2025屆河北省滄衡名校聯(lián)盟高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省滄衡名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題意可得，解得．故選：B.2.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，當(dāng)時，不滿足，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，因?yàn)椋?，所以，則，故C正確；對于D，當(dāng)時，不滿足，故D錯誤.故選：C.3.在等比數(shù)列中，，則（）A B.81 C. D.243【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得，所以.故選：D4.甲、乙、丙三人進(jìn)入某比賽的決賽，若該比賽的冠軍只有1人，則“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若甲是冠軍，則乙不是冠軍；若乙不是冠軍，則甲是冠軍或丙是冠軍，所以“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的充分不必要條件.故選：B5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以解得，所?故選：A6.溶液的酸堿度是用來衡量溶液酸堿性強(qiáng)弱程度的一個指標(biāo)，在化學(xué)中，常用值來表示溶液的酸堿度．的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．已知A溶液中氫離子的濃度是0.135摩爾/升，則A溶液的值約為（參考數(shù)據(jù)：，）A.0.268 B.0.87 C.1.13 D.1.87【答案】B【解析】由題意得..故選：B7.如圖，AB是圓O的一條直徑，CD是圓O的一條弦，點(diǎn)P在線段CD上，若，，則的最小值是（）A41 B.50 C.82 D.100【答案】C【解析】如圖，連接.由題意得是線段的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以圓心到直線的距離，所以，所以，故的最小值是82.故選：C.8.已知函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，由在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，得，解得，所以的取值范圍是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，所以，故A正確，B錯誤；因?yàn)椋?，故C正確.因?yàn)椋栽趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D正確．故選：ACD.10.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的外接圓的面積是C.的面積的最大值是 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)錯誤．對于B項(xiàng)，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則的外接圓的面積是，故B項(xiàng)正確．對于C項(xiàng)，由余弦定理可得，即①．因?yàn)棰?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以由①②得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的面積，則C項(xiàng)正確．對于D項(xiàng)，由正弦定理可得，則，，所以又因?yàn)?，所以，所以，所以，即取值范圍是，故D項(xiàng)正確．故選：BCD.11.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D.當(dāng)時，【答案】ACD【解析】在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，對于A，由，得，A正確；對于B，，，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，B錯誤；對于C，由，得，則，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，C正確；對于D，，當(dāng)時，，設(shè)，則，于是，因此，所以，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，．，若，則___________．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，所以，解?13.正偶數(shù)排列如圖所表示第行第個數(shù)，如，若，則___________．【答案】【解析】由圖形可知，是圖形中第個數(shù)，由題意可知第行有個數(shù)，則前行一共有個數(shù).當(dāng)時，，當(dāng)時，，則2024在第45行，即.因?yàn)椋?，則.14.已知函數(shù)，若對任意的成立，則正數(shù)的取值范圍是______【答案】【解析】由，即，得.因?yàn)?，所?設(shè)，則.因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以，所以，所?設(shè)，則.由，得，則在上單調(diào)遞減；由，得，則在上單調(diào)遞增.故，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求的大??；（2）若，且的面積是，求的值．解：（1）因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，又，所?（2）因?yàn)榈拿娣e是，所以，解得.由余弦定理可得，又，即，則，即，故.16.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍．解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.（2）設(shè)過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，由（1）知，則切線斜率，切線方程為，而切線過點(diǎn)，則，即令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)，求導(dǎo)得，由，得或；由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極大值，在時，取得極小值，當(dāng)，即時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)，因此當(dāng)時，過點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以的取值范圍為.17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)椋援?dāng)時，，所以，即.當(dāng)時，，解得，則是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故．（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，.綜上，.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，則.因?yàn)?，且，所?由圖可知，則，解得.因?yàn)椋?由圖可知，解得.故.（2）令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時，取得最小值.因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，所以，即，解得，故的取值范圍是?9.若存在有限個，使得，且不是偶函數(shù)，則稱為“缺陷偶函數(shù)”，稱為的偶點(diǎn).（1）證明：為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點(diǎn)唯一.（2）對任意x，，函數(shù)，都滿足.①若是“缺陷偶函數(shù)”，證明：函數(shù)有2個極值點(diǎn).②若，證明：當(dāng)時，.參考數(shù)據(jù)：，.解：（1）由可得，由可得，解得，所以為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點(diǎn)唯一，且為0，（2）由可得對任意x，，恒成立，所以存常數(shù)，使得,令，則，且，解得，①，則，由于是“缺陷偶函數(shù)”，故，即，即，則，得，，由于，所以有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以有兩個極值點(diǎn).②若，即，則，故，當(dāng)時，要證，只需要證.，因?yàn)椋?，只需證，令，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，故，所以，從而，故，時，得證.河北省滄衡名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題意可得，解得．故選：B.2.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，當(dāng)時，不滿足，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，因?yàn)椋?，所以，則，故C正確；對于D，當(dāng)時，不滿足，故D錯誤.故選：C.3.在等比數(shù)列中，，則（）A B.81 C. D.243【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得，所以.故選：D4.甲、乙、丙三人進(jìn)入某比賽的決賽，若該比賽的冠軍只有1人，則“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若甲是冠軍，則乙不是冠軍；若乙不是冠軍，則甲是冠軍或丙是冠軍，所以“甲是冠軍”是“乙不是冠軍”的充分不必要條件.故選：B5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以解得，所?故選：A6.溶液的酸堿度是用來衡量溶液酸堿性強(qiáng)弱程度的一個指標(biāo)，在化學(xué)中，常用值來表示溶液的酸堿度．的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．已知A溶液中氫離子的濃度是0.135摩爾/升，則A溶液的值約為（參考數(shù)據(jù)：，）A.0.268 B.0.87 C.1.13 D.1.87【答案】B【解析】由題意得..故選：B7.如圖，AB是圓O的一條直徑，CD是圓O的一條弦，點(diǎn)P在線段CD上，若，，則的最小值是（）A41 B.50 C.82 D.100【答案】C【解析】如圖，連接.由題意得是線段的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)椋詧A心到直線的距離，所以，所以，故的最小值是82.故選：C.8.已知函數(shù)在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，由在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，得，解得，所以的取值范圍是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，所以，故A正確，B錯誤；因?yàn)椋?，故C正確.因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D正確．故選：ACD.10.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的外接圓的面積是C.的面積的最大值是 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】對于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)錯誤．對于B項(xiàng)，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，則的外接圓的面積是，故B項(xiàng)正確．對于C項(xiàng)，由余弦定理可得，即①．因?yàn)棰?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以由①②得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的面積，則C項(xiàng)正確．對于D項(xiàng)，由正弦定理可得，則，，所以又因?yàn)?，所以，所以，所以，即取值范圍是，故D項(xiàng)正確．故選：BCD.11.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D.當(dāng)時，【答案】ACD【解析】在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，對于A，由，得，A正確；對于B，，，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，B錯誤；對于C，由，得，則，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，C正確；對于D，，當(dāng)時，，設(shè)，則，于是，因此，所以，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，．，若，則___________．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以；因?yàn)椋?，解?13.正偶數(shù)排列如圖所表示第行第個數(shù)，如，若，則___________．【答案】【解析】由圖形可知，是圖形中第個數(shù)，由題意可知第行有個數(shù)，則前行一共有個數(shù).當(dāng)時，，當(dāng)時，，則2024在第45行，即.因?yàn)?，所以，則.14.已知函數(shù)，若對任意的成立，則正數(shù)的取值范圍是______【答案】【解析】由，即，得.因?yàn)?，所?設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，所以，所以，所?設(shè)，則.由，得，則在上單調(diào)遞減；由，得，則在上單調(diào)遞增.故，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求的大??；（2）若，且的面積是，求的值．解：（1）因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，又，所?（2）因?yàn)榈拿娣e是，所以，解得.由余弦定理可得，又，即，則，即，故.16.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍．解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.（2）設(shè)過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，由（1）知，則切線斜率，切線方程為，而切線過點(diǎn)，則，即令，依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)，求導(dǎo)得，由，得或；由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極大值，在時，取得極小值，當(dāng)，即時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)，因此當(dāng)時，過點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以的取值范圍為.17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)椋援?dāng)時，，所以，即.當(dāng)時，，解得，則是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故．（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，.綜上，.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，則.因?yàn)?，且，所?由圖可知，則，解得.因?yàn)椋?由圖可知，解得.故.（2）令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時，取得最小值.因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，所以，即，解得，故的取值范圍是?9.若存在有限個，使得，且不是偶函數(shù)，則稱為“缺陷偶函數(shù)”，