2021北京房山高一（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

1/12021北京房山高一（上）期末數(shù)學(xué)本試卷共5頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知，，則線段中點的坐標為（）A. B. C. D.2.某工廠生產(chǎn)了一批節(jié)能燈泡，這批產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品、二等品、不合格品．從這批產(chǎn)品中隨機抽取一件進行檢測，設(shè)“抽到一等品”的概率為，“抽到二等品”的概率為，則“抽到不合格品”的概率為（）A.0.05 B.0.25 C.0.8 D.0.953.某單位共有職工名，其中高級職稱人，中級職稱人，初級職稱人．現(xiàn)采用分層抽樣方法從中抽取一個容量為的樣本，則從高級職稱中抽取的人數(shù)為（）A.6 B.9 C.18 D.364.已知，且，則下列結(jié)論正確是（）A. B. C. D.5.如果函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，則（）A. B. C. D.6.如圖，在中，，設(shè)，，則（）A. B. C. D.7.已知，，則“”是“向量與共線”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.根據(jù)氣象學(xué)上的標準，連續(xù)天的日平均氣溫低于即為入冬．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；②乙地：個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，極差為；③丙地：個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為；④丁地：個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差小于．則肯定進入冬季地區(qū)是（）A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地9.太陽是位于太陽系中心的恒星，其質(zhì)量大約是千克.地球是太陽系八大行星之一，其質(zhì)量大約是千克.下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.10.已知函數(shù)，若存在互不相等的實數(shù)，，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.___________；___________．12.已知，則與方向相同的單位向量的坐標為__________．13.暑假期間，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙兩人的行動相互之間沒有影響，則暑假期間兩人中至少有一人外出旅游的概率是__________.14.當時，，，的大小關(guān)系是___________．（請用“”連接）15.定義在上的函數(shù)滿足：①單調(diào)遞減；②，請寫出一個滿足條件的函數(shù)__________.16.由于國慶期間有七天長假，不少電影選擇在國慶檔上映.已知A、B兩部電影同時在月日全國上映，每天的票房統(tǒng)計如圖所示：有下列四個結(jié)論：①這天A電影票房平均數(shù)比B電影票房的平均數(shù)高；②這天A電影票房的方差比B電影票房的方差大；③這天A電影票房的中位數(shù)與B電影票房的中位數(shù)相同；④根據(jù)這天的票房對比，預(yù)測月日B電影票房超過A電影票房的概率較大；其中正確結(jié)論的序號為__________.三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.設(shè)兩個非零向量與不共線．（1）若，，且與平行，求實數(shù)值；（2）若，，，求證：，，三點共線．18.為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（Ⅰ）求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于小時的人數(shù)；（Ⅱ）估計這名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時間的分位數(shù)；（Ⅲ）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間，這樣推斷是否合理？說明理由．19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）求解關(guān)于不等式．20.空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴重，其分級如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個城市月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機抽取天的數(shù)據(jù)，記錄如下：甲乙（1）估計甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（2）分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，求這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（3）記甲城市這天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為．從甲城市月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機抽取一個記為，若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為；若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為，試比較、、的大小．（結(jié)論不要求證明）21.設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在正實數(shù)，使得對于任意，有，且，則稱是上的“距增函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為上的“距增函數(shù)”？說明理由；（2）寫出一個的值，使得是區(qū)間上的“距增函數(shù)”；（3）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．若為上的“距增函數(shù)”，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知，，則線段中點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中點坐標公式即可求解.詳解】由，，則線段中點的坐標為.故選：D2.某工廠生產(chǎn)了一批節(jié)能燈泡，這批產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品、二等品、不合格品．從這批產(chǎn)品中隨機抽取一件進行檢測，設(shè)“抽到一等品”的概率為，“抽到二等品”的概率為，則“抽到不合格品”的概率為（）A.0.05 B.0.25 C.0.8 D.0.95【答案】A【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可求解.【詳解】“抽到一等品”與“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率為，“抽到不合格品”與“抽到一等品或二等品”是對立事件，故其概率為.故選：A．3.某單位共有職工名，其中高級職稱人，中級職稱人，初級職稱人．現(xiàn)采用分層抽樣方法從中抽取一個容量為的樣本，則從高級職稱中抽取的人數(shù)為（）A.6 B.9 C.18 D.36【答案】C【解析】【分析】計算出抽取高級職稱人數(shù)所占的抽樣比乘以樣本容量可得答案.【詳解】依題意得：高級職稱人數(shù)、中級職稱人數(shù)、初級職稱人數(shù)的比為，高級職稱人數(shù)的抽樣比，采用分層抽樣方法從中抽取一個容量為的樣本，則從高級職稱中抽取的人數(shù)為人.故選：C.4.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】舉反例可判斷ACD選項；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可判斷B選項.【詳解】A選項，當時，，錯誤；B選項，因為，由不等式的基本性質(zhì)成立，正確；C選項，當時，，錯誤；D選項，當時，，錯誤，故選：B.5.如果函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過，只需，解不等式即可.【詳解】函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，則，解得.故選：B6.如圖，在中，，設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理將，再用，表示可得答案.【詳解】因為，，，所以.故選：C.7.已知，，則“”是“向量與共線”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件與必要條件概念，由向量數(shù)量積運算法則，以及向量的線性運算法則，即可得出結(jié)果.【詳解】若向量與同向共線，由，，可得；若向量與反向共線，由，，可得；所以由“向量與共線”不能推出“”；若，，，則，所以，所以，因為向量與夾角為，所以，即“向量與共線；所以由“”能推出“向量與共線”；因此，“”是“向量與共線”的充分而不必要條件.故選：A.8.根據(jù)氣象學(xué)上的標準，連續(xù)天的日平均氣溫低于即為入冬．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；②乙地：個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，極差為；③丙地：個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為；④丁地：個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差小于．則肯定進入冬季的地區(qū)是（）A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各地連續(xù)天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)，通過特殊值法，可排除ABC選項；根據(jù)方差的計算公式，結(jié)合丁地的氣溫數(shù)據(jù)，可判斷D正確.【詳解】①甲地：個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；則這個數(shù)據(jù)可能為，，，，；即連續(xù)天的日平均氣溫不是都低于，所以甲地不一定入冬，故A錯；②乙地：個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，極差為；則這個數(shù)據(jù)可能為，，，，；即連續(xù)天的日平均氣溫不是都低于，所以乙地不一定入冬，故B錯；③丙地：個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為；則這個數(shù)據(jù)可能為，，，，；即連續(xù)天的日平均氣溫不是都低于，所以丙地不一定入冬，故C錯；④丁地：個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差小于．如有數(shù)據(jù)大于等于，則方差必大于等于，不滿足題意，因此丁地這續(xù)天的日平均氣溫都低于，所以丁地一定入冬，故D正確；故選：D.9.太陽是位于太陽系中心的恒星，其質(zhì)量大約是千克.地球是太陽系八大行星之一，其質(zhì)量大約是千克.下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，兩邊同時取以10為底的對數(shù)，根據(jù)題中條件，進行估算，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以.故.故選：D.【點睛】本題主要考查對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題型.10.已知函數(shù)，若存在互不相等的實數(shù)，，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)題意，得到，結(jié)合圖象求出的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】假設(shè)，作出的圖象如下；由，所以，則令，所以，由，所以，所以，故.故選：D.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.___________；___________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪、根式的計算可得答案；（2）根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算計算可得答案.【詳解】（1）；（2）.故答案為：①6；②.12.已知，則與方向相同的單位向量的坐標為__________．【答案】【解析】【分析】由條件設(shè)與方向相同的單位向量坐標為，再由條件列式求解.【詳解】設(shè)與方向相同的單位向量坐標為，則，解得或因為與的方向相同，所以，與同方向的單位向量是.故答案為：13.暑假期間，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙兩人的行動相互之間沒有影響，則暑假期間兩人中至少有一人外出旅游的概率是__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)“暑假期間兩人中至少有一人外出旅游”為事件，則其對立事件為“暑假期間兩人都未外出旅游”，先求得，再求解即可.【詳解】設(shè)“暑假期間兩人中至少有一人外出旅游”為事件，則其對立事件為“暑假期間兩人都未外出旅游”，則，所以.故答案為：.14.當時，，，的大小關(guān)系是___________．（請用“”連接）【答案】【解析】【分析】在同一直角坐標系中分別畫出三個函數(shù)的圖象判斷即可.【詳解】在同一直角坐標系中分別畫出三個函數(shù)的圖象，如圖：由圖可知：.故答案為：.15.定義在上的函數(shù)滿足：①單調(diào)遞減；②，請寫出一個滿足條件的函數(shù)__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過即可得出答案.【詳解】由函數(shù)滿足：①單調(diào)遞減；②，則.故答案為：16.由于國慶期間有七天長假，不少電影選擇在國慶檔上映.已知A、B兩部電影同時在月日全國上映，每天的票房統(tǒng)計如圖所示：有下列四個結(jié)論：①這天A電影票房的平均數(shù)比B電影票房的平均數(shù)高；②這天A電影票房的方差比B電影票房的方差大；③這天A電影票房的中位數(shù)與B電影票房的中位數(shù)相同；④根據(jù)這天的票房對比，預(yù)測月日B電影票房超過A電影票房的概率較大；其中正確結(jié)論的序號為__________.【答案】①②④【解析】【分析】①根據(jù)折線圖，分別求得這天A電影票房和B電影票房的平均數(shù)，比較判斷；②根據(jù)折線圖，分別求得這天A電影票房和B電影票房的方差，比較判斷；③根據(jù)折線圖，分別求得這天A電影票房和B電影票房的中位數(shù)，比較判斷；④根據(jù)折線圖，比較這天A電影票房和B電影票房的方差和從10月6日開始超過A電影票房判斷.【詳解】①這天A電影票房的平均數(shù)為，這天B電影票房的平均數(shù)為，所以A的比B電影票房的平均數(shù)高，故正確；②這天A電影票房的方差，這天B電影票房的方差，所以A的比B電影票房的方差大，故正確；③這天A電影票房的中位數(shù)與B電影票房的中位數(shù)，不相同，故錯誤；④根據(jù)這天票房對比，B電影票房方差較小，波動較小，且從10月6日開始超過A電影票房，故正確；故答案為：①②④三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.設(shè)兩個非零向量與不共線．（1）若，，且與平行，求實數(shù)的值；（2）若，，，求證：，，三點共線．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用與平行即可得到；（2）證明三點共線，只需證明與共線，對應(yīng)寫出坐標即可.詳解】（1），，則，因為與平行，所以有，解得．（2）因為，，，所以，即與共線，因此，，三點共線．18.為了解學(xué)生的周末學(xué)習(xí)時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班名學(xué)生某周末的學(xué)習(xí)時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息：（Ⅰ）求該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于小時的人數(shù)；（Ⅱ）估計這名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時間的分位數(shù)；（Ⅲ）如果用該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間，這樣推斷是否合理？說明理由．【答案】（Ⅰ）9；（Ⅱ）8.75；（Ⅲ）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性.【解析】【分析】（Ⅰ）首先求學(xué)習(xí)時間不少于20小時頻率，再根據(jù)樣本容量乘以頻率=人數(shù)，計算結(jié)果；（Ⅱ）首先估算學(xué)習(xí)時間在分位數(shù)所在的區(qū)間，再根據(jù)公式計算結(jié)果；（Ⅲ）根據(jù)樣本的代表性作出判斷.【詳解】（Ⅰ）由圖可知，該班學(xué)生周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的頻率為則名學(xué)生中周末的學(xué)習(xí)時間不少于20小時的人數(shù)為．（Ⅱ）學(xué)習(xí)時間在小時以下的頻率為，學(xué)習(xí)時間在小時以下的頻率為，所以分位數(shù)在，，則這名同學(xué)周末學(xué)習(xí)時間的分位數(shù)為．（Ⅲ）不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性．19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）求解關(guān)于的不等式．【答案】（Ⅰ）定義域為，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由解析式列出不等式，求出使解析式有意義的自變量的范圍，即可得出定義域；進而可判斷函數(shù)奇偶性；（Ⅱ）先將所求不等式化為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得出，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由，得函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（Ⅱ）因為，所以不等式可化為，因為在是減函數(shù)，所以有，解得，因此不等式的解集為．20.空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴重，其分級如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個城市月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機抽取天的數(shù)據(jù)，記錄如下：甲乙（1）估計甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（2）分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，求這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（3）記甲城市這天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為．從甲城市月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機抽取一個記為，若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為；若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為，試比較、、的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有天，利用頻率估計概率的思想可求得結(jié)果；（2）列舉出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意可得出、、的大