【初中競(jìng)賽資料】初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽班講義35講（學(xué)生版）

初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽班講義

、高次根式及根式方程

二、因式分解（高級(jí)復(fù)習(xí)）

三、分式

四、一元二次方程判別式及其應(yīng)用

五、一元二次方程韋達(dá)定理及其應(yīng)用

六、一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題（復(fù)習(xí)）

七、高次方程

八、二元二次方程組與二元對(duì)稱方程組

九、不等式綜合

十、函數(shù)的性質(zhì)（復(fù)習(xí)鞏固）

十一、二次函數(shù)初步

十二、函數(shù)最值問(wèn)題

十三、三角函數(shù)

十四、解直角三角形

十五、面積問(wèn)題與面積方法

十六、直線型幾何

十七、圓的基本性質(zhì)

十八、兩圓的位置關(guān)系

十九、共圓點(diǎn)問(wèn)題

二十、圓綜合題

二十一、點(diǎn)共線與線共點(diǎn)

二十二、平幾定值問(wèn)題

二十三、平兒最值問(wèn)題

二十四、平幾著名定理

二十五、三角形中的巧合點(diǎn)

二十六、數(shù)論（一）

二十七、數(shù)論（二）

二十八、組合

二十九、反證法

三十、解題思想方法

三十一、數(shù)學(xué)建模初步

三十二、應(yīng)用題

三十三、測(cè)試題

三十四、聯(lián)賽試卷講解（一）

三十五、聯(lián)賽試卷講解（二）

一、高次根式及根式方程

未知數(shù)含在根號(hào)下的方程叫作無(wú)理方程（或根式方程），這是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一些特殊形式的方

程中的一種.解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解,在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的

結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法.常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、設(shè)輔助元素法、利用比例

性質(zhì)法等.本講將通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明這些方法的運(yùn)用.

例1解方程

V3x-3+V5x-19-V2x+8=0.

例2解方程

4X2+2XV3X2+X+X-9=0.

例3解方程

-Vx+Jx+2+2Vx2+2x=4-2x.

例4解方程

瓜+力-1+&-2=g(x+y+z)?

例5解方程

x+/、=2、反

&-1

例6解方程

73X2-2X+9+73X2-2X-4=13.①

例7解方程

V2x2-1+Vx2-3x-2=J2x」+2x+3+Vx2-x+2.

例8解方程

42+x=1-Jx+1.

例9解方程

J,x+2a-Jx_-2a=x

Jx-2a+Jx+2a2a

練習(xí)

1.填空：

(1)方程(父+石X)?+7x2-5=0的根是.

⑵方程Jx?-X+2-2收-27T=3的所有根的和為

(3)方程,限T5+用？-辰玉的根是

(4)若方程后二7有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則p的取值范圍是

(5)若則方程Ja-m+x=x的所有實(shí)根之和等于

2.解方程

7x2+5x-6+73X2-8x+5=3x-3.

3.解方程

2(x+Vx2-1)=(x-1+Vx+I)2?

4.解方程

+6x+2-7x2+x+2=x.

5.解方程

7x2-1+7x2+4x+3=J3x2+4x

6.解關(guān)于x的方程

x+Jl2axVa+1

----------------=---------

x-J12—xVa―1

7.化簡(jiǎn)759+3072+J66-40匹

8,化簡(jiǎn)V10+7V2+V10-7V2

9已知，1<aV3化簡(jiǎn)J/+1+2j2>-2+Ja+1

10.一知x=刎歷+1）-^4（V5-1）,求為3+12%的值

V35+x+V26-x=l

11.解方程:

12.若好3+2亞，夕=3-2也已知a°+6°是一個(gè)正整數(shù)，求它的末尾數(shù)字

13.解方程x=+

二、因式分解（高級(jí)復(fù)習(xí)）

1.提公因式法

2.公式法

3.十字相乘法

4.分組分解法

5.雙十字相乘法

因式分解的方法《

6.換元法

7.主元法

8.拆添項(xiàng)法

9.求根法、因式定理法

10.待定系數(shù)法

下面重點(diǎn)復(fù)習(xí)一些進(jìn)階的方法

1.運(yùn)用公式法

在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式,現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式,例

如：

(l)a2-b2=(a+b)(a-b);

(2)a'±2ab+b=(a±b)2;

(3)a3+b3=(a+b)(a~-ab+bJ);

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：

⑸a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

(6)a:i+b3+c:t-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

(7)an-bn=(a-b)(an-,+an-2b+an_3b2+-+abn_2+bn_l)X+n為正整數(shù);

(8)an-bn=(a+b)(an'-an2b+an3b2—+abn2-b"'),其中n為偶數(shù)；

(9)an+bn=(a+b)(an-l-a,v2b+an-3b2——abF”其中n為奇數(shù).

運(yùn)用公式法分解因式時(shí),要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇

公式.

例1分解因式：

(l)-2x5n-'yn+4x3n-1ynt2-2xn-,ynH;

⑵x3-8y3-z:l-6xyz;

(3)a~+bJ+c2-2bc+2ca-2ab;

⑷a7-a5b2+a2b5-b7.

例2分解因式：a'+b'+c。3abe.

例3分解因式：x1+xl,+xl3+,**+x2+x+l.

2.拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一

項(xiàng),或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零.在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并

或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng),或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng),

前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng).拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解.

例4分解因式：x3-9x+8.

例5分解因式：

(1)x9+x6+x:-3;

(2)(m'-l)(n2-l)+4mn;

(3)(x+D'+Cx-D^Cx-l)1;

(4)a3b-ab3+a2+b2+l.

3.換元法

換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體,并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整

體來(lái)運(yùn)算,從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰.

例6分解因式：(x2+x+l)(X2+X+2)-12.

例7分解因式:

(x2+3x+2)(4X2+8X+3)-90.

例8分解因式:

(X2+4X+8)2+3X(X2+4X+8)+2X2.

例9分解因式：6X4+7X3-36X2-7X+6.

例10分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).

4.雙十字相乘法

分解二次三項(xiàng)式時(shí),我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy、dx+ey+f),我們也

可以用十字相乘法分解因式.

例如I,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降鼎排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變

形為

2x-(5+7y)x-(22y-35y+3),

可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.

對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法,分解為

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解

2x(-lly+1)

所以

原式二[x+(2y-3)][2x+(-lly+l)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述因式分解的過(guò)程,實(shí)施了兩次十字相乘法.如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起,

可得到下圖：

它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式:

(x-2y)(2x-lly)=2x~-7xy-22y\

(x-3)(2x+l)=2xz-5x-3;

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

這就是所謂的雙十字相乘法.

用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey4-f進(jìn)行因式分解的步驟是：

(D用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列.匕要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于

原式中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.

例1分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2;

⑵x2-y2+5x+3y+4;

(3)xy+y2+x-y-2;

⑷6x'-7xy-3y'-xz+7yz-2z\

5.求根法

nn

我們把形如anx+a.-1x-4—+aIx4-afl(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式,并用

f(X),g：x),…等記號(hào)表示，如

f(x)=x-3x+2,g(x)=x5+x2+6,—,

當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)

f(l)=l-3X1+2=0;

f(-2)=(-2)z-3X(-2)+2=12.

若f(a)=0,則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.

定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)二0成立,則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a.

根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根.對(duì)于任意多項(xiàng)式

f(x),要求出它的根是沒(méi)有一般方法的,然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式札經(jīng)

常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根.

定理2

若既約分?jǐn)?shù)目是整系數(shù)多項(xiàng)式

p

n

f(x)=aox+a/n-1+ajK^+'--+a^x+an

的根,則必有p是?的約數(shù),q是a0的約數(shù).特別地,當(dāng)出二1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an

的約數(shù).

我們根據(jù)上述定理,用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式,從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

例2分解因式：xf-4x2+6x-4.

例3分解因式：9X4-3X3+7X2-3X-2.

6.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法,應(yīng)用很廣泛,這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.

在因式分解時(shí):一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某兒個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚

未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù).由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式

恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等,或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值,列出關(guān)于待定系數(shù)的方

程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.

例4分解因式：x1+3xy+2y2+4x+5y+3.

例5分解因式:X-2X-27X2-44X+7.

練習(xí)

1.分解因式:

(1)x%+xn-gy?+；;

⑵x-

3

(3)X4-2x2y2-4xy3+4x3y+y2(4x2+-y2)

(4)(x5+x4+x3+x2+x+l)2-x\

2.分解因式:

(l)x:i+3x2-4;

⑵41口勺2+丫2；

(3)X3+9X2+26X+24;

(4)x-12x+323.

3.分解因式:

(1)(2X-3X+1)-22X2+33X-1;

(2)X*+7X3+14X2+7X+1;

(3)(x+y)3+2xy(l-x-y)-l;

(4)(x+3)(x-l)(x+5)-20.

4.用雙十字相乘法分解因式:

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3;

(2)x'-xy+2x+y-3;

(3)3x2-llxy+6y2-xz-4yz-2z2.

5.用求根法分解因式:

(1)X'+X2-10X-6;

(2)X'+3X-3X2-12X-4;

(3)4X'+4X-9X2-X+2.

6.用待定系數(shù)法分解因式;

(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20;

(2)X*+5X3+15X-9.

7.關(guān)于x,y的二次式/+7.9+〃娟-51+43》-24可分解為兩個(gè)一次因式的乘積,則m的值是

8.設(shè)px'+mx2+nx+r是X的一次式的完全立方式,求證3mr=n

9.分解因式：x5+x+l

10.分解因式：ay(b-c)+b3(c-a)+c\a-b)

11.分解因式(y-z)’+(z-x)5+(x-yf

三、分式

1.解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.

2.解分式方程的一般步驟：

⑴在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；

(2)解這個(gè)整式方程；

(3)驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母,看結(jié)果是否等于零，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的

增根，必須舍去，但對(duì)于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗(yàn).

3.列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟基本相同,但必須注意,要檢驗(yàn)求得的解是否為

原方程的根，以及是否符合題意.

分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類似,例如,分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時(shí)

才有意義;也像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變，

這?性質(zhì)是分式運(yùn)算中通分和約分的理論根據(jù).在分式運(yùn)算中，主要是通過(guò)約分和通分來(lái)化簡(jiǎn)分式，

從而對(duì)分式進(jìn)行求值.除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問(wèn)題得到迅速準(zhǔn)確的解

答.

例1.解方程：———?-=1

x-1x+1

例2.解方程三口+*=匕2+山

x十2x+7人十3人十6

例工解方程：蕓+簽士警六陪

例4?解方程:詈指-1T4。

例5.若解分式方程2一9=±±1產(chǎn)生增根，則m的值是()

X+1X+XX

A.-1或-2B.-1或2

C.1或2D.1或-2

例7.輪船在一次航行中順流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小時(shí);在另一次航行中，用相

同的時(shí)間，順流航行40千米,逆流航行70千米.求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度

例8.m為何值時(shí)'關(guān)于x的方程七+個(gè)=未會(huì)產(chǎn)生增根？

例9.化簡(jiǎn)分式：

222

2--a-?--+--3--a--+--2--a-----a-----5-----3--a-----4--a----5-+"2■a-8a..+5.

a+1a+2a-2a-3

例10.求分式

1124gl6

------+-------+-------5-+------T-+------不-------fT-

1-a1+a1+a1+a1+a1+a6

當(dāng)a=2時(shí)的值.

c

------------+-------------的值

例11.若abc=l,求ab+a+1bc+b+1ca+c+1

例12化簡(jiǎn)分式:

111

x?+3x+2x'+5x+6x2+7x-12

例13化簡(jiǎn)計(jì)算（式中a,b,c兩兩不相等）：

2a-b-c2b-c-a2c-a-b

-------------------+--------------------+--------------------

a-ab-ac*beb-ab-be+acc-ac-be+ab

例14已知：x+y+z_3a（a740,且x,y,z不全相等），求

(x-a)(y-a)+(y-a)(z-a)+(z-a)(x-a)

的值

(x-a)2+(y-a)2+(z-a)2

例15化簡(jiǎn)分式:

練習(xí)

1.化簡(jiǎn)分式：

____5_x___H-------2--x------5----------7--x------1--0---

x2+x-6x2-x-12x2-6x+8

2.計(jì)算：

111

------------------+-------------------+------------------

(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)

+???+-------------1------------

(x+100)(x+101),

3.已知：

(y-z)*2+(z-x)2+(x-y)2

=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2,

(yz+l)(zx+1)(xy+1)

求的值.

(1+l)(y2++1)

4ab

4.已知a盧b,a盧0,b滬0,a+b戶0,x=-求

a+b

2+2ax+2b

x-2ax-2b

的值.

lxyz.八-xy+yz+zx

5.如果=求刀式乃產(chǎn)？■的值.

6.已知：----=a,-----=b,----=c,且abc井0,求x的值.

x+yx+zy+z

7.解方程：

(1)—!—+-----!------+------!-----+…-------!------=2

A+10(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+9)(x+10)

/-、xx2x4x八

(2)+--------+--------+-------=0

1-XI+Xl+x~\+rx

8.設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿足"+爪+a="c?則代數(shù)式

1I

1+-++

JF

a+b+cp

四、一元二次方程判別式及其應(yīng)用

元二次方程的根的判別式(△)是重耍的基礎(chǔ)知識(shí)，它不僅能用丁直接判定根的情況,而且在二次三

項(xiàng)式、二次不等式、二次函數(shù)等方面有著重要的應(yīng)用，是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,在高中數(shù)學(xué)中

也有許多應(yīng)用.熟練掌握它的各種用法,可提高解題能力和知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.

1.判定方程根的情況

例1已知方程x2-2x-m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根,其中m是實(shí)數(shù).試判定方程x2+2mx+m(m+l)=0有無(wú)實(shí)數(shù)根.

例2已知常數(shù)a為實(shí)數(shù)，討論關(guān)于x的方程

(a-2)'2+(-2a+l)x+a=0

的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)情況.

2.確定方程中系數(shù)的值或范圍

例3關(guān)于x的一元二次方程

有實(shí)根,其中a是實(shí)數(shù),求a—x"的值.

例4若方程

x+2(1+a)x+3a2+4ab+4b"+2=0

有實(shí)根，求a,b的值.

例5AABC的一邊長(zhǎng)為5,另兩邊長(zhǎng)恰是方程

2xJ-12x+m=0

的兩個(gè)根，求m的取值范圍.

3.求某些方程或方程組的解

例6求方程5x25y，8xy+2y-2x+2=0的實(shí)數(shù)解.

例7解方程組

x+?方+y=l,

7x+4&?-y=2.②

4.證明不等式，求最大值和最小值

用判別式證明不等式，常常把要證明的內(nèi)容通過(guò)韋達(dá)定理以及其他代數(shù)變形手段,放到某個(gè)一元

二次方程的系數(shù)中去.

例8滿足(x-3)2+(y-3)2=6的所有實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)中，工的最大值

x是多少？

例9x,y為實(shí)數(shù)，且滿足y=1^,求y的最大值和最小值.

X+x+1

例10實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=2,且對(duì)任何實(shí)數(shù)t,都有不等式

-V+2t^ab+bc+ca^9t2-18t+10,

4

求證：04a,b,.

練習(xí)

1.選擇：

(1)某一元二次方程根的判別式△=2m2-6m+5,此方程根的情況是[]

(A)有兩個(gè)不相等的實(shí)根

(B)有兩個(gè)相等的實(shí)根

(。沒(méi)有實(shí)根

(D)由實(shí)數(shù)m的值而定

(2)關(guān)于x的方程2kx?+(8k+l)x=-8k有兩個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是[]

(A)k>$(B)k>金且50

1010

(Qk=-1(D)k>-1fik^0

It)10

(3)如果關(guān)于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0沒(méi)有實(shí)根，那么關(guān)于x的方程(m-5)x?-2(m+2)X+DFO的

實(shí)根個(gè)數(shù)為[]

(A)2個(gè)⑻1個(gè)

(C)0個(gè)(D)不確定

⑷方程(x+l)2+(y-2)2=l的整數(shù)解有［

(A)1組(B)2組

(04組(D)無(wú)數(shù)組

⑸若X。是一元二次方程ax2+bx+c=0(aN0)的根，則判別式△=b?-4ac與平方式M=(2axo+b)’的關(guān)

系是［J

(A)A>M(B)△二M

(C)A<M(D)不確定

2.填空：

(1)關(guān)于x的方程(a?-于x2-2方+2)x+l=0

恰有一個(gè)實(shí)根,則a=—.

⑵設(shè)m是不為0的整數(shù),二次方程mx2-(m-l)x+l=O有有理根，則m=—.

(3)當(dāng)m=___時(shí)，二次方程(m'_2)x2_2(m+1)x+1-O

有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

(4)p,q是正數(shù)，如果方程x2+px+q=O的兩個(gè)根之差是1,那么p=—.

⑸若x為實(shí)數(shù),且有4y、4xy+x+6=0,則使y取實(shí)數(shù)值的所有x值的范圍是

3.求方程5x2-12xy+1Oy-6x-4y+13=0的實(shí)數(shù)解.

4.解方程組

|x2+y2+3-xy-3x=0,

[x?+y2+z2-xy-yz-2zx+3=0.

22

5.已知a,b是整數(shù),x-ax+3-b=O有兩個(gè)不相等的實(shí)根,x+(6-a

)x+7-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,X2-F(4-

a)x+5-b=0沒(méi)有實(shí)根,求a,b的值.

6.已知a是實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的方程x-ax+a=O有兩個(gè)實(shí)根u,v,求證:u2+v2>2(u+v).

五、一元二次方程韋達(dá)審理及其應(yīng)用

2

如果一元二次方程ax+bx+c=O(a^O)的兩根為x?x2,那么

Xi+x2=上，.這就是根與系數(shù)的關(guān)系，也稱為韋達(dá)定理.

aa

反過(guò)來(lái),如果X1,x?滿足xt+x2=p,x,x2=q,則Xi,X2是一元二次方程x2-px+q=0的兩個(gè)根.一元二次方程

的韋達(dá)定理,揭示了根與系數(shù)的一種必然聯(lián)系.利用這個(gè)關(guān)系,我們可以解決諸如已知一根求另一

根、求根的代數(shù)式的值、構(gòu)造方程、證明等式和不等式等問(wèn)題，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)有用的工具.

1.已知一個(gè)根，求另一個(gè)根

利用韋達(dá)定理,我們可以通過(guò)方程的一個(gè)根,求出另一個(gè)根.

例1方程(1998x)2-1997?199例1=0的大根為a,方程x24-1998x-1999=0的小根為b,求a-b的

值.

例2設(shè)a是給定的非零實(shí)數(shù),解方程

11

x+—=

a

2.求根的代數(shù)式的值

在求根的代數(shù)式的值的問(wèn)題中，要靈活運(yùn)用乘法公式和代數(shù)式的恒等變形技巧.

例3已知二次方程/-3*+1=0的兩根為。，6,求：

⑴1+；(2)|a-B|；

ap

⑶a3+83;⑷a3-B3.

例4設(shè)方程4X2-2X-3-0的兩個(gè)根是J和B,求4a?+2B的值.

例5已知a,B分別是方程x'+x-lR的兩個(gè)根，求2a'sip的值.

例6設(shè)1元二次方程ax°+bx+c=O的兩個(gè)實(shí)根的和為Si,平方和為s2,立方和為s3,求as^+bs2+csl

的值.

3.與兩根之比有關(guān)的問(wèn)題

例7證：如果方程ax2+bx+c=0(aW0)的根之比等于常數(shù)k,則系數(shù)a,b,c必滿足:

kb2=(k4-l)2ac.

例8已知xi,x?是一元二次方程

4x2-(3m-5)x-6m"=0

的兩個(gè)蟋根，且巴=熱，求m的值.

X,2

4.求作新的二次方程

例9己知方程2X2-9X+8=0,求作一個(gè)二次方程，使它的一個(gè)根為原方程兩根和的倒數(shù)，另一根為

原方程兩根差的平方.

例10設(shè)x2-px+q=o的兩實(shí)數(shù)根為Q,B.

(1)求以酎為兩根的一元二次方程；

(2)若以a\B3為根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,求所有這樣的一元二次方程.

5.證明等式和不等式

利用韋達(dá)定理可以證明一些等式和不等式,這常常還要用判別式來(lái)配合.

例11已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足

x=6-y,z2=xy-9,

求證：x=y.

例12若a,b,c都是實(shí)數(shù)，且

a+b+u=O,abc=l,

則a,b,c中必有一個(gè)大于g.

例13知x?x?是方程4ax2-4ax+a+4=0的兩個(gè)實(shí)根.

(1)是否能適當(dāng)選取a的值，使得(XI-2X2)(X2-2x1)的值等于：？

⑵求使五+左的值為整數(shù)的a的值(a為整數(shù)).

練習(xí)

1.選擇：

⑴若X。是一元二次方程ax2+bx+c=0(aN0)的根，則判別式△=b?-4ac與平方式M=(2axo+b)“'的關(guān)

系是[]

(A)A>M(B)△二M

(C)A=<M⑴)不確定

(2)方程x，px+1997=0恰有兩個(gè)正整數(shù)根xbx2,則

P的值是

(x】+苑+1)[]

(A)l(B)-l(Q-1(D)|

(3)設(shè)X],x?是方程x?+x-3=0的兩個(gè)根，那么x；-4x；+19的值是[

]

(A)-4(B)8

?06(D)0

(4)已知方程2x2+kx-2k+l=0的兩實(shí)根的平方和為二，則k的值f「

4為[]

(A)3(B)-11

?3或-11(D)11

2填空.

《如果方程x2+px+q=0的一根為另一根的2倍,那么,p,q滿足的關(guān)系式是.

(2)已知關(guān)丁x的一元二次方程日/十bx十c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，甲由丁看錯(cuò)了二次項(xiàng)系數(shù)，誤求得兩根

為2和4,乙由于看錯(cuò)了某一項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，

誤求得兩根為-1和4,那么竺主=.

a-----------

(3)方程x??ax?a=O的根X],叼滿足關(guān)系式x；+x；+x：x；=75,則

1993+5/+9a'=_______.

(4)已知a是方程X2-5X+1=0的一個(gè)根,那么a”a-4的末位數(shù)是_____.

(5)已知方程/-Q+73泣+2、5=0的一根為直角三角形的斜邊口另一根為直角邊a,則此直隹三角

形的第三邊b=______.

3.已知a,B是方程x2-x-l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求aB的值.

4.作一個(gè)二次方程,使它的兩個(gè)根a,B是正數(shù)，并且滿足關(guān)系式

a?6+外_31J_+1?Z

a2+支6+儼43'a62

5.如果關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之比為4：5,方程的判別式的值為3,求a,b的值.

6.設(shè)實(shí)數(shù)s、t分別滿足19『+99s+i=0/+99r+19=0,并且s,",

求絲也里的值

7.設(shè)a、b、c、d為互不相等的正實(shí)數(shù)，且卜-犬)(〃2-戶)=1,代-2M2-/)=1

求〈J//—H

8.己知X,y均為實(shí)數(shù),且滿足外+工+戶17,/3，+92=66,求/+山，+]2),2+盯3+,4的值

9.已知一直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b(aWb)均為整數(shù)，且a+h=〃z+2,"=4〃z,求這個(gè)直角

三角形的三功長(zhǎng)

10.已知工+y=5/2=xy+y-9,於+2y+3z

11.已知aABC的三邊a、b、c滿足：b+c=8力c=/-12。+52,試確定^ABC的形狀

5.

六、一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題(復(fù)習(xí))

常用方法：

(1)因式分解法：有些整系數(shù)一元二次方程可用因式分解求出兩根，

再用整除知識(shí)求解即可

⑵判別式法：整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根,常用判別式為平方數(shù)或通過(guò)判

別式確定系數(shù)的變化范圍來(lái)處理

(3)利用韋達(dá)定理：由兩根之和、積的表達(dá)式中消去字母參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

整數(shù)問(wèn)題,尤其多用于系數(shù)不為整數(shù)的時(shí)候

(4)變更主元法：用上述方法均不方便時(shí),看成是關(guān)于參數(shù)的方程來(lái)處理

例1m是什么整數(shù)時(shí)，方程

(m2-l)x2-6(3m-l)x+72=0

有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根.

例2已知關(guān)于x的方程

a'x2-(3c?-8a)x+2aJ-13a+15=0

(其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個(gè)整數(shù)根,求a的值.

例3設(shè)m是不為零的整數(shù),關(guān)于x的二次方程

mxz-(m-1)x4-1=0

有有理根，求m的值.

例4關(guān)于x的方程

ax2+2(a-3)x+(a-2)=0

至少有一個(gè)整數(shù)解，旦a是整數(shù)，求a的值.

例5已知關(guān)于x的方程

x'+(a-6)x+a=0

的兩根都是整數(shù)，求a的值.

例6求所有有理數(shù)r,使得方程

rx"+(r+1)x+(r-l)=0

的所有根是整數(shù).

例7已知a是正整數(shù),且使得關(guān)于x的一元二次方程

ax2+2(2a-l)x+4(a-3)=0

至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值.

22

例8已知方程x+bx+c=0與x+cx+b=0各有兩個(gè)整數(shù)根xb溝和x；,x；,且X/2〉。,X；X；〉0.

(1)求證：X]<0,x2<0,x；<0,x；<0;

⑵求證:bTWcWb+l;

(3)求b,c的所有可能的值.

練習(xí)

1.填空：

則-----------的值是

⑴方程x2+px+1997=0恰有兩個(gè)正整數(shù)根xbx2,J1+1)儀2+1)

(2)已知k為整數(shù)，且關(guān)于x的方程

(k-l)x2-3(3k-l)x+18=0

有兩個(gè)不相同的正整數(shù)根,則k二

⑶兩個(gè)質(zhì)數(shù)a,b恰好是關(guān)于x的方程x2-21x+t=0的兩個(gè)根，則E=——

(4)方程x24-px+q-0的兩個(gè)根都是正整數(shù)，并且p+q-1992,則方程較大根與較小根的比等于

(5)已知方程(a?-l)x2-2(5a+l)x+24=0有兩個(gè)不相等的負(fù)整數(shù)根,則整數(shù)a的值是

2.設(shè)m為整數(shù)，且4VmV40,又方程

(x-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0

有兩個(gè)整數(shù)根,求m的值及方程的根.

3.已知關(guān)于x的一元二次方程

x2+(m-17)x+m-2=0

的兩個(gè)根都是正整數(shù),求整數(shù)m的值.

222

4.求使關(guān)于x的方程ax4-ax+l-7a=0的兩根都是整數(shù)的所有正數(shù)a.

5.求所有的整數(shù)a,使得關(guān)于x的二次方程

ax'4-2ax4-a-9=0

至少有一個(gè)整數(shù)根.

6.當(dāng)k為何整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程(klk)x-(l+k)x?2=0

(1)至少有?個(gè)整數(shù)根(2)有兩個(gè)整數(shù)根

7.當(dāng)m為何整數(shù)時(shí):關(guān)于x的方程x2+(m+2)x+m+5=0有整數(shù)解

8.已知關(guān)于x的方程mx2+(m+l)x+m-1=0的根為整數(shù),求實(shí)數(shù)m的值

9.已知關(guān)于x的方程ax??2（a-3）x+a-2=（）,當(dāng)a為何整數(shù)時(shí)：（D方程至少有一整數(shù)根⑵方程有兩

整數(shù)根

10.關(guān)于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩整數(shù)根恰好分別比方程x?+ax+b=o的兩根都大1,試

求a+b+c的值

11.是否存在整數(shù)a、b、c使得關(guān)于x的方程ax'+bx+cuO及(a+1)X，(b+l)X+C+l=0均有兩個(gè)整

數(shù)根

12.求使關(guān)于x的方程(a+l)x\G+l)x+2a3-6=()的根均為整數(shù)的所有整數(shù)a

13.已知關(guān)于x的方程x2+ax+b+l=0的兩根均為正整數(shù),求證：a2+b?為合數(shù)

14.設(shè)P是大于2的質(zhì)數(shù),k為正整數(shù),若函數(shù)y=X?+px+(k+l)p-4的圖像與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)至少有一個(gè)為整數(shù)，求k的值

15.若m為整數(shù),且關(guān)于X的方程n?x+(m+l)x+l=()有有理根,求m的值

16.當(dāng)k為何值,關(guān)于x的方程k2x2+(3k+l)x+2=0有有理根

七、高次方程

?股地,我們把次數(shù)大于2的整式方程,叫做高次方程.由兩個(gè)或兩個(gè)以上高次方程組成的方程

組,叫做高次方程組.對(duì)于一元五次以上的高次方程,是不能用簡(jiǎn)單的算術(shù)方法來(lái)求解的.對(duì)于一元五

次以下的高次方程，也只能對(duì)其中的一些特殊形式的方程，采用〃±1判根法"、〃常數(shù)項(xiàng)約數(shù)法”、〃

倒數(shù)方程求根法”、〃雙二次方程及推廣形式求解法”等方法，將一元五次以下的高次方程消元、換

元、降次，轉(zhuǎn)化成一次或二次方程求解.

1.±1判根法

在一個(gè)一元高次方程中，如果各項(xiàng)系數(shù)之和等于零,則1是方程的根;如果偶次項(xiàng)系數(shù)之和等于奇

次項(xiàng)系數(shù)之和，則7是方程的根.求出方程的±1的根后，將原高次方程用長(zhǎng)除法或因式分解法分別

除以(xT)或者(x+1),降低方程次數(shù)后依次求根.〃土1判根法”是解一元高次方程最簡(jiǎn)捷、最快速

的重要方法，一?定要熟練掌握運(yùn)用.

例1解方程x,+2x-9x-2x+8=0

解：觀察方程,因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)之和為：1+2-9-2+8=0(注意：一定把常數(shù)項(xiàng)算在偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)當(dāng)中)，

根據(jù)歌訣〃系和零,+1根”，即原方程中可分解出因式(xT),

,?*(x'+2x-9x2-2x+8)(x-l)=xs+3x2-6x-8

觀察方程x、3x2-6x-8=0,偶次項(xiàng)系數(shù)之和為：3-8=-5;奇次項(xiàng)系數(shù)之和為：1-6=-5,根據(jù)歌訣〃偶

等奇，根T”，即方程中含有因式(x+1),(X3+3X2-6X-8)(x+l)=x2+2x-8,對(duì)一元二次方程

X2+2X-8=0有(x+4)(x-2)=0,原高次方程x*+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式為：(xT)(x+1)(x-

2)(x+4)=0,即:當(dāng)(x—l)=O時(shí)，有XLI;當(dāng)(x+D=O時(shí)，有X2=-1;當(dāng)(x—2)=0時(shí)，有xE;當(dāng)(X+4)=0

時(shí),有x,=-4

點(diǎn)撥提醒：在運(yùn)用〃±1判根法"解高次方程時(shí)，一定注意把“常數(shù)項(xiàng)”作為〃偶次項(xiàng)”系數(shù)計(jì)算.

2.常數(shù)項(xiàng)約數(shù)求根法

根據(jù)定理：〃如果整系數(shù)多項(xiàng)式a4+anTxi+…+&X+&可分解出因式PX-Q,即方程anx1+an遙叫

…+aix+a0=O有有理數(shù)根&(P、Q是互質(zhì)整數(shù))，那么，P一定是首項(xiàng)系數(shù)①的約數(shù),Q一定是常數(shù)項(xiàng)

P

%的約數(shù)”，我們用〃常數(shù)項(xiàng)約數(shù)”很快找到求解方程的簡(jiǎn)捷方法.

〃常數(shù)項(xiàng)約數(shù)求根法”分為兩種類型：

第一種類型：首項(xiàng)系數(shù)為L(zhǎng)對(duì)首項(xiàng)(最高次數(shù)項(xiàng))系數(shù)為1的高次方程，直接列出常數(shù)項(xiàng)所有約

數(shù),代入原方程逐一驗(yàn)算，使方程值為零的約數(shù),就是方程的根.依次用原方程除以帶根的因式,逐次降

次,直至將高次方程降為二次或一次方程求解.

例1解方程X'+2X3-4X-5X-6=0

例2解方程3X3-2x2+9x-6=0

3.倒數(shù)方程求根法

定義：系數(shù)成首尾等距離的對(duì)稱形式的方程，叫做倒數(shù)方程.如ax'+bx3+cx2+dx+e=0,其中，a=e,

b=d或者a=-e,b=-d

性質(zhì)：倒數(shù)方程有三條重要性質(zhì)：

(1)倒數(shù)方程沒(méi)有零根；

(2)如果a是方程的根，則1也是方程的根；

(3)奇數(shù)次倒數(shù)方程必有一個(gè)根是T或者1,分解出因式(x+1)或(xT)后降低一個(gè)次數(shù)后的方

程仍是倒數(shù)方程.

倒數(shù)方程求解方法：

如果ax*+bx3+cx2+dx+e=0是倒數(shù)方程，由于倒數(shù)方程沒(méi)有零根，即xW0,所以,方程兩邊同除以

X?得：a(x2+-L)+b(x+l)+e=0,令x+l=y,乂?+!=y?—2,即原方程變?yōu)椋?/p>

XXX

ay2+by+(e-2a)=0,解得y值，再由x+-=y,解得x的值.

例1解方程2X*+3X3-16X2+3X+2=0

例2解方程6/-4/-3xW-4x-6=0

例3：X'+5X3+2X2+20X+16=0

4.雙二次方程及推廣形式求根法

雙二次方程有四種形式：

第一種是標(biāo)準(zhǔn)式，如：ax4bx?+c=0，此時(shí)設(shè)丫=(原方程化為含y的一元二次方程ay2+by+c=0,求

出y值在代入(之值,從而求出x之值.

第二種形式雙二次方程的推廣形式.

/IO：(ax2+bx+c)2+m(ax2+bx+c)+d=0,此時(shí)設(shè)y=(ax2+bx+c),也可轉(zhuǎn)化為含y的一元二次方程

y2+my+d=0,解出y值代入ax2+bx+c=y

從而求出原方程的根x之值.

第三種形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此時(shí),方程左邊按照〃創(chuàng)造相同的多項(xiàng)式,換元替換”

的要求，將(x+a)(x+c);(x+b)(x+d)結(jié)合(一一般是最小數(shù)與最大數(shù)，中間數(shù)與中間數(shù)組合)，展開(kāi)相乘,

創(chuàng)造相同的多項(xiàng)式(ax?+bx+c)或成比例的多項(xiàng)式m(ax、bx+c),然后設(shè)y=ax2+bx+c,將原方程轉(zhuǎn)化為含

y的一元二次方程y2+my+e=0,求出y值，將y值代入ax'+bx+c=y求x之值.

第四種形式是(x-a)」+(x-b)的形式，此時(shí)，將〃-a"換成〃+b”或?qū)ⅰ?b”換成〃+a"，利用y=x+

(-〃)+(-"),消去*的三次項(xiàng)和一次次變成雙二次方程人+生心『+仁一巴心丫的形式求解.

2I2JC2)

例1解方程X'+3X2-10=0

例2解方程(X2-3X+2)2=9X-3X2-2

例3解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x?

例4解方程(x-6)'+(x-8)J16

練習(xí)

1、解方程x3-9x2+20x=0

2、解方程x4x4x+16=0

3、解方程x1-x20=0

4、解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0

5、解方程(x2+3x)(x2+3x+2)=120

6、解方程x4+5x3+2x2+5x+1=0

7、解方程x3-10x2+9x=0

8、解方程x3-3x2-6x+18=0

9、解方程5x'-21x2+4=0

10、解方程（6x27x)2-2(6x7x)3=0

11>解方程(x2-2x+3)2=4x“-8x+9

12、解方程(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)=40

八、二元二次方程組與二元對(duì)稱方程組

在教科書(shū)上,我們已經(jīng)知道了二元一次方程組、三元一次方程組以及簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解

法.利用這些知識(shí)，可以研究一次函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的圖像以及與此有關(guān)的問(wèn)題.本講再介紹一

些解方程組的方法與技巧.

1.二元二次方程組

解二元二次方程組的基本途徑是〃消元”和〃降次”.

由一個(gè)二次和一個(gè)一次方程組成的二元二次方程組的一般解法是代入法，由兩個(gè)二次方程組成的

二次方程組在中學(xué)階段只研究它的幾種特殊解法.

如果兩個(gè)方程的二次項(xiàng)的對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，可用加減消元法消去二次項(xiàng).

例1解方程組

2x2+4xy-2x-y+2=0,①

’3x?+6xy-x+3y=0.②

例2解方程組

A/-4xy+y?+2x-y+2=0,?

x2-2xy-y2+x-2y+4=0.②

例3解方程組

3+/=5,①

2x2-3xy-2y2=0.②

例4解方程組

3x2-y2=8,①

x2+xy+y2=4.②

2.二元對(duì)稱方程組

方程中的未知數(shù)x,y互換后方程保持不變的二元方程叫作二元對(duì)稱方程.例如

x2-5xy+y2-3x-3y=7,

:1

-+—=9,Jx+3+Jy+3=5

xy

等都是二元對(duì)稱方程.

由二元對(duì)稱方程組成的方程組叫作二元對(duì)稱方程組.例如

x2+y2+x+y=18,

x2+xy+y2=19；

x2+3xy+/-4x-4y+3=0,

{xy+2x+2y-5=0

等都是二元對(duì)稱方程組.

我們把

x+y=a,

{xy=b

叫作基本對(duì)稱方程組.基本對(duì)稱方程組通常用代入法或韋達(dá)定理求解.

例5解方程組

x+y=5,(!)

xy=4.②

例6解方程組

x+xy+y=2+3貶,

x2+y2=6.

例7解方程組

x+y=10.②

例8解方程組

x2+2xy-10x=0,①

y2+2xy-10y=0.②

例9解方程組

(J5K+++J4y+5-6,①

練習(xí)

1.填空：

(1)方程組

2

x.2y<y=l,

2x2-4y2+x=6

的解有組.

(2)若x,y是方程組

1995x+1997y=5989,

1997x+1995y=5987

的解，則*

(3)已知3a+b+2c=3,且a+3b+2c=l,則2a+c=

(4)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足方程組

8x+13y+13z=154,

13x+8y+13z=154,

43x+36y+87z=846,

則xyz二.

2.解方程組：

*+3xy+y?+2x+2y=8,

(1)(2x2+2y2+3x+^=14；

x+y+xy=11,

(2)〈2o

x2y+xy2=30；

x+y-z=4,

(3)卜2+y2-z』2,

x3+y3-z3=34.

3.設(shè)a,b,c,x,y,z都是實(shí)數(shù).若

a2+b2+c2=25,

x2+y2+z2=36,

ax4-by+cz=30,

+a+b+cAAH

求一I的僅

4.已知一元二次方程

a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+3)(x+1)=0

有兩根0,1,求a：b：c.

5.(1)解方程組

x+y+z=18,

中=學(xué)=中.⑵已知二=，=3=匕救的值.

I345xyz

九、不等式綜合

絕對(duì)值不等式

14第業(yè)+小14+網(wǎng)

14T4業(yè)那I4+W

取整函數(shù)(高斯函數(shù))：不超過(guò)X的最大整數(shù)

性質(zhì)一：[x]KxV[x]+l

當(dāng)且僅當(dāng)X為整數(shù)時(shí)取到等號(hào)

性質(zhì)二：[〃+x]=〃+[x](n為整數(shù))

[x+y]>[A]+[.y]

若x之0,2。，則[x?y]W[x]?[y]

設(shè)a2b,c2d則ac+bdN；(a+〃)(c+d)

常用方法：作差法、作商法比較大