2024-2025學年浙江省寧波市五校聯(lián)盟高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的．1.已知集合，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】，.故選：C.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調遞減的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A選項，的定義域為，故，故為偶函數(shù)，A錯誤；B選項，畫出的圖象，滿足既是奇函數(shù)又在0,+∞上單調遞減，B正確；C選項，的定義域為R，且，故為偶函數(shù)，C錯誤；D選項，在0,+∞上單調遞增，D錯誤.故選：B.3.設命題p：，（其中m為常數(shù)），則“命題p為真命題”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由命題p為真命題，得，解得，顯然，所以“命題p為真命題”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由為偶函數(shù)可排除A，C；當時，圖象高于圖象，即，排除B.故選：D．5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在上分別為增函數(shù)，減函數(shù)，增函數(shù)，故，.故選：A.6.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則函數(shù)的圖像過定點（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得且，解得，，令得，此時，故的圖像過定點.故選：A.7.若函數(shù)對于任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對任意的正實數(shù)、，當時，，不妨設，則，即，所以，函數(shù)為0,+∞上的增函數(shù)，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.8.已知，，且，則的最小值為（）A.9 B.10 C.11 D.13【答案】D【解析】，且，故，當且僅當，即時，等號成立.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于選項A：因為，又因為，則，可得，所以，故A錯誤；對于選項B：因為，又因為，則，可得，所以，故B正確；對于選項C：因為，又因為，則，可得，所以，故C錯誤；對于選項D：因為，所以，故D正確.故選：BD.10.下列說法中正確的有（）A.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.函數(shù)和函數(shù)表示同一個函數(shù)C.函數(shù)的值域為D.函數(shù)滿足，則【答案】ACD【解析】A選項，令，解得，故函數(shù)的定義域為，A正確；B選項，的定義域為，的定義域為R，兩函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù)，B錯誤；C選項，令，故，故，，因為，所以在上單調遞增，故，函數(shù)的值域為，C正確；D選項，滿足①，故②，聯(lián)立①②得，D正確.故選：ACD.11.函數(shù)在，上有定義，若對任意，，，有，則稱在，上具有性質．設在，上具有性質，下列命題正確有A.在，上的圖象是連續(xù)不斷的B.在，上具有性質C.若在處取得最大值1，則，，D.對任意，，，，，有【答案】CD【解析】對A，反例在，上滿足性質，但在，上不是連續(xù)函數(shù)，故A不成立；對B，反例在，上滿足性質，但在，上不滿足性質，故B不成立；對C：在，上，，，故，對任意的，，，，故C成立；對D，對任意，，，，，有，，故D成立．故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域為________．【答案】且【解析】根據(jù)題意得到，且，解得且.13.已知不等式的解集為，則________，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為________.【答案】【解析】因為不等式的解集為，所以和是方程的兩個根，且，根據(jù)韋達定理，對于方程，有，，解得，，此時函數(shù)，要使函數(shù)有意義，則，解得，令，則，在上單調遞增，對于，其對稱軸為，所以在上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的原則，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.14.已知函數(shù)，若，，滿足，記，則的取值范圍為________．【答案】【解析】因為的圖象是將在軸下方部分沿軸翻折得到的.滿足，則直線在如圖所示兩條虛線間上下平移.令，即，解得或.令時，解得.令，即，解得或.令時，解得.畫出草圖如下：由，，知，，，又因為，由函數(shù)的對稱性，此兩點關于對稱，則.令，則，，則，，，對稱軸為，則在單調遞減..則的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.計算：（1）；（2）已知，求的值．解：（1）．（2）由，則有，，所以原式.16.已知函數(shù)的圖象過點和．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間0,+∞上的單調性，并用單調性的定義證明.解：（1）根據(jù)題意函數(shù)的圖象過點和，則，，解得，，則.（2）函數(shù)在0,+∞上單調遞減，證明：任取，，設，則，又因為，則，，，，則；所以，故函數(shù)在0,+∞上為減函數(shù).17.已知集合，.（1）當時，求；（2）已知“”是“”的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1），得，所以.，當時，，.（2）因為“”是“”的必要條件，所以.當時，，不符合題意；當，即時，，符合題意；當時，，所以，解得.綜上所述：.18.某奶茶店今年年初花費16萬元購買了一臺制作冰淇淋的設備，經估算，該設備每年可為該奶茶店提供12萬元的總收入.已知使用x年（x為正整數(shù)）所需的各種維護費用總計為萬元（今年為第一年）.（1）試問：該奶茶店第幾年開始盈利（總收入超過總支出）？（2）該奶茶店在若干年后要賣出該冰淇淋設備，有以下兩種方案：①當盈利總額達到最大值時，以1萬元的價格賣出該設備；②當年均盈利達到最大值時，以2萬元的價格賣出該設備.試問哪一種方案較為劃算？請說明理由.解：（1）由題意可知，總收入扣除支出后的純收入，，解得，由，所以從第三年開始盈利.（2）方案①：純收入，則5年后盈利總額達到最大值9萬元，以1萬元的價格賣出該設備，共盈利10萬元；方案②：年均盈利，由，，當且僅當，即時等號成立，，當4年后年均盈利達到最大值2萬元時，以2萬元的價格賣出該設備，共盈利萬元.兩種方案盈利總數(shù)一樣，但方案②時間短，較為劃算.19.已知函數(shù)，且.（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若，試判斷函數(shù)的單調性.并求使不等式在R上恒成立的的取值范圍；（3）若，且在上的最小值為，求的值.解：（1）函數(shù)的定義域為R，，所以函數(shù)是奇函數(shù).（2）由，，得，則，顯然函數(shù)，在R上單調遞增，因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，不等式，則，，，于是，當且僅當時取等號，因此，所以的取值范圍是.（3）由，得，而，解得，則，，令，由（2）知，函數(shù)是R上的增函數(shù)，當時，，，當時，函數(shù)在上單調遞增，當時，，解得與矛盾；當時，時，，則，所以.浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的．1.已知集合，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】，.故選：C.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調遞減的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A選項，的定義域為，故，故為偶函數(shù)，A錯誤；B選項，畫出的圖象，滿足既是奇函數(shù)又在0,+∞上單調遞減，B正確；C選項，的定義域為R，且，故為偶函數(shù)，C錯誤；D選項，在0,+∞上單調遞增，D錯誤.故選：B.3.設命題p：，（其中m為常數(shù)），則“命題p為真命題”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由命題p為真命題，得，解得，顯然，所以“命題p為真命題”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由為偶函數(shù)可排除A，C；當時，圖象高于圖象，即，排除B.故選：D．5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在上分別為增函數(shù)，減函數(shù)，增函數(shù)，故，.故選：A.6.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則函數(shù)的圖像過定點（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得且，解得，，令得，此時，故的圖像過定點.故選：A.7.若函數(shù)對于任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對任意的正實數(shù)、，當時，，不妨設，則，即，所以，函數(shù)為0,+∞上的增函數(shù)，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.8.已知，，且，則的最小值為（）A.9 B.10 C.11 D.13【答案】D【解析】，且，故，當且僅當，即時，等號成立.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于選項A：因為，又因為，則，可得，所以，故A錯誤；對于選項B：因為，又因為，則，可得，所以，故B正確；對于選項C：因為，又因為，則，可得，所以，故C錯誤；對于選項D：因為，所以，故D正確.故選：BD.10.下列說法中正確的有（）A.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.函數(shù)和函數(shù)表示同一個函數(shù)C.函數(shù)的值域為D.函數(shù)滿足，則【答案】ACD【解析】A選項，令，解得，故函數(shù)的定義域為，A正確；B選項，的定義域為，的定義域為R，兩函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù)，B錯誤；C選項，令，故，故，，因為，所以在上單調遞增，故，函數(shù)的值域為，C正確；D選項，滿足①，故②，聯(lián)立①②得，D正確.故選：ACD.11.函數(shù)在，上有定義，若對任意，，，有，則稱在，上具有性質．設在，上具有性質，下列命題正確有A.在，上的圖象是連續(xù)不斷的B.在，上具有性質C.若在處取得最大值1，則，，D.對任意，，，，，有【答案】CD【解析】對A，反例在，上滿足性質，但在，上不是連續(xù)函數(shù)，故A不成立；對B，反例在，上滿足性質，但在，上不滿足性質，故B不成立；對C：在，上，，，故，對任意的，，，，故C成立；對D，對任意，，，，，有，，故D成立．故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域為________．【答案】且【解析】根據(jù)題意得到，且，解得且.13.已知不等式的解集為，則________，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為________.【答案】【解析】因為不等式的解集為，所以和是方程的兩個根，且，根據(jù)韋達定理，對于方程，有，，解得，，此時函數(shù)，要使函數(shù)有意義，則，解得，令，則，在上單調遞增，對于，其對稱軸為，所以在上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的原則，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.14.已知函數(shù)，若，，滿足，記，則的取值范圍為________．【答案】【解析】因為的圖象是將在軸下方部分沿軸翻折得到的.滿足，則直線在如圖所示兩條虛線間上下平移.令，即，解得或.令時，解得.令，即，解得或.令時，解得.畫出草圖如下：由，，知，，，又因為，由函數(shù)的對稱性，此兩點關于對稱，則.令，則，，則，，，對稱軸為，則在單調遞減..則的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.計算：（1）；（2）已知，求的值．解：（1）．（2）由，則有，，所以原式.16.已知函數(shù)的圖象過點和．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間0,+∞上的單調性，并用單調性的定義證明.解：（1）根據(jù)題意函數(shù)的圖象過點和，則，，解得，，則.（2）函數(shù)在0,+∞上單調遞減，證明：任取，，設，則，又因為，則，，，，則；所以，故函數(shù)在0,+∞上為減函數(shù).17.已知集合，.（1）當時，求；（2）已知“”是“”的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1），得，所以.，當時，，.（2）因為“”是“”的必要條件，所以.當時，，不符合題意；當，即時，，符合題意；當時，，所以，解得.綜上所述：.18.某奶茶店今年年初花費16萬元購買了一臺制作冰淇淋的設備，經估算，該設備每年可為該奶茶店提供12萬元的總收入.已知使用x年（x為正整數(shù)）所需的各種維護費用總計為萬元（今年為第一年）.（1）試問：該奶茶店第幾年開始盈利（總收入超過總支出）？（2）該奶茶店在若干年后要賣出該冰淇淋設備，有以下兩種方案：①當盈利總額達到最大值時，以1萬元的價格賣出該設備；②當年均盈利達到最大值時，以2萬元的價格賣出該設備.試問哪一種方案較為劃算？請說明理由.解：（1）由題意可知，總收入扣除支出后的純收入，，解得，由，所以從第三年開始盈利.（2）方案①：純收入，則5年后盈利總額達到最大值9萬元，以1萬元的價格賣出該設備，共盈利10萬元；方案②：年均盈利，由，，當且僅當，即時等號成立，，當4年后年均盈利達到最