2024屆浙江省溫州市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省溫州市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)（其中i為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C.3 D.5【答案】B【解析】因，則.故選：B.2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，解得，所以，又由不等式，解得，所以.故選：A.3.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】畫出函數(shù)，的圖象，若方程在上有兩個(gè)不同的根，，由圖可知.故選：C4.已知x，，則“”是“”的（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】A【解析】設(shè)，則，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，則，即，充分性成立；當(dāng)時(shí)，有，得，所以不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.6名同學(xué)排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有（）A.72種 B.144種 C.216種 D.256種【答案】B【解析】先將丙與丁看成一“個(gè)”人，與除甲和乙之外的另外兩個(gè)人留下4個(gè)空，在其中選2個(gè)給甲和乙，有種方法；再考慮丙丁這“個(gè)”人和另兩個(gè)人進(jìn)行全排，有種排法；最后將丙丁“松綁”，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同排法數(shù)為：種.故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以.故選：D7.《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，則堆放的米約有（）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，故米堆的體積（立方尺）．1斛米體積約為1.62立方尺，故（斛）.故選：B.8.已知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線均經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程分別為，因?yàn)榍芯€均過原點(diǎn)，所以，即，得，故AB錯(cuò)誤；由，得，畫出函數(shù)與圖象，如圖，設(shè)，如上圖易知：，由正切函數(shù)圖象性質(zhì)，得，即，又，所以，即，解得，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C二、選擇題：本題共3小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知函數(shù)，則（）A.不等式的解集是B.，都有C.是R上的遞減函數(shù)D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【解析】A：，由，得，即，得，解得，即原不等式的解集為，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：，所以在R上單調(diào)遞減不成立，故C錯(cuò)誤；D：由知，即函數(shù)的值域?yàn)?，故D正確.故選：AD10.某企業(yè)協(xié)會(huì)規(guī)定：企業(yè)員工一周7天要有一天休息，另有一天的工作時(shí)間不超過4小時(shí)，且其余5天的工作時(shí)間均不超過8小時(shí)（每天的工作時(shí)間以整數(shù)小時(shí)計(jì)），則認(rèn)為該企業(yè)“達(dá)標(biāo)”．請根據(jù)以下企業(yè)上報(bào)的一周7天的工作時(shí)間的數(shù)值特征，判斷其中無法確?！斑_(dá)標(biāo)”的企業(yè)有（）A.甲企業(yè)：均值為5，中位數(shù)為8B.乙企業(yè)：眾數(shù)為6，中位數(shù)為6C.丙企業(yè)：眾數(shù)和均值均為5，下四分位數(shù)為4，上四分位數(shù)為8D.丁企業(yè)：均值為5，方差為6【答案】ABD【解析】甲企業(yè)每周7天的工作時(shí)間可以為：9,8,8,8,2,0,0，滿足均值為5，中位數(shù)為8，故不達(dá)標(biāo)，故A正確；乙企業(yè)：眾數(shù)為6，中位數(shù)為6，滿足條件的7天工作時(shí)間可以為：6,6,6,6,6,6,6,故不達(dá)標(biāo)，故B正確；丙企業(yè)：眾數(shù)和均值均為5，下四分位數(shù)為4，上四分位數(shù)為8，設(shè)7天的工作時(shí)間為：4,5,5,8,a,b,c,,與眾數(shù)矛盾，，為使眾數(shù)為5，成立，故丙企業(yè)達(dá)標(biāo)，故C錯(cuò)誤；丁企業(yè)：均值為5，方差為6，7天的工作時(shí)間可以為，故D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列滿足，，若，，，則的值可能為（）A.－1 B.2 C. D.－2【答案】BCD【解析】A：當(dāng)時(shí)，，得，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，則，不符合題意，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，得，所以，符合題意，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，，得，所以，符合題意，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，，得，所以，符合題意，故D正確.故選：BCD三、填空題：本大題共3小題，把答案填在題中的橫線上．12.若，則______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，.故答案為：13.已知圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)A，B，的圓的方程為______．【答案】【解析】設(shè)，由解得，可得，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B，的圓的方程為，所以，解得，即，可得.故答案為：.14.已知四棱錐的底面為邊長為1的菱形且，平面ABCD，且，M，N分別為邊PB和PD的中點(diǎn)，平面，則______，四邊形AMQN的面積等于______．【答案】；【解析】過點(diǎn)A作AB的垂線AE，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由題意可知，，則，，設(shè)，即，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，因?yàn)槠矫?，所以四點(diǎn)共面，得，即，解得，則，，，此時(shí)；又，所以，則，因?yàn)?，，所以四邊形的面積為.故答案為：；.四．解答題：本大題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，．（1）若不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若的最小值為，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵在上不單調(diào)，∴；（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)a取值范圍為.16.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題知：①，②，②÷①得，，解得，代入①式得，，所以．（2）由（1）知：，所以，所以．17.如圖，以AD所在直線為軸將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到三棱臺，其中，．（1）求證：；（2）若，求直線AD與平面CDF所成角的正弦值．證明：（1）連接BD，DE，設(shè)，則，取AB中點(diǎn)G，連接DG，則四邊形BCDG為正方形，故，得，∴，∴同理可得，，又面BDE，∴面BDE，又面BDE，；解：（2）由（1）知，又∵，∴，由，得．又∵，面ABCD，∴面ABCD，過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)M，連接EM．因面ABCD，所以，又因?yàn)椋颐鍰EM，則面DEM，又面ABE，∴面面ABE．過點(diǎn)D作交EM于點(diǎn)N，連接AN．∴就是直線AD與面ABE所成的線面角．∵面面ADE，∴就是直線AD與面CDF所成的線面角．∵，又，，∴，又，∴，即直線AD與平面CDF所成線面角的正弦值為.18.現(xiàn)有標(biāo)號依次為1，2，…，n的n個(gè)盒子，標(biāo)號為1號的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球．現(xiàn)從1號盒子里取出2個(gè)球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個(gè)球放入3號盒子，…，依次進(jìn)行到從號盒子里取出2個(gè)球放入n號盒子為止．（1）當(dāng)時(shí)，求2號盒子里有2個(gè)紅球的概率；（2）當(dāng)時(shí)，求3號盒子里的紅球的個(gè)數(shù)的分布列；（3）記n號盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，求的期望．解：（1）由題可知2號盒子里有2個(gè)紅球概率為；（2）由題可知可取，，，所以3號盒子里的紅球的個(gè)數(shù)ξ的分布列為123P（3）記為第號盒子有三個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率，則，為第號盒子有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的概率，則，則第號盒子有一個(gè)紅球和三個(gè)白球的概率為，且，化解得，得，而則數(shù)列為等比數(shù)列,首項(xiàng)為，公比為，所以，又由求得：因此．19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到直線l：的距離之比等于．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡W的方程；（2）過直線l上的一點(diǎn)P作軌跡W的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且，①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②求的角平分線與x軸交點(diǎn)Q的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)，根據(jù)題意得：，化簡得：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：；（2）①，切線方程為；，代入得：，∵切線，∴，得：（*），設(shè)方程（*）的兩根分別為，，分別為PA，PB的斜率則有，又∵PA，PB的方向向量分別為，，∴，解得：，∴．②由對稱性，不妨取，所以，將代入（*）得：，解得，則，∴，得：，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.浙江省溫州市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)（其中i為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C.3 D.5【答案】B【解析】因，則.故選：B.2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，解得，所以，又由不等式，解得，所以.故選：A.3.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】畫出函數(shù)，的圖象，若方程在上有兩個(gè)不同的根，，由圖可知.故選：C4.已知x，，則“”是“”的（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】A【解析】設(shè)，則，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，則，即，充分性成立；當(dāng)時(shí)，有，得，所以不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.6名同學(xué)排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有（）A.72種 B.144種 C.216種 D.256種【答案】B【解析】先將丙與丁看成一“個(gè)”人，與除甲和乙之外的另外兩個(gè)人留下4個(gè)空，在其中選2個(gè)給甲和乙，有種方法；再考慮丙丁這“個(gè)”人和另兩個(gè)人進(jìn)行全排，有種排法；最后將丙丁“松綁”，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同排法數(shù)為：種.故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以.故選：D7.《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，則堆放的米約有（）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，故米堆的體積（立方尺）．1斛米體積約為1.62立方尺，故（斛）.故選：B.8.已知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線均經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程分別為，因?yàn)榍芯€均過原點(diǎn)，所以，即，得，故AB錯(cuò)誤；由，得，畫出函數(shù)與圖象，如圖，設(shè)，如上圖易知：，由正切函數(shù)圖象性質(zhì)，得，即，又，所以，即，解得，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C二、選擇題：本題共3小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知函數(shù)，則（）A.不等式的解集是B.，都有C.是R上的遞減函數(shù)D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【解析】A：，由，得，即，得，解得，即原不等式的解集為，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：，所以在R上單調(diào)遞減不成立，故C錯(cuò)誤；D：由知，即函數(shù)的值域?yàn)椋蔇正確.故選：AD10.某企業(yè)協(xié)會(huì)規(guī)定：企業(yè)員工一周7天要有一天休息，另有一天的工作時(shí)間不超過4小時(shí)，且其余5天的工作時(shí)間均不超過8小時(shí)（每天的工作時(shí)間以整數(shù)小時(shí)計(jì)），則認(rèn)為該企業(yè)“達(dá)標(biāo)”．請根據(jù)以下企業(yè)上報(bào)的一周7天的工作時(shí)間的數(shù)值特征，判斷其中無法確?！斑_(dá)標(biāo)”的企業(yè)有（）A.甲企業(yè)：均值為5，中位數(shù)為8B.乙企業(yè)：眾數(shù)為6，中位數(shù)為6C.丙企業(yè)：眾數(shù)和均值均為5，下四分位數(shù)為4，上四分位數(shù)為8D.丁企業(yè)：均值為5，方差為6【答案】ABD【解析】甲企業(yè)每周7天的工作時(shí)間可以為：9,8,8,8,2,0,0，滿足均值為5，中位數(shù)為8，故不達(dá)標(biāo)，故A正確；乙企業(yè)：眾數(shù)為6，中位數(shù)為6，滿足條件的7天工作時(shí)間可以為：6,6,6,6,6,6,6,故不達(dá)標(biāo)，故B正確；丙企業(yè)：眾數(shù)和均值均為5，下四分位數(shù)為4，上四分位數(shù)為8，設(shè)7天的工作時(shí)間為：4,5,5,8,a,b,c,,與眾數(shù)矛盾，，為使眾數(shù)為5，成立，故丙企業(yè)達(dá)標(biāo)，故C錯(cuò)誤；丁企業(yè)：均值為5，方差為6，7天的工作時(shí)間可以為，故D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列滿足，，若，，，則的值可能為（）A.－1 B.2 C. D.－2【答案】BCD【解析】A：當(dāng)時(shí)，，得，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，則，不符合題意，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，得，所以，符合題意，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，，得，所以，符合題意，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，，得，所以，符合題意，故D正確.故選：BCD三、填空題：本大題共3小題，把答案填在題中的橫線上．12.若，則______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，.故答案為：13.已知圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)A，B，的圓的方程為______．【答案】【解析】設(shè)，由解得，可得，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，B，的圓的方程為，所以，解得，即，可得.故答案為：.14.已知四棱錐的底面為邊長為1的菱形且，平面ABCD，且，M，N分別為邊PB和PD的中點(diǎn)，平面，則______，四邊形AMQN的面積等于______．【答案】；【解析】過點(diǎn)A作AB的垂線AE，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由題意可知，，則，，設(shè)，即，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，因?yàn)槠矫?，所以四點(diǎn)共面，得，即，解得，則，，，此時(shí)；又，所以，則，因?yàn)?，，所以四邊形的面積為.故答案為：；.四．解答題：本大題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，．（1）若不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若的最小值為，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵在上不單調(diào)，∴；（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)a取值范圍為.16.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題知：①，②，②÷①得，，解得，代入①式得，，所以．（2）由（1）知：，所以，所以．17.如圖，以AD所在直線為軸將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到三棱臺，其中，．（1）求證：；（2）若，求直線AD與平面CDF所成角的正弦值．證明：（1）連接BD，DE，設(shè)，則，取AB中點(diǎn)G，連接DG，則四邊形BCDG為正方形，故，得，∴，∴同理可得，，又面BDE，∴面BDE，又面BDE，；解：（2）由（1）知，又∵，∴，由，得．又∵，面ABCD，∴面ABCD，過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)M，連接EM．因面ABCD，所以，又因?yàn)椋颐鍰EM，則面DEM，又面ABE，∴面面ABE．過點(diǎn)D作交EM于點(diǎn)N，連接AN．∴