2025屆廣東省佛山市順德區(qū)普通高中高三上學期教學質量檢測數(shù)學試題（一）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市順德區(qū)普通高中2025屆高三上學期教學質量檢測數(shù)學試題（一）第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)滿足，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即，解得，所以，又，所以.故選：A.3.“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，由可得，由可得，所以由“，”推得出“”，故充分性成立；由“”推不出“，”，如，，滿足，但是，故必要性不成立；所以“，”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知單位向量，滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C.向量在向量上的投影向量為 D.【答案】D【解析】單位向量，滿足，則，所以，所以，又，所以，故A錯誤；，故B錯誤；因為，所以向量在向量上的投影向量為，故C錯誤；因為，所以，故D正確.

故選：D.5.函數(shù)是（）A.偶函數(shù)，且最小值為－2 B.偶函數(shù)，且最大值為2C.周期函數(shù)，且在上單調遞增 D.非周期函數(shù)，且在上單調遞減【答案】B【解析】定義域為，關于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，又，令，，，當時，即，有最小值，最小值為，當時，即時，有最大值，最大值為2，故A錯誤，故B正確；因為，所以為周期函數(shù)，因為在上單調遞減，在上單調遞減，當，，令，，，在單調遞減，在單調遞增，當，，令，，，在單調遞減，由復合函數(shù)的單調性知，在上先減后增，在上單調遞增；故C，D錯誤，故選：B.6.印度數(shù)學家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴風雨，他看到路邊寫有3025的一塊牌子被劈成了兩半，一半上寫著30，另一半上寫著25.這時，他發(fā)現(xiàn)，，即將劈成兩半的數(shù)加起來，再平方，正好是原來的數(shù)字.數(shù)學家將3025等符合上述規(guī)律的數(shù)字稱之為雷劈數(shù)（或卡普列加數(shù)）.則在下列數(shù)組：92，81，52，40，21，14中隨機選擇兩個數(shù)，其中恰有一個數(shù)是雷劈數(shù)的概率是（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】因為，所以是雷劈數(shù).其余的不是雷劈數(shù).記：“從6個數(shù)中隨機選擇兩個數(shù)，其中恰有一個數(shù)是雷劈數(shù)”為事件，則.故選：C.7.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若，在上，函數(shù)單調遞增，所以；此時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，無最大值，所以；因為函數(shù)的值域為，所以，結合得.若，則的值域為；若，在上，函數(shù)單調遞減，所以（）；在上，函數(shù)單調遞減，在上單調遞增，無最大值，所以；所以函數(shù)的值域不可能為；若，則函數(shù)在上，函數(shù)單調遞減，所以（）；在上，函數(shù)單調遞增，，此時函數(shù)的值域不可能為.綜上可知：當時，函數(shù)的值域為.故選：D.8.記正項數(shù)列的前項積為，已知，若，則的最小值是（）A.999 B.1000 C.1001 D.1002【答案】C【解析】∵為正項數(shù)列的前項積，，∴當時，，時，，又，∴，即，∴是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，且.由，得若，則，∴所以，正整數(shù)的最小值為1001.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)為：；乙組數(shù)據(jù)為：，若甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標準差為，極差為，第百分位數(shù)為，則下列說法一定正確的是（）A.乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 B.乙組數(shù)據(jù)的極差為C.乙組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為 D.乙組數(shù)據(jù)的標準差為【答案】ABC【解析】不妨設甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，則乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，因為甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標準差為，極差為，第百分位數(shù)為，則，又，所以，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；乙組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；乙組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故C正確；乙組數(shù)據(jù)的標準差為，故D錯誤.故選：ABC.10.在三棱臺中，側面是等腰梯形且與底面垂直，，，，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.三棱臺的體積為【答案】ABD【解析】如圖：對于A：在中，,，所以，即.由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于B：因為，，且∽，所以.又三棱錐和高相同，所以，故B正確；對于C：因為，所以，所以，即，故C錯誤；對于D：因為三棱臺的高為1，所以三棱臺的體積為：，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對A：令，則；令，則.所以，故A正確；對B：因為，兩邊求導，得即；因數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，故成立，故B正確；對C：因為，所以，未必為0，故C錯誤；對D：因為，令，則，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則=_____________．【答案】【解析】聯(lián)立，得，因此．13.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為、，過且垂直于軸的直線交橢圓于、兩點，若為等邊三角形，則橢圓【答案】【解析】由題可得：，又為等邊三角形，由橢圓的對稱性可得：，又，計算可得：,，由橢圓定義可得：，整理得：，所以．14.現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學，各自寫了一封信，然后都投到同一個郵箱里.若甲、乙、丙3位同學分別從郵箱里隨機抽取一封信，則這3位同學抽到的都不是自己寫的信的不同取法種數(shù)是__________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】設甲、乙、丙位同學的信件分別為、、，若、、都沒有取到，則有種不同的取法；若、、取到一個，則有種不同的取法；若、、取到兩個，則有種不同的取法；若、、取到三個，則有種不同的取法；綜上可得一共有種不同的取法.四、解答題：本大題共5小題，滿分77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角，，所對的邊分別為，，，且，.（1）求的面積；（2）若，求.解：（1）因為，，由正弦定理可得，所以，所以；（2）因為，又，，所以，所以，則，由正弦定理可得，又，所以，顯然，所以，則，又，所以.16.如圖，四棱錐的底面是正方形，且，.四棱錐的體積為.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取的中點，連接，因為，，所以，又四棱錐的底面是正方形，所以，設到平面的距離為，則，所以，所以，即平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中點，連接，則，即，如圖建立空間直角坐標系，則P0,0,1，，，所以，，設平面的法向量為，則，取，又平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）若函數(shù)存在兩個零點，，且，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，，則，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2）函數(shù)的定義域為，且，當時，恒成立，所以在上單調遞增；當時，則當或時，當時，所以在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，則當或時，當時，所以在，上單調遞增，在上單調遞減；綜上可得，當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.（3）因為，必有一個零點為，由（1）可得，當時只有一個零點，不符合題意；當時，，上單調遞增，在上單調遞減，顯然，當時，則，，，所以，所以在上存在一個零點，此時有兩個零點，（不妨令），且，，即，滿足；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減，所以在不存在零點，且一個零點為，則另一零點不可能大于，此時不滿足，故舍去；綜上可得實數(shù)的取值范圍為.18.密室逃脫是當下非常流行的解壓放松游戲，現(xiàn)有含甲在內的7名成員參加密室逃脫游戲，其中3名資深玩家，4名新手玩家，甲為新手玩家.（1）在某個游戲環(huán)節(jié)中，需隨機選擇兩名玩家進行對抗，若是同級的玩家對抗，雙方獲勝的概率均為；若是資深玩家與新手玩家對抗，新手玩家獲勝的概率為，求在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率；（2）甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲：如圖，有兩間相連的密室，設兩間密室的編號分別為①和②.密室①有2個門，密室②有3個門（每個門都可以雙向開），甲在每個密室隨機選擇1個門出去，若走出密室則挑戰(zhàn)成功.若甲的初始位置為密室①，設其挑戰(zhàn)成功所出的密室號為，求的分布列.解：（1）7人中隨機選擇2人，共有種情況，其中含甲的情況有種，6種情況中，甲和資深玩家對抗的情況有3種，和同級的玩家對抗情況有3種，則甲和資深玩家對抗并獲勝的概率為，和同級的玩家對抗并獲勝的概率為，故在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率為；（2）設為甲在密室①，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，為甲在密室②，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，考慮，需考慮甲直接從號門走出密室或者進入密室②且最終從密室①走出密室，故①，考慮，則甲從號門進行密室①，且從密室①走出密室，故②，聯(lián)立①②，可得，所以，故，故分布列如下：1219.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，（i）當，時，求證：；（ii）求.解：（1）當時，.當時，，，兩式相減得：.所以是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以.當時，上式也成立.所以數(shù)列的通項公式為：（2）由題意：，（i）當，時，，，.因為，因為，所以，所以：.（ii）因為，所以.，所以設，則兩式相減得：，所以.即.廣東省佛山市順德區(qū)普通高中2025屆高三上學期教學質量檢測數(shù)學試題（一）第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)滿足，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即，解得，所以，又，所以.故選：A.3.“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，由可得，由可得，所以由“，”推得出“”，故充分性成立；由“”推不出“，”，如，，滿足，但是，故必要性不成立；所以“，”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知單位向量，滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C.向量在向量上的投影向量為 D.【答案】D【解析】單位向量，滿足，則，所以，所以，又，所以，故A錯誤；，故B錯誤；因為，所以向量在向量上的投影向量為，故C錯誤；因為，所以，故D正確.

故選：D.5.函數(shù)是（）A.偶函數(shù)，且最小值為－2 B.偶函數(shù)，且最大值為2C.周期函數(shù)，且在上單調遞增 D.非周期函數(shù)，且在上單調遞減【答案】B【解析】定義域為，關于原點對稱，，所以為偶函數(shù)，又，令，，，當時，即，有最小值，最小值為，當時，即時，有最大值，最大值為2，故A錯誤，故B正確；因為，所以為周期函數(shù)，因為在上單調遞減，在上單調遞減，當，，令，，，在單調遞減，在單調遞增，當，，令，，，在單調遞減，由復合函數(shù)的單調性知，在上先減后增，在上單調遞增；故C，D錯誤，故選：B.6.印度數(shù)學家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴風雨，他看到路邊寫有3025的一塊牌子被劈成了兩半，一半上寫著30，另一半上寫著25.這時，他發(fā)現(xiàn)，，即將劈成兩半的數(shù)加起來，再平方，正好是原來的數(shù)字.數(shù)學家將3025等符合上述規(guī)律的數(shù)字稱之為雷劈數(shù)（或卡普列加數(shù)）.則在下列數(shù)組：92，81，52，40，21，14中隨機選擇兩個數(shù)，其中恰有一個數(shù)是雷劈數(shù)的概率是（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】因為，所以是雷劈數(shù).其余的不是雷劈數(shù).記：“從6個數(shù)中隨機選擇兩個數(shù)，其中恰有一個數(shù)是雷劈數(shù)”為事件，則.故選：C.7.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若，在上，函數(shù)單調遞增，所以；此時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，無最大值，所以；因為函數(shù)的值域為，所以，結合得.若，則的值域為；若，在上，函數(shù)單調遞減，所以（）；在上，函數(shù)單調遞減，在上單調遞增，無最大值，所以；所以函數(shù)的值域不可能為；若，則函數(shù)在上，函數(shù)單調遞減，所以（）；在上，函數(shù)單調遞增，，此時函數(shù)的值域不可能為.綜上可知：當時，函數(shù)的值域為.故選：D.8.記正項數(shù)列的前項積為，已知，若，則的最小值是（）A.999 B.1000 C.1001 D.1002【答案】C【解析】∵為正項數(shù)列的前項積，，∴當時，，時，，又，∴，即，∴是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，且.由，得若，則，∴所以，正整數(shù)的最小值為1001.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)為：；乙組數(shù)據(jù)為：，若甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標準差為，極差為，第百分位數(shù)為，則下列說法一定正確的是（）A.乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 B.乙組數(shù)據(jù)的極差為C.乙組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為 D.乙組數(shù)據(jù)的標準差為【答案】ABC【解析】不妨設甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，則乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，因為甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標準差為，極差為，第百分位數(shù)為，則，又，所以，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；乙組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；乙組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故C正確；乙組數(shù)據(jù)的標準差為，故D錯誤.故選：ABC.10.在三棱臺中，側面是等腰梯形且與底面垂直，，，，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.三棱臺的體積為【答案】ABD【解析】如圖：對于A：在中，,，所以，即.由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于B：因為，，且∽，所以.又三棱錐和高相同，所以，故B正確；對于C：因為，所以，所以，即，故C錯誤；對于D：因為三棱臺的高為1，所以三棱臺的體積為：，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對A：令，則；令，則.所以，故A正確；對B：因為，兩邊求導，得即；因數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，故成立，故B正確；對C：因為，所以，未必為0，故C錯誤；對D：因為，令，則，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則=_____________．【答案】【解析】聯(lián)立，得，因此．13.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為、，過且垂直于軸的直線交橢圓于、兩點，若為等邊三角形，則橢圓【答案】【解析】由題可得：，又為等邊三角形，由橢圓的對稱性可得：，又，計算可得：,，由橢圓定義可得：，整理得：，所以．14.現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學，各自寫了一封信，然后都投到同一個郵箱里.若甲、乙、丙3位同學分別從郵箱里隨機抽取一封信，則這3位同學抽到的都不是自己寫的信的不同取法種數(shù)是__________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】設甲、乙、丙位同學的信件分別為、、，若、、都沒有取到，則有種不同的取法；若、、取到一個，則有種不同的取法；若、、取到兩個，則有種不同的取法；若、、取到三個，則有種不同的取法；綜上可得一共有種不同的取法.四、解答題：本大題共5小題，滿分77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角，，所對的邊分別為，，，且，.（1）求的面積；（2）若，求.解：（1）因為，，由正弦定理可得，所以，所以；（2）因為，又，，所以，所以，則，由正弦定理可得，又，所以，顯然，所以，則，又，所以.16.如圖，四棱錐的底面是正方形，且，.四棱錐的體積為.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取的中點，連接，因為，，所以，又四棱錐的底面是正方形，所以，設到平面的距離為，則，所以，所以，即平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中點，連接，則，即，如圖建立空間直角坐標系，則P0,0,1，，，所以，，設平面的法向量為，則，取，又平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）若函數(shù)存在兩個零點，，且，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，，則，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2）函數(shù)的定義域為，且，當時，恒成立，所以在上單調遞增；當時，則當或時，當時，所以在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，則當或時，當時，所以在，上單調遞增，在上單調遞減；綜上可得，當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.（3）因為，必有一個零點為，由（1）可得，當時只有一個零點，不符合題意；當時，，上單調遞增，在上單調遞減，顯然，當時，則，，，所以，所以在上存在一個零點，此時有兩個零點，（不妨令