，2千克川味香腸；B禮盒混裝1千克廣味香腸，3千克川味香腸，兩種禮盒的數(shù)量之和不超過180個．超市工作人員在對這批禮盒進行成本核算時將兩種香腸的成本剛好弄反，這樣核算出的成本比實際成本少了500元，則超巿混裝A、B兩種禮盒的總成本最多為______元．【答案】36250【分析】設每千克川味香腸的成本為元，每千克廣味香腸的成本為元，先根據利潤率的計算公式可得，從而可分別求出每個禮盒的實際成本和核算出的成本，再設禮盒的數(shù)量為個，禮盒的數(shù)量為個，根據“核算出的成本比實際成本少了500元”可得，從而可得，然后結合求出超巿混裝兩種禮盒的總成本的最大值即可得．【詳解】解：設每千克川味香腸的成本為元，每千克廣味香腸的成本為元，由題意得：，即，則每個禮盒的實際成本和核算出的成本均為（元），每個禮盒的實際成本為（元），核算出的成本為（元），設禮盒的數(shù)量為個，禮盒的數(shù)量為個，由題意得：，即，聯(lián)立，解得，則超巿混裝兩種禮盒的總成本為，即超巿混裝兩種禮盒的總成本最多為36250元，故答案為：36250．【點睛】本題考查了列代數(shù)式、二元一次方程組的應用等知識點，通過設立未知數(shù)，正確找出等量關系是解題關鍵．例2．（2022·浙江新昌·八年級期末）某種家用電器的進價為每件800元，以每件1200元的標價出售，由于電器積壓，商店準備打折銷售，但要保證利潤率不低于5%，則最低可按標價的______折出售．【答案】七【分析】設按標價的x折出售，利用利潤=售價-成本，結合利潤不低于5%，即可得出關于x的一元一次不等式，解出不等式取最小值即可．【詳解】解：設按標價的x折出售由題意得：解得：最低可按標價的7折出售故答案為7【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．變式2．（2022·上海松江·期末）今年“六一”前夕，某文具店花費2200元采購了A、B兩種型號的文具進行銷售，其進價和售價之間的關系如表：型號進價（元/個）售價（元/個）A型1012B型1520若兩種型號的文具按表中售價全部售完，則該商店可以盈利600元．(1)問該商店當初購進A、B兩種型號文具各多少個？(2)“六一”當天，A、B兩種型號文具各剩下20%還未賣出，文具店老板在第二天降價出售，且兩種型號文具每件降了同樣的價格，要使得這批文具售完后的總盈利不低于546元，那么這兩種型號的文具每件最多降多少元？【答案】(1)該商店當初購進A型號文具100個，B型號文具80個(2)1.5元【分析】（1）設該商店當初購進A型號文具x個，B型號文具y個，根據用2200元購進的A、B兩種型號的文具全部售出后可盈利600元，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設這兩種型號的文具每件降m元，利用這批文具售完后的總盈利＝600﹣剩余文具的數(shù)量×每件降低的價格，結合使得這批文具售完后的總盈利不低于546元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．【解析】(1)解：（1）設該商店當初購進A型號文具x個，B型號文具y個，依題意得：，解得：．答：該商店當初購進A型號文具100個，B型號文具80個；(2)（2）設這兩種型號的文具每件降m元，依題意得：600﹣（100+80）×20%m≥546，解得：m≤1.5．答：這兩種型號的文具每件最多降1.5元．【點睛】此題考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確理解題意利用方程組或是不等式解決實際問題是解題的關鍵．題型4.費用優(yōu)化問題費用優(yōu)化問題是在方案問題上進一步深化，再求出費用（結果）最大（?。┑姆桨?。解題方法為：先按照方案問題，求解出所有合適的方案，在求出各個方案的費用（結果），比較得出費用最大（?。├麧櫍ńY果）的方案。例1．（2022·浙江嘉興市·八年級期末）某企業(yè)新增了一個化工項目，為了節(jié)約資源，保護環(huán)境，該企業(yè)決定購買A、B兩種型號的污水處理設備共10臺，具體情況如下表：經預算，企業(yè)最多支出136萬元購買設備，且要求月處理污水能力不低于2150噸．（1）該企業(yè)有哪幾種購買方案？（2）哪種方案更省錢？并說明理由．A型B型價格（萬元/）1512月污水處理能力（噸/月）250200【答案】（1）有3種購買方案：第一種是購買3臺A型污水處理設備，7臺B型污水處理設備；第二種是購買4臺A型污水處理設備，6臺B型污水處理設備；第三種是購買5臺A型污水處理設備，5臺B型污水處理設備；（2）購買3臺A型污水處理設備，7臺B型污水處理設備更省錢【分析】（1）設購買污水處理設備A型號x臺，則購買B型號（10﹣x）臺，由不等量關系購買A型號的費用+購買B型號的費用≤136；A型號每月處理的污水總量+B型號每月處理的污水總量≥2150，列出不等式組，然后找出最合適的方案即可．（2）計算出每一方案的花費，通過比較即可得到答案．【詳解】設購買污水處理設備A型號x臺，則購買B型號（10﹣x）臺，根據題意，得，解這個不等式組，得：．∵x是整數(shù)，∴x=3或x=4或x=5．當x=3時，10﹣x=7；當x=4時，10﹣x=6；當x=5時，10-x=5．答：有3種購買方案：第一種是購買3臺A型污水處理設備，7臺B型污水處理設備；第二種是購買4臺A型污水處理設備，6臺B型污水處理設備；第三種是購買5臺A型污水處理設備，5臺B型污水處理設備；（2）當x=3時，購買資金為15×3+12×7=129（萬元），當x=4時，購買資金為15×4+12×6=132（萬元），當x=5時，購買資金為15×5+12×5=135（萬元）．因為135＞132>129，所以應購污水處理設備A型號3臺，B型號7臺．答：購買3臺A型污水處理設備，7臺B型污水處理設備更省錢．【點睛】此題考查方案類不等式組的實際應用，有理數(shù)的混合運算，正確理解題意，根據題意列得不等式組是解題的關鍵．變式1.（2022·沙坪壩區(qū)·八年級月考）某木板加工廠將購進的A型、B型兩種木板加工成C型，D型兩種木板出售，已知一塊A型木板的進價比一塊B型木板的進價多10元，且購買2塊A型木板和3塊B型木板共花費220元．（1）A型木板與B型木板的進價各是多少元？（2）根據市場需求，該木板加工廠決定用不超過8780元購進A型木板、B型木板共200塊，若一塊A型木板可制成2塊C型木板、1塊D型木板；一塊B型木板可制成1塊C型木板、2塊D型木板，且生產出來的C型木板數(shù)量不少于D型木板的數(shù)量的．①該木板加工廠有幾種進貨方案？②若C型木板每塊售價30元，D型木板每塊售價25元，且生產出來的C型木板、D型木板全部售出，哪一種方案獲得的利潤最大，求出最大利潤是多少？【答案】（1）A型木板的進價為50元/塊，B型木板的進價為40元/塊；（2）①該木板加工廠有4種進貨方案；方案1：購進A型木板75塊，B型木板125塊；方案2：購進A型木板76塊，B型木板124塊；方案3：購進A型木板77塊，B型木板123塊；方案4：購進A型木板78塊，B型木板122塊．②方案1購進A型木板75塊，B型木板125塊利潤最大，最大利潤為7625元．【分析】（1）設A型木板的進價為x元/塊，B型木板的進價為y元/塊，根據“一塊A型木板的進價比一塊B型木板的進價多10元，購買2塊A型木板和3塊B型木板共花費220元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）①設購入A型木板m塊，則購入B型木板（200-m）塊，由購進木板的總資金不超過8780元且生產出來的C型木板數(shù)量不少于D型木板的數(shù)量的，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結合m為整數(shù)即可得出各進貨方案；②根據利潤=銷售收入-進貨成本，分別求出4個進貨方案的銷售利潤，比較后即可得出結論．【詳解】解：（1）設A型木板的進價為x元/塊，B型木板的進價為y元/塊，依題意，得：，解得：．答：A型木板的進價為50元/塊，B型木板的進價為40元/塊．（2）①設購入A型木板m塊，則購入B型木板（200-m）塊，依題意，得：，解得：75≤m≤78．∵m為整數(shù)，∴m=75，76，77，78．∴該木板加工廠有4種進貨方案，方案1：購進A型木板75塊，B型木板125塊；方案2：購進A型木板76塊，B型木板124塊；方案3：購進A型木板77塊，B型木板123塊；方案4：購進A型木板78塊，B型木板122塊．②方案1獲得的利潤為（75×2+125）×30+（75+125×2）×25-75×50-125×40=7625（元），方案2獲得的利潤為（76×2+124）×30+（76+124×2）×25-76×50-124×40=7620（元），方案3獲得的利潤為（77×2+123）×30+（77+123×2）×25-77×50-123×40=7615（元），方案4獲得的利潤為（78×2+122）×30+（78+122×2）×25-78×50-122×40=7610（元）．∵7625＞7620＞7615＞7610，∴方案1購進A型木板75塊，B型木板125塊利潤最大，最大利潤為7625元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）①根據各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；②利用利潤=銷售收入-進貨成本，分別求出4個進貨方案的銷售利潤．變式2．（2022·吉林前郭爾羅斯·七年級期末）某商店需要購進甲、乙兩種商品共160件，其進價和售價如表：甲乙進價（元/件）1535售價（元/件）2045（1）若商店計劃銷售完這批商品后能獲利1100元．則甲、乙兩種商品應分別購進多少件？（2）若商店計劃投入資金不多于4300元，且銷售完這批商品獲利多于1260元，商店有哪幾種購貨方案？哪種購貨方案銷售利潤最大？請說明理由．【答案】（1）應購進甲種商品100件，乙種商品60件；（2）商店共同3種購貨方案，方案1：購進甲種商品65件，乙種商品95件；方案2：購進甲種商品66件，乙種商品94件；方案3：購進甲種商品67件，乙種商品93件．方案1的銷售利潤最大，理由見解析．【分析】（1）設應購進甲種商品x件，乙種商品y件，根據“購進甲、乙兩種商品共160件，且全部銷售完能獲利1100元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出購進甲、乙兩種商品的數(shù)量；（2）設購進甲種商品m件，則購進乙種商品（160-m）件，根據“投入資金不少于4300元，且銷售完批商品獲利多于1260元”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為正整數(shù)，即可得出各購貨方案，利用銷售總利潤=每件的銷售利潤×銷售數(shù)量，可分別求出各方案可獲得的銷售利潤，比較后可得出購貨方案1銷售利潤最大．【詳解】解：（1）設應購進甲種商品x件，乙種商品y件，依題意得：，解得：．答：應購進甲種商品100件，乙種商品60件；（2）設購進甲種商品m件，則購進乙種商品（160﹣m）件，依題意得：，解得：65≤m＜68．又∵m為正整數(shù)，∴m可以為65，66，67，∴商店共同3種購貨方案，方案1：購進甲種商品65件，乙種商品95件；方案2：購進甲種商品66件，乙種商品94件；方案3：購進甲種商品67件，乙種商品93件．方案1的銷售利潤最大，理由如下：方案1的銷售利潤為（20﹣15）×65+（45﹣35）×95＝1275（元）；方案2的銷售利潤為（20﹣15）×66+（45﹣35）×94＝1270（元）；方案3的銷售利潤為（20﹣15）×67+（45﹣35）×93＝1265（元）．∵1275＞1270＞1265，∴購貨方案1銷售利潤最大．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．題型5.其他問題例1．（2022·江蘇·七年級專題練習）中午放學后，有a個同學在學校一食堂門口等侯進食堂就餐，由于二食堂面積較大，所以配餐前二食堂等待就餐的學生人數(shù)是一食堂的2倍，開始配餐后，仍有學生續(xù)前來排隊等候就餐，設一食堂排隊的學生人數(shù)按固定的速度增加，且二食堂學生人數(shù)增加的速度是一食堂的2倍，兩個食堂每個窗口阿姨配餐的速度是一樣的，一食堂若開放12個配餐窗口，則需10分鐘才可為排隊就餐的同學配餐完畢；二食堂若開放2個配餐窗口，則14分鐘才可為排隊就餐的同學配餐完畢；若需要在15分鐘內配餐完畢，則兩個食堂至少需要同時一共開放___個配餐窗口．【答案】29【分析】設每分鐘來一食堂就餐的人數(shù)為x人，食堂每個窗口阿姨配餐的速度為每分鐘y人，則每分鐘來二食堂就餐的人數(shù)為2x人，根據“一食堂若開放12個配餐窗口，則需10分鐘才可為排隊就餐的同學配餐完畢；二食堂若開放20個配餐窗口，則14分鐘才可為排隊就餐的同學配餐完畢”，即可得出關于x，y，a的三元一次方程組，解之即可用含y的代數(shù)式表示出a，x，設設兩個食堂同時一共開放m個配餐窗口，根據需要在15分鐘內配餐完畢，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論．【詳解】解：設每分鐘來一食堂就餐的人數(shù)為x人，食堂每個窗口阿姨配餐的速度為每分鐘y人，則每分鐘來二食堂就餐的人數(shù)為2x人，依題意得：，∴，設兩個食堂同時一共開放m個配餐窗口，依題意得：15my≥a+2a+15×（x+2x），解得：m≥29．故答案為：29．【點睛】本題考查了三元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，找準等量關系，正確列出三元一次方程組是解題的關鍵．變式1．（2021·山東青州·八年級期末）小明要從甲地到乙地，兩地相距2千米．已知小明步行的平均速度為100米/分，跑步的平均速度為200米/分，若要在不超過15分鐘的時間內到達乙地，至少需要跑步多少分鐘？設小明需要跑步x分鐘，根據題意可列不等式為（）A．200x+100（15﹣x）≥2000 B．200x+100（15﹣x）≤2000C．200x+100（15﹣x）≥2 D．100x+200（15﹣x）≥2【答案】A【分析】根據“跑步的路程+步行的路程≥2000米”可得不等式．【詳解】解：設小明需要跑步x分鐘，根據題意可列不等式為200x+100（15-x）≥2000，故選：A．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算其蘊含的不等式關系是解題的關鍵．變式2．（2022·河南·九年級專題練習）小明與小紅開展讀書比賽．小明找出了一本以前已讀完84頁的古典名著打算繼續(xù)往下讀，小紅上個周末恰好剛買了同一版本的這本名著，不過還沒開始讀．于是，兩人開始了讀書比賽．他們利用右表來記錄了兩人5天的讀書進程．例如，第5天結束時，小明還領先小紅24頁，此時兩人所讀到位置的頁碼之和為424．已知兩人各自每天所讀頁數(shù)相同．讀書天數(shù)12345頁碼之差7260483624頁碼之和152220424(1)表中空白部分從左到右2個數(shù)據依次為，；(2)小明、小紅每人每天各讀多少頁？(3)已知這本名著有488頁，問：從第6天起，小明至少平均每天要比原來多讀幾頁，才能確保第10天結束時還不被小紅超過？（答案取整數(shù)）【答案】(1)288，356(2)小明每天讀28頁，小紅每天讀40頁(3)小明至少平均每天要比原來多讀8頁，才能確保第10天結束時還不被小紅超過【分析】（1）第一天兩人一共讀了152-84=68頁，故第三天頁碼之和=220+68=288頁，第四天頁碼之和=288+68=356頁；（2）小明每天讀x頁，小紅每天讀y頁．由題意列得議程組，解方程組即可解決問題；（3）從第6天起，小明至少平均每天要比原來多讀m頁．由題意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解不等式即可解決問題．【解析】(1)解：第一天兩人一共讀了152-84=68頁，故第三天頁碼之和=220+68=288頁，第四天頁碼之和=288+68=356頁，故答案為：288，356．(2)解：小明每天讀x頁，小紅每天讀y頁，由題意，解得，答：小明每天讀28頁，小紅每天讀40頁；(3)解：從第6天起，小明至少平均每天要比原來多讀m頁．由題意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解得m≥7.2，∵m是整數(shù)，∴m=8，∴小明至少平均每天要比原來多讀8頁，才能確保第10天結束時還不被小紅超過．【點睛】本題考查了一元一次不等式、二元一次方程組等知識，解題的關鍵是讀懂表格中的信息，學會利用參數(shù)構建方程組或不等式解決問題．變式3．（2022·福建·廈門一中八年級期末）A、B兩地相距25km，甲上午8點由A地出發(fā)騎自行車去B地，乙上午9點30分由A地出發(fā)乘汽車去B地．(1)若乙的速度是甲的速度的4倍，兩人同時到達B地，請問兩人的速度各是多少?(2)已知甲的速度為，若乙出發(fā)半小時后還未追上甲，此時甲、乙兩人的距離不到，判斷乙能否在途中超過甲，請說明理由．【答案】(1)甲的速度是12.5千米/時，乙的速度是50千米/時；(2)乙能在途中超過甲．理由見解析【分析】（1）設甲的速度是x千米/時，乙的速度是4x千米/時，根據A、B兩地相距25千米，甲騎自行車從A地出發(fā)到B地，出發(fā)1.5小時后，乙乘汽車也從A地往B地，且兩人同時到達B地，可列分式方程求解；（2）根據乙出發(fā)半小時后還未追上甲，此時甲、乙兩人的距離不到，列不等式組求得乙的速度范圍，進步計算即可判斷．(1)解：設甲的速度是x千米/時，乙的速度是4x千米/時，由題意，得，解得x=12.5，經檢驗x=12.5是分式方程的解，12.5×4=50．答：甲的速度是12.5千米/時，乙的速度是50千米/時；(2)解：乙能在途中超過甲．理由如下：設乙的速度是y千米/時，由題意，得，解得：44<y<48，甲走完全程花時間：小時，則乙的時間為：小時，∴乙小時走的路程s為：×44<s<×48，即25<s<28，∴乙能在途中超過甲．【點睛】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，解題的關鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等和不等關系，并據此列出方程和不等式組．例2．（2022年廣東八年級數(shù)學應用知識展示試題）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門.出東門一十五里有木.問出南門幾何步而見木？”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城周長的最小值為（

）（注：1里=300步，且兩個正數(shù)的和大于等于其積開方的兩倍，當兩數(shù)相等時取等號）．A．里 B．里 C．里 D．里【答案】D【分析】根據題意得出，進而可得出EF?GF＝AG?BE＝10，結合基本不等式求4（EF+GF）的最小值即可．【詳解】因為1里=300步，則由圖知步=4里，步=2.5里，由題意，得，則，所以該小城的周長為，當且僅當時等號成立．故選D【點睛】本題考查基本不等式的實際應用，考查數(shù)學運算和直觀想象的能力，屬于中檔題．變式1．（2022·北京西城·八年級期末）已知三條線段的長分別是4，4，m，若它們能構成三角形，則整數(shù)m的最大值是（

）A．10 B．8 C．7 D．4【答案】C【分析】根據三角形三邊關系列出不等式，根據不等式的解集求整數(shù)m的最大值．【詳解】解：條線段的長分別是4，4，m，若它們能構成三角形，則，即又為整數(shù)，則整數(shù)m的最大值是7故選C【點睛】本題考查求不等式的整數(shù)解，三角形三邊關系，根據三角形的三邊關系列出不等式是解題的關鍵．變式2．（2021·河北長安·七年級期末）如圖．已知點是射線上一動點（不與點重合），，若為鈍角三角形，則的取值范圍是（）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】當兩角的和小于90°或一個角大于90°時三角形是一個鈍角三角形，由此可求解．【詳解】解：由三角形內角和可得：，∵，∴當與∠O的和小于90°時，三角形為鈍角三角形，則有；當大于90°時，此時三角形為鈍角三角形，則有；故選D．【點睛】本題主要考查三角形內角和及一元一次不等式的應用，熟練掌握三角形內角和及一元一次不等式的應用是解題的關鍵．變式3．（2021·浙江諸暨·八年級期中）某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋的紙盒．（1）現(xiàn)有正方形紙板162張，長方形紙板340張，若要做兩種紙盒共100個，設豎式紙盒x個，需要長方形紙板________________張，正方形紙板_____________張（請用含有x的式子）（2）在（1）的條件下，有哪幾種生產方案？（3）若有正方形紙板162張，長方形紙板a張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完．已知290＜a＜300，求a的值．【答案】（1）長方形紙板用了（x+300）張，正方形紙板用了（200﹣x）張；（2）共有3種生產方案，方案1：生產豎式紙盒38個，橫式紙盒62個；方案2：生產豎式紙盒39個，橫式紙盒61個；方案3：生產豎式紙盒40個，橫式紙盒60個；（3）293或298【分析】（1）可根據豎式紙盒+橫式紙盒=100個，每個豎式紙盒需1個正方形紙板和4個長方形紙板，每個橫式紙盒需3個長方形紙板和2個正方形紙板來填空；（2）根據題意，列不等式組求解即可；（3）設可以生產豎式紙盒m個，橫式紙盒個，可列出方程，再根據a的取值范圍求出a的取值范圍即可．【詳解】解：（1）設生產豎式紙盒x個，則生產橫式紙盒（100﹣x）個，則長方形紙板用了張，正方形紙板用了張∴長方形紙板用了（x+300）張，正方形紙板用了（200﹣x）張．（2）依題意，得：，

解得：．∵x為整數(shù)，∴x＝38，39，40，∴共有3種生產方案，方案1：生產豎式紙盒38個，橫式紙盒62個；方案2：生產豎式紙盒39個，橫式紙盒61個；方案3：生產豎式紙盒40個，橫式紙盒60個．（3）設可以生產豎式紙盒m個，橫式紙盒個，由此可得，為偶數(shù)，依題意，得：∵∴∴∴或∴或答：a的值為293或298．【點睛】本題考查一元一次不等式組的應用，列代數(shù)式，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系，正確列不等式求解，注意實際問題最后取整數(shù)解．例3．（2022·重慶一中九年級開學考試）春節(jié)期間，某超市推出了甲、乙、丙三種臘味套盒，各套盒均含有香腸、臘肉、臘排骨、臘豬腳等四種臘味各若干袋，每袋臘味的重量為500克，一袋臘肉的售價不低于30元，一袋香腸的售價比一袋臘肉的售價貴，單袋臘味的售價均為整數(shù)元，套盒的售價即為單袋臘味的售價之和，甲套盒中含有香腸2袋，臘肉5袋，臘排骨2袋，臘豬腳2袋，乙套盒中含有香腸4袋，臘肉5袋，臘排骨1袋，臘豬腳1袋，丙套盒中含有香腸3袋，臘肉5袋，臘排骨2袋，臘豬腳1袋，甲、乙禮盒售價均為415元，丙禮盒售價比甲禮盒貴10元，則臘排骨每袋______元．【答案】50【分析】設香腸、臘肉、臘排骨、臘豬腳四種臘味的單價分別為每袋元，元，元，元，再列方程組，分別用含的代數(shù)式再利用都為正整數(shù)，且求解的范圍，從而可得答案.【詳解】解：設香腸、臘肉、臘排骨、臘豬腳四種臘味的單價分別為每袋元，元，元，元，則由①②得：由②③得：則把代入①可得：都為正整數(shù)，且當時，則或當時，不合題意，舍去，當時，符合題意，此時，所以：臘排骨每袋50元.故答案為：50【點睛】本題考查的是方程組的應用，方程組的正整數(shù)解問題，一元一次不等式組的應用，熟練的利用方程組與不等式組解決實際問題是解本題的關鍵.變式1．（2022·湖南新邵·八年級期末）某學校為落實“五項管理”工作，促進學生健康和全面發(fā)展，豐富學生的體育活動，準備從體育用品商店購買一些排球、足球和籃球，排球和足球的單價相同，買一個足球需要50元，買一個籃球需要80元．根據實際需要，該學校從體育用品商店一次性購買了三種球共100個，且購買三種球的總費用不超過6000元，則這所中學最多可購買籃球________個．【答案】33【分析】購買足球和籃球的總費用不超過6000元，列式求得解集后得到相應整數(shù)解，從而求解．【詳解】解：設該中學購買籃球m個，根據題意得出：80m+50（100-m）≤6000，解得：m≤33，∵m是整數(shù)，∴m≤33（m的最大整數(shù)解是33）．故答案為：33．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式的應用；得到相應總費用的不等式是解決本題的關鍵．變式2．（2022·廣西江州·七年級期末）崇左市甲超市和乙超市在元旦節(jié)期間分別推出如下促銷方式：甲超市乙超市全場商品一律優(yōu)惠15%購物不超過200元，不優(yōu)惠購物超過200元而不超過500元，一律八折購物超過500元，其中的500元優(yōu)惠10%，超過的部分打七五折．已知兩家超市相同的商品的標價都一樣．(1)若小華同學一次性購物200元，請問小華同學到兩家超市實際付款分別是多少？(2)當購物總額為多少時，小華同學到兩家超市實際付款相同？(3)若小華在乙超市購物實際付款480元，則買同樣的商品到甲超市實際付款多少元，他的選擇劃算嗎？試說明理由．【答案】(1)小華同學到甲乙兩家超市實付款分別170元和200元．(2)當購物總額是750元時，小華同學到甲乙兩家超市實付款相同；(3)小華選擇在乙超市購物不劃算．【分析】（1）根據甲超市和乙超市促銷方式代入計算即可；（2）設購物總額是x元時，先計算出x的取值范圍，確定打折方式后根據題意列出方程即可求出答案；（3）由于500×0.8＝400＜480，所以小華在乙超市購物實際總額多于500元，設小華在乙超市購物總額為y元，y＞500時，根據乙超市的促銷方式列方程即可求得，再將求出的金額用甲超市促銷方式進行計算后比較，即可判斷．【解析】(1)解：（1）由題意可知，一次性購物總額是200元時：甲超市實付款：200×（1?15%）＝170（元），乙超市實付款：200（元），小華同學到甲乙兩家超市實付款分別170元和200元．(2)（2）設購物總額是x元時，甲乙兩家超市實付款相同，當一次性購物標價總額恰好是500元時，甲超市實付款＝500×0.85＝425（元），乙超市實付款＝500×0.8＝400（元），∵425＞400，∴x＞500．根據題意得x（1?15%）＝500（1?10%）＋（x?500）×0.75，解得x＝750，∴當購物總額是750元時，小華同學到甲乙兩家超市實付款相同；（3）∵500×0.8＝400＜480，∴該小華在乙超市購物實際總額多于500元，設該小華同學在乙超市購物總額為y元，且y＞500，根據題意得：500（1?10%）＋（y?500）×0.75＝480，解得

y＝540．540×（1?15%）＝459（元），∴該顧客在步步高超市購物，購買總額540元的商品，實際付款為459元，∵459＜480，∴小華選擇在乙超市購物不劃算．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，不等式，有理數(shù)大小比較，解題的關鍵是判斷清楚題目中描述的促銷方式并準確找出等量關系進行求解．課后專項訓練：1.（2022·浙江余杭·八年級期末）檢測游泳池的水質，要求三次檢驗的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前兩次檢驗，pH的讀數(shù)分別是7.4，7.9，那么第三次檢驗的pH應該為多少才能合格？設第3次的pH值為x，由題意可得（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據平均數(shù)的定義，并結合三次檢驗的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，從而得出答案．【詳解】解：根據題意知7.2≤≤7.8，∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3，故選：A．【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次不等式組，解題的關鍵是掌握平均數(shù)的定義．2．（2022·浙江·八年級期中）研究表明，運動時將心率p（次）控制在最佳燃脂心率范圍內，能起到燃燒脂肪并且保護心臟功能的作用．最佳燃脂心率最高值不應該超過（220-年齡）×0.8，最低值不低于（220-年齡）×0.6．以30歲為例計算，，，1，所以30歲的年齡最佳燃脂心率的范圍用不等式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題干中信息可得“不超過”即“≤”，“不低于”即“≥”，于是30歲的年齡最佳燃脂心率范圍用不等式表示為114≤p≤152．【詳解】最佳燃脂心率最高值不應該超過（220-年齡）×0.8，，p≤152最佳燃脂心率最低值不低于（220-年齡）×0.6，，114≤p在四個選項中只有A選項正確.故選:A．【點睛】本題主要考查不等式的簡單應用，能將體現(xiàn)不等關系的文字語言轉化為數(shù)學語言是解決題目的關鍵．體現(xiàn)不等關系的文字語言有“大于”、“小于”、“不高于”、“不低于”等．3．（2022·浙江寧波·八年級期末）某次知識競賽共20道題，每一題答對得10分，不答得0分，答錯扣5分，小聰有一道題沒答，競賽成績超過90分．設他答對了x道題，則根據題意可列出不等式為（）A．10x﹣5（19﹣x）≥90B．10x﹣5（19﹣x）＞90C．10x﹣（19﹣x）≥90D．10x﹣（19﹣x）＞90【答案】B【分析】小聰答對題的得分：10x；小聰答錯的得分：-5（19-x），不等關系：小聰?shù)梅殖^90分．【詳解】解：設他答對了x道題，根據題意，得10x-5（19-x）＞90．故選：B．【點睛】此題主要考查由實際問題抽象出一元一次不等式，抓住關鍵詞語，找到不等關系是解題的關鍵．4．（2022·上海市八年級期中）一件商品的成本價是30元，若按標價的八八折銷售，至少可獲得10%的利潤；若按標價的九折銷售，可獲得不足20%的利潤，設這件商品的標價為元，則x的取值范圍是______________【答案】【分析】根據“八八折銷售至少可獲得10%的利潤、九折銷售可獲得不足20%的利潤”列不等式組求解可得．【詳解】解：根據題意，得：解得：37.5≤x＜40，故答案為：37.5≤x＜40．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式組的應用，關鍵是理解題意抓住題目中的關鍵語句，列出不等式組．此題用到的公式是：進價+利潤=售價．5．（2022·浙江義烏·八年級期末）某產品進價為每件200元，商店標價為每件300元．現(xiàn)商店準備將這批服裝打折出售，但要保證毛利潤不低于5%，則商店最低可按______折出售．【答案】7【分析】設售價可以按標價打x折，根據“保證毛利潤不低于5%”列出不等式，解之可得．【詳解】解：設售價可以按標價打x折，根據題意，得：200+200×5%≤300×，解得：x≥7，答：售價最低可按標價的7折．故答案為：7．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應用，解題的關鍵是理解題意，找到題目蘊含的不等關系，并據此列出不等式．6．（2022·浙江余杭·八年級期中）若等腰三角形的底邊長為6，則它的腰長x的取值范圍是______；若等腰三角形的腰長為6，則它的底邊長y的取值范圍是______．【答案】

x>3

0<y<12【分析】由等腰三角形的底邊長為6，則它的腰長x，已知腰長是6，底邊長為y，根據三角形三邊關系列出不等式，通過解不等式即可得到答案；等腰三角形的兩腰長度相等，根據三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可求出解．【詳解】等腰三角形的底邊長為6，則它的腰長x，則根據x+x＞6且x-x＜6，即x＞3．腰長是6，底邊長為y，根據三邊關系可知：6-6＜y＜6+6，即0＜y＜12．故答案為x＞3．0＜y＜12；【點睛】本題考查等腰三角形的性質，等腰三角形中兩腰相等，以及三角形的三邊關系．7．（2022·重慶九年級月考）圖圖餅干店所售餅干款式新穎、價格實惠，深受大眾喜愛．2020年，圖圖店新推出抹茶、奶油、芒果、草莓味四款小餅干，抹茶味與奶油味的銷量之和等于草莓味的銷量，芒果味的銷量占草莓味銷量的，四款餅干的銷量之和不少于2850包，不多于手3540包，抹茶味、奶油味兩款餅干的成本相同，均為芒果味與草莓味的成本之和，四款餅干的成本均為正整數(shù)且草莓味餅干的成本是偶數(shù)，店家制作這四款餅干成本一共12012元，且四款餅干全部售出，2021年，受疫情影響，圖圖店不再制作芒果味餅干，每包抹茶味餅干成本是去年的倍，每包奶油味餅干成本較去年上漲了20%，每包草莓味餅干成本是去年的2倍，銷量之比為4：3：5，其中抹茶味、奶油味餅干單件利潤之比為3：4，最后三款餅干的總利潤率為90%，則抹茶味、奶油味、草莓味餅干單價之和為______元．（每款餅干售價均為正整數(shù)）【答案】35【分析】設2020年芒果的銷量為x包，則草莓的為9x包，抹茶和奶油的銷量之和為9x包，根據題意可列出關于x的不等式，再結合題意即得出x的取值范圍．設2020年芒果的成本為a元，草莓的成本為b元，則抹茶和奶油的均為(a+b)元，根據題意可列出關于x和a、b的等式，由此即可得出．由題意可得出且b為偶數(shù)，即可由開始試數(shù)，得出符合題意的a的值．再將所求出的a和b的值代入由關于x和a、b的等式所整理的式子，即可求出x的值．即得出2020年芒果的成本，草莓的成本，抹茶的成本和奶油的的成本．從而可求2021年草莓的成本，抹茶的成本和奶油的的成本．設抹茶味餅干2021年銷售量為包，則奶油的為包，草莓的為包，由此可求出總成本，從而可求出，總銷售額．設抹茶味、奶油味和草莓味餅干的單價分別為r元、s元、t元．根據題意可得出，即．即可得出總銷售額，由此可得出．再由抹茶味、奶油味餅干單件利潤之比為3：4，每款餅干售價均為正整數(shù)，得出，．即可由開始試數(shù)，求出符合題意的t和r的值．最后將r、s、t相加即可．【詳解】設2020年芒果的銷量為x包，則草莓的為9x包，抹茶和奶油的銷量之和為9x包，根據題意可列不等式：，解得：，∵x為整數(shù)，∴．設2020年芒果的成本為a元，草莓的成本為b元，則抹茶和奶油的均為(a+b)元，根據題意可列等式：，整理得：．∴,整理得：，∵四款餅干的成本均為正整數(shù)，∴．又∵草莓味餅干的成本是偶數(shù)，∴．當時，即，解得：，即a的值為3或4．當時，即，解得：，與四款餅干的成本均為正整數(shù)不符，舍去．當時，即，不符合題意，舍去．∴當a=3，時，代入，得：，解得：；當a=4，時，代入，得：，解得：，與x為整數(shù)不符；∴2020年芒果的成本為3元，草莓的成本為2元，則抹茶和奶油的均為5元．∴2021年抹茶的成本為元，奶油的成本為元，草莓的成本為元．設抹茶味餅干2021年銷售量為包，則奶油的為包，草莓的為包，∴總成本為元．∵三款餅干的總利潤率為90%，∴總銷售額為元．設抹茶味、奶油味和草莓味餅干的單價分別為r元、s元、t元．∵抹茶味、奶油味餅干單件利潤之比為3：4，∴，整理得：．∵總銷售額為元，∴，即．將代入，得．∵抹茶味、奶油味餅干單件利潤之比為3：4，即售賣奶油味餅干純在利潤，又∵每款餅干售價均為正整數(shù)，∴，．當時，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：，將，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：，將，代入，得，解得：；當時，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；當時，代入，得，解得：；將，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價均為正整數(shù)，舍；綜上可知，，．∴抹茶味、奶油味和草莓味餅干的單價和為元．故答案為：35．【點睛】本題考查三元一次方程的應用，一元一次不等式的應用．數(shù)據處理較大，為困難題型．根據題意找出數(shù)量關系，列出不等式或等式是解答本題的關鍵．8．（2022·浙江仙居·七年級期末）某楊梅經銷商以每千克40元的價格分三批向果農購進楊梅，均分揀成“特優(yōu)”和“普通”兩類銷售，分揀和包裝費用為每千克6元．每批楊梅中最差的10%不能銷售，為損耗，其余楊梅均能售完．“特優(yōu)”楊梅售價是每千克110元，“普通”楊梅售價為每千克30元．（1）該經銷商購進的第一批楊梅為500千克，分揀出“特優(yōu)”楊梅150千克，則他獲得的利潤是元；（2）該經銷商購進的第二批楊梅為800千克，獲利4800元，求其中售出“特優(yōu)”和“普通”楊梅各多少千克？（3）該經銷商希望自己第三批楊梅的銷售的利潤率不少于35%，他收購楊梅時要確保能分揀出“特優(yōu)”楊梅占收購總量的百分比至少要達到多少（精確到1%）？（利潤＝銷售收入﹣總成本，利潤率＝利潤÷總成本×100%）【答案】（1）2500；（2）售出“特優(yōu)”楊梅250千克，“普通”楊梅470千克；（3）44%【分析】（1）用總收入?成本?包裝費即可求解；（2）設售出“特優(yōu)”楊梅x千克，“普通”楊梅y千克，根據購進的第二批楊梅為800千克，獲利4800元列出方程即可解答；（3）設收購總量為m千克，“特優(yōu)”楊梅占收購總量的百分比為a，根據第三批楊梅的銷售的利潤率不少于35%列出不等式即可解答．【詳解】解：（1）110×150＋（500?150?500×10%）×30?6×500?40×500＝2500；故答案為：2500；（2）設售出“特優(yōu)”楊梅x千克，“普通”楊梅y千克，則解得；答：售出“特優(yōu)”楊梅250千克，“普通”楊梅470千克．（3）設收購總量為m千克，“特優(yōu)”楊梅占收購總量的百分比為a，則，解得a≥43.875%，即a≥44%．答：他收購楊梅時要確保能分揀出“特優(yōu)”楊梅占收購總量的百分比至少要達到44%．【點睛】本題已銷售為背景考查了一元一次不等式和二元一次方程組的知識，解題時找到等量關系和不等量關系，根據等量關系列出方程，不等量關系列出不等式是解題的關鍵．9.（2022·河南長垣·模擬預測）2021年元旦新冠病毒肆虐，為抗疫救災，甲、乙兩運輸隊接受了運輸20000箱抗疫物資的任務，任務要求在11天之內（包含11天）完成．已知兩隊共有18輛汽車，甲隊每輛車每天能夠運輸120箱的抗疫物資，乙隊每輛車每天能夠運輸100箱的抗疫物資，前4天兩隊一共運輸了8000箱．(1)求甲、乙兩隊各有多少輛汽車；(2)4天后，甲隊另有緊急任務需要抽調車輛支援，在不影響工期的情況下，甲隊最多可以抽調多少輛汽車走？【答案】(1)甲隊有10輛汽車，乙隊有8輛汽車(2)甲隊最多可以抽調2輛汽車走【分析】（1）設甲隊有x輛汽車，乙隊有y輛汽車，根據題意得：，計算求解即可；（2）設甲隊可以抽調m輛汽車走，根據題意得：，求解最大的整數(shù)即可．【解析】(1)解：設甲隊有x輛汽車，乙隊有y輛汽車根據題意得：解得：∴甲隊有10輛汽車，乙隊有8輛汽車．(2)解：設甲隊可以抽調m輛汽車走根據題意得：解得：則m最大的整數(shù)是2∴甲隊最多可以抽調2輛汽車走．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用．解題的關鍵在于依據題意列正確的等式或不等式．10．（2022?柳南區(qū)校級期末）某服裝店老板到廠家選購A、B兩種型號的服裝，如果購進A種型號服裝9件，B種型號服裝10件，就需要1810元；如果購進A種型號服裝12件，B種型號服裝8件，就需要1880元．問題：（1）求A、B兩種型號的服裝每件分別為多少錢？（2）已知銷售1件A種型號服裝可獲利18元，銷售B種型號服裝可獲利30元．根據市場需求，服裝店老板的決定，購進A種型號服裝的數(shù)量要比B種型號服裝數(shù)量的2倍多4件，且A種型號服裝最多購進28件，這樣服裝全部售出后，可使總的獲利不少于732元．問有幾種進貨方案？解：（1）設A種型號的服裝每件x元，B種型號的服裝每件y元，，解得，，即A種型號的服裝每件90元，B種型號的服裝每件100元；（2）設B型號x件，則A型號（2x+4）件，，解得，10≤x≤12故有三種進貨方案：方案一：進24件A型號，10件B型號；方案二：26件A型號，11件B型號；方案三：28件A型號，12件B型號．11．（2022?饒平縣校級期末）開學之前，學校總務部門安排新生宿舍，算了一筆細賬、如果每間宿舍住4個學生，那么還余20個人無處安身，如果每間住8個人，那么其中一間不滿也不空，其余各間全滿，試問，共有多少位要住宿的新生？共為他們提供了多少間宿舍？解：設宿舍為x間，則有學生4x+20，，解得5＜x＜7，∵x是正整數(shù)，∴x＝6，而4x+20＝44．答：新生有44人，學校準備了6間宿舍．12．（2022·湖南·八年級期末）為獎勵在文藝匯演中表現(xiàn)突出的同學，班主任派小亮到文具店為獲獎同學購買獎品．小亮發(fā)現(xiàn)，如果買1個筆記本和3支鋼筆，則需要18元；如果買2個筆記本和5支鋼筆，則需要31元．（1）求購買每個筆記本和每支鋼筆各多少元？（2）班主任給小亮的班費是100元，需要獎勵的同學是24名（每人獎勵一件獎品），若購買的鋼筆數(shù)不少于筆記本數(shù)，求小亮有哪幾種購買方案？【答案】（1）設每個筆記本3元，每支鋼筆5元；（2）有三種購買方案：①購買筆記本10個，則購買鋼筆14個；②購買筆記本11個，則購買鋼筆13個；③購買筆記本12個，則購買鋼筆12個．【分析】（1）每個筆記本x元，每支鋼筆y元，根據題意列出方程組求解即可；（2）設購買筆記本m個，則購買鋼筆(24-m)個利用總費用不超過100元和鋼筆數(shù)不少于筆記本數(shù)列出不等式組求得m的取值范圍后即可確定方案．【詳解】解：（1）設每個筆記本x元，每支鋼筆y元依題意得：解得：答：設每個筆記本3元，每支鋼筆5元．（2）設購買筆記本m個，則購買鋼筆(24-m)個依題意得：解得：12≥m≥10∵m取正整數(shù)∴m＝10或11或12∴有三種購買方案：①購買筆記本10個，則購買鋼筆14個．②購買筆記本11個，則購買鋼筆13個．③購買筆記本12個，則購買鋼筆12個．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是仔細的分析題意并找到等量關系列方程或不等關系列不等式．13．（2022·重慶南開中學）在重慶南開中學建校85周年之際，學校舉行了隆重的慶?；顒樱疄楦兄x參與活動的師生，學校定制了水杯和手賬兩種紀念品，已知定制2個水杯和3本手賬共需180元，定制5個水杯和6本手賬共需420元．（1）定制一個水杯和一本手賬的單價各是多少元？（2）學校最終決定定制水杯和手賬的總數(shù)量為600件（其中水杯不超過300個），并委托商家進行包裝，現(xiàn)有如下兩種方案：方案1：一個水杯的包裝費為6元，一本手賬的包裝費為1元，總費用打8折；方案2：定制一個水杯，就贈送一本手賬，并將一個水杯和一本手賬作為套裝進行包裝，此種方案中每個套裝的包裝費為4元，剩下需要單獨定制的單品每件包裝費為2元．求定制水杯多少個時，兩種方案的總費用相同？（總費用=定制物品的總費用+包裝總費用）【答案】（1）定制一個水杯的單價為60元，一本手賬的單價為20元；（2）定制水杯195個時，兩種方案的總費用．【分析】（1）設定制一個水杯的單價為x，一本手賬的單價為y，根據“定制2個水杯和3本手賬共需180元，定制5個水杯和6本手賬共需420元”，列二元一次方程組，求解即可；（2）設定制水杯的個數(shù)為m個，且m300，則手賬的個數(shù)為(600-m)個，分別求得方案1和方案2的總費用，依題意解一元一次方程即可求解．【詳解】解：（1）設定制一個水杯的單價為x元，一本手賬的單價為y元，依題意得：，解得：，答：定制一個水杯的單價為60元，一本手賬的單價為20元；（2）設定制水杯的個數(shù)為m個，且m300，則手賬的個數(shù)為(600-m)個，方案1：設總費用為w1，則w1=；