2024屆河南省部分重點高中高三普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（期末聯(lián)考）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省部分重點高中2024屆高三普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（期末聯(lián)考）數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.7【答案】B【解析】由題意可得，故的真子集的個數(shù)為．故選：B．2.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】因，則，所以，故，故A正確.故選：A．3.已知單位向量的夾角為，則（）A.9 B. C.10 D.【答案】B【解析】由題意可得，故.故選：B.4.據(jù)科學研究表明，某種玫瑰花新鮮程度y與其花朵凋零時間t（分鐘）（在植物學上t表示從花朵完全綻放時刻開始到完全凋零時刻為止所需的時間）近似滿足函數(shù)關系式：（b為常數(shù)），若該種玫瑰花在凋零時間為10分鐘時的新鮮程度為，則當該種玫瑰花新鮮程度為時，其凋零時間約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.3分鐘 B.30分鐘 C.33分鐘 D.35分鐘【答案】C【解析】由題意得，則，令，即，解得．故選：C．5.已知某圓臺的體積為，其上、下底面圓的面積之比為且周長之和為，則該圓臺的高為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】設上、下底面圓的半徑分別為r，R，圓臺的高為h，則由題意可得，解得，則，解得．故選：D．6.已知拋物線，過點且斜率為的直線l交C于M，N兩點，且，則C的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設，，直線，聯(lián)立得，則，，又l經過C的焦點，則，解得，故的準線方程為．故選：D．7.已知數(shù)列是單調遞增數(shù)列，，，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得，由于數(shù)列為單調遞增數(shù)列，即，，整理得，令，則，，所以數(shù)列單調遞減，故是數(shù)列的最大項，則的取值范圍為，故C正確.故選：C．8.已知離散型隨機變量X的分布列如下，則的最大值為（）X012PaA. B. C. D.1【答案】C【解析】，故，易得，，則，故，，又因為，所以．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某高中從本校的三個年級中隨機調查了五名同學關于生命科學科普知識的掌握情況，五名同學的成績如下：84，72，68，76，80，則（）A.這五名同學成績的平均數(shù)為78 B.這五名同學成績的中位數(shù)為74C.這五名同學成績的上四分位數(shù)為80 D.這五名同學成績的方差為32【答案】CD【解析】A選項，這五名同學成績的平均數(shù)為，A錯誤；B選項，將五名同學的成績按從小到大排列：68，72，76，80，84，則這五名同學成績的中位數(shù)為76，B錯誤；C選項，，故成績從小到大排列后，第4個數(shù)即為上四分位數(shù)，即80，C正確；D選項，五名同學成績的方差為，D正確．故選:CD．10.已知正實數(shù)a，b滿足，則可能取值為（）A.2 B.C. D.4【答案】BD【解析】由題意可得，令，由于，則，，由于對勾函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，所以，，故，所以．故選：BD．11.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，，，點M的軌跡為，則（）A.為中心對稱圖形B.M到直線距離的最大值為5C.若線段上的所有點均在中，則最大為D.使成立的M點有4個【答案】ABC【解析】由題可得，故點M在以A為圓心、半徑分別為1，2的兩圓之間（包含邊界），為內徑為1，外徑為2的圓環(huán)，A正確；直線過定點，故M到直線的距離最大時為M與點的距離，則，B正確；當恰與圓相切時，最大，此時直線與y軸重合，故，C正確；，則直線：或，直線與直線有無數(shù)點在上，故符合的M點有無數(shù)個，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中含的項的系數(shù)為______．【答案】1120【解析】的展開式的通項為，故令可得含項的系數(shù)為．故答案為：.13.已知，則______．【答案】【解析】由，可得，故.故答案為：.14.三個相似的圓錐的體積分別為，，，側面積分別為，，，且，，則實數(shù)的最大值為______．【答案】【解析】設三個圓錐的高分別為，，．母線與軸線的夾角為，則，由，得，則，由可得，則，則令，，得，令，解得；令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，故．故答案為：四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，研究函數(shù)在上的單調性和零點個數(shù)．解：（1）當時，，則，則，，所以曲線在點處的切線方程為．（2）當時，，則，當時，，，，則，故在上單調遞增．又因為，所以在上的零點個數(shù)為．16.2024年由教育部及各省教育廳組織九省聯(lián)考于1月19日開考，全程模擬高考及考后的志愿填報等．某高中分別隨機調研了名男同學和名女同學對計算機專業(yè)感興趣的情況，得到如下列聯(lián)表．對計算機專業(yè)感興趣對計算機專業(yè)不感興趣合計男同學女同學合計（1）完善以上的列聯(lián)表，并判斷根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校學生是否對計算機專業(yè)感興趣與性別有關；（2）將樣本的頻率作為概率，現(xiàn)從全校的學生中隨機抽取名學生，求其中對計算機專業(yè)感興趣的學生人數(shù)的期望和方差．附：，其中．解：（1）完善列聯(lián)表如下：對計算機專業(yè)感興趣對計算機專業(yè)不感興趣合計男同學401050女同學302050合計7030100則，故根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，不能認為該校學生是否對計算機專業(yè)感興趣與性別有關．（2）由（1）知，對計算機專業(yè)感興趣的樣本頻率為，設抽取的30名學生中對計算機專業(yè)感興趣的學生的人數(shù)為X，所以隨機變量，故，．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，且，為等邊三角形，平面平面直線．（1）證明：平面；（2）若與平面的夾角為，求四棱錐的體積．證明：（1）由題可知，平面，平面，平面．又平面，平面平面，．又平面，平面，平面．解：（2）以為原點，平面內垂直于的直線為軸，所在直線為軸，垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設等腰梯形的高為，則，，，，，則，，設為平面的法向量，則，即，令得為平面的一個法向量．又，則可得直線的一個平行向量，設為與平面的夾角，由，解得．．18.已知橢圓的左、右頂點分別為A、B，且，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若E，F(xiàn)為橢圓C上異于A，B的兩個不同動點，且直線與的斜率滿足，證明：直線恒過定點．解：（1）由題意可得，則，又點在C上，所以，解得，故橢圓C的標準方程為．證明：（2）由（1）可得，，，易知直線與直線的斜率一定存在且不為0，設直線的方程為，直線的方程為．由得，所以，故，則，故．由得，所以，故，則，故．若直線過定點，則根據(jù)橢圓的對稱性可知直線所過定點必在x軸上，設定點為．則，即，所以，化簡可得，故，即直線過定點．19.三階行列式是解決復雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如下：若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，，為單位正交基底.以為坐標原點、分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，已知，是空間直角坐標系中異于的不同兩點（1）①若，，求；②證明.（2）記的面積為，證明：.（3）證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的倍.解：（1）①因為，，則；②證明：設，，則，將與互換，與互換，與互換，可得，故；證明：（2）因為，故，故要證，只需證，即證，由（1），，，故，又，，，則成立，故；證明：（3）由（2），，故，故的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的倍.河南省部分重點高中2024屆高三普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（期末聯(lián)考）數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.7【答案】B【解析】由題意可得，故的真子集的個數(shù)為．故選：B．2.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】因，則，所以，故，故A正確.故選：A．3.已知單位向量的夾角為，則（）A.9 B. C.10 D.【答案】B【解析】由題意可得，故.故選：B.4.據(jù)科學研究表明，某種玫瑰花新鮮程度y與其花朵凋零時間t（分鐘）（在植物學上t表示從花朵完全綻放時刻開始到完全凋零時刻為止所需的時間）近似滿足函數(shù)關系式：（b為常數(shù)），若該種玫瑰花在凋零時間為10分鐘時的新鮮程度為，則當該種玫瑰花新鮮程度為時，其凋零時間約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.3分鐘 B.30分鐘 C.33分鐘 D.35分鐘【答案】C【解析】由題意得，則，令，即，解得．故選：C．5.已知某圓臺的體積為，其上、下底面圓的面積之比為且周長之和為，則該圓臺的高為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】設上、下底面圓的半徑分別為r，R，圓臺的高為h，則由題意可得，解得，則，解得．故選：D．6.已知拋物線，過點且斜率為的直線l交C于M，N兩點，且，則C的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設，，直線，聯(lián)立得，則，，又l經過C的焦點，則，解得，故的準線方程為．故選：D．7.已知數(shù)列是單調遞增數(shù)列，，，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得，由于數(shù)列為單調遞增數(shù)列，即，，整理得，令，則，，所以數(shù)列單調遞減，故是數(shù)列的最大項，則的取值范圍為，故C正確.故選：C．8.已知離散型隨機變量X的分布列如下，則的最大值為（）X012PaA. B. C. D.1【答案】C【解析】，故，易得，，則，故，，又因為，所以．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某高中從本校的三個年級中隨機調查了五名同學關于生命科學科普知識的掌握情況，五名同學的成績如下：84，72，68，76，80，則（）A.這五名同學成績的平均數(shù)為78 B.這五名同學成績的中位數(shù)為74C.這五名同學成績的上四分位數(shù)為80 D.這五名同學成績的方差為32【答案】CD【解析】A選項，這五名同學成績的平均數(shù)為，A錯誤；B選項，將五名同學的成績按從小到大排列：68，72，76，80，84，則這五名同學成績的中位數(shù)為76，B錯誤；C選項，，故成績從小到大排列后，第4個數(shù)即為上四分位數(shù)，即80，C正確；D選項，五名同學成績的方差為，D正確．故選:CD．10.已知正實數(shù)a，b滿足，則可能取值為（）A.2 B.C. D.4【答案】BD【解析】由題意可得，令，由于，則，，由于對勾函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，所以，，故，所以．故選：BD．11.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，，，點M的軌跡為，則（）A.為中心對稱圖形B.M到直線距離的最大值為5C.若線段上的所有點均在中，則最大為D.使成立的M點有4個【答案】ABC【解析】由題可得，故點M在以A為圓心、半徑分別為1，2的兩圓之間（包含邊界），為內徑為1，外徑為2的圓環(huán)，A正確；直線過定點，故M到直線的距離最大時為M與點的距離，則，B正確；當恰與圓相切時，最大，此時直線與y軸重合，故，C正確；，則直線：或，直線與直線有無數(shù)點在上，故符合的M點有無數(shù)個，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中含的項的系數(shù)為______．【答案】1120【解析】的展開式的通項為，故令可得含項的系數(shù)為．故答案為：.13.已知，則______．【答案】【解析】由，可得，故.故答案為：.14.三個相似的圓錐的體積分別為，，，側面積分別為，，，且，，則實數(shù)的最大值為______．【答案】【解析】設三個圓錐的高分別為，，．母線與軸線的夾角為，則，由，得，則，由可得，則，則令，，得，令，解得；令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，故．故答案為：四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，研究函數(shù)在上的單調性和零點個數(shù)．解：（1）當時，，則，則，，所以曲線在點處的切線方程為．（2）當時，，則，當時，，，，則，故在上單調遞增．又因為，所以在上的零點個數(shù)為．16.2024年由教育部及各省教育廳組織九省聯(lián)考于1月19日開考，全程模擬高考及考后的志愿填報等．某高中分別隨機調研了名男同學和名女同學對計算機專業(yè)感興趣的情況，得到如下列聯(lián)表．對計算機專業(yè)感興趣對計算機專業(yè)不感興趣合計男同學女同學合計（1）完善以上的列聯(lián)表，并判斷根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校學生是否對計算機專業(yè)感興趣與性別有關；（2）將樣本的頻率作為概率，現(xiàn)從全校的學生中隨機抽取名學生，求其中對計算機專業(yè)感興趣的學生人數(shù)的期望和方差．附：，其中．解：（1）完善列聯(lián)表如下：對計算機專業(yè)感興趣對計算機專業(yè)不感興趣合計男同學401050女同學302050合計7030100則，故根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，不能認為該校學生是否對計算機專業(yè)感興趣與性別有關．（2）由（1）知，對計算機專業(yè)感興趣的樣本頻率為，設抽取的30名學生中對計算機專業(yè)感興趣的學生的人數(shù)為X，所以隨機變量，故，．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，且，為等邊三角形，平面平面直線．（1）證明：平面；（2）若與平面的夾角為，求四棱錐的體積．證明：（1）由題可知，平面，平面，平面．又平面，平面平面，．又平面，平面，平面．解：（2）以為原點，平面內垂直于的直線為軸，所在直線為軸